Логика и методология научного исследования. Учебное пособие

Глава 2. Символическая логика

С помощью табличного метода легко убедиться в том, что кратная импликация истинна во всех случаях, кроме того, когда каждый из её антецедентов истинен, а консеквент ложен.

Отсюда становится ясным, что тождественно-истинная кратная импликация определяет некое правило логически корректного перехода от посылок, имеющих структуру её антецедентов, к заключению, имеющему структуру её консеквента. Таким образом рождается один из важнейших терминов символической логики — правило вывода. При корректном применении этого правила его заключение обеспечивает обретение новых истин на основе уже имеющихся.

Одна из важных познавательных функций логических тождеств рассматриваемого типа состоит в том, что заключение «наследует» истинность посылок. Они гарантируют получение новых из уже известных. Однако сама по себе логическая корректность рассуждения еще не является достаточным условием истинности получаемых результатов: правила следования обеспечивают истинность выводимых следствий только при истинности посылок. Если же неизвестно, истинны посылки или нет, то и в этом случае можно получать из них следствия, но уже неизвестно, истинными они будут или нет. Если в дальнейшем выяснится, что полученное логически правильным путем следствие ложно, то это означает, что использована, по крайней мере, одна ложная посылка. В плане методологии научного знания правила следования играют определенную роль в поиске гипотез и процедурах научного объяснения.

В логике правила вывода (следования) записываются в виде фигур рассуждения

А1, А2, …, Аn

С

(или А1, А2, …, Аn / С).

Члены А1, А2, …, Аn называются посылками (допущениями), а С — заключением.

71

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

О п р е д е л е н и е правила вывода (логического следования). Фигура

А1, А2, …, Аn

С

называется корректной фигурой, или правилом вывода, если формула

А1 ë (А2 ë … (Аn ë С) … ) есть логическое тождество.

Значит, для проверки логической правильности некой фигуры рассуждения нужно построить кратную импликацию, сделав посылки фигуры её антецедентами, а заключение — консеквентом, и выяснить, является ли полученная формула тождествен- но-истинной.

Проверьте корректность следующих правил вывода:

АА ë В (МП)

В

Правило МП — это известный давно (и не только логикам) модус поненс: из импликации и формулы, совпадающей с её антецедентом следует формула, совпадающая с её консеквентом.

[Здесь нужно отметить, что зачастую при рассуждениях применяется некорректное правило, очень похожее на модус поненс:

BА ë В , A

иэта похожесть повинна в типичной логической ошибке.]

72

Глава 2. Символическая логика

Правило ВК означает, что конъюнкция следует из любых двух формул и называется введение конъюнкции.

Правило ВД означает, что дизъюнкция следует из формулы, совпадающей с одним из дизъюнктов; оно состоит из двух фигур и называется введение дизъюнкции.

Правило УК тоже состоит из двух фигур; оно означает, что из конъюнкции следует любой из её членов, и называется удаление конъюнкции.

Наконец, правило УД (известное как простая конструктивная дилемма) означает, что из двух импликаций, консеквенты которых одинаковы, и дизъюнкции формул, совпадающих с антецедентами этих импликаций, следует формула, совпадающая с их консеквентом; это удаление дизюнкции.

Применяя правила следования (вывода), можно из исходных формул, именуемых посылками, или допущениями, получать (выводить) новые формулы, логически следующие из исходных, путем построения последовательностей формул, в которых каждая формула является или посылкой, или следует и предшествующих формул по одному из правил вывода. Такого рода последовательности называются формальными выводами.

Данное определение является эффективным в том смысле, что для любой предъявленной последовательности формул (логики высказываний) можно определить, является данная последовательность выводом из посылок (исходных формул) или нет. Однако отсутствие ссылки на конечную совокупность применяемых правил делает это определение малоинтересным с теоретической точки зрения.

В логике выводы служат моделями, на которых изучаются закономерности обычных рассуждений. Используя формальные выводы, как модели рассуждений можно не только проверять логическую правильность рассуждений, но и решать определенного рода задачи.

П р и м е р решения словесно сформулированной задачи с помощью аппарата формальной пропозициональной логики:

(1)Если теорема о сложении скоростей верна, и в системе неподвижных звёзд свет распространяется по всем направ-

73

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

лениям с одинаковой скоростью, то на Земле скорость распространения света не по всем направлениям одинакова.

(2)Известно, что в системе неподвижных звезд распространяется по всем направлениям с одинаковой скоростью, а в опытах установлено, что скорость распространения света и на Земле по всем направлениям одинакова.

Что отсюда следует?

В языке логики высказываний посылки, составляющие условия задачи, можно соответственно формулами:

(p Ð q) ë f r, (1) (q Ð r). (2)

С помощью правил вывода из этих формул строится формаль-

4.f (p Ð q) по правилу МТ из (1) и (3)

5.q

6. f p по правилу УК из (2)

В результате, из посылок (1) и (2) в качестве следствия получается f p, то есть, что теорема о сложении скоростей неверна.

Таким способом можно эффективно решать довольно широкий класс задач, однако отсутствие ссылки на конечную совокупность применяемых правил делает его малоинтересным. Этот недостаток преодолевается путем построения логической системы (логического исчисления) естественного, или натурального, вывода.

Прежде, чем выделить такую систему, заметим, что доказательство представляют собой цепочку (последовательность) предложений, связанных отношением логического следования, которая развертывается по следующей схеме:

1)доказательство начинается введением в рассмотрение условия доказываемого предложения в качестве допущения (посылки);

74

Глава 2. Символическая логика

2)из уже имеющихся предложений, к которым всегда можно присоединить уже известные истины, выводятся следствия;

3)доказательство заканчивается получением заключения доказываемого предложения.

Таким образом, обнаруживается, что в доказательстве применяется два рода правил:

а) правила, определяющие общую схему или структуру доказательства;

б) правила, по которым, из уже имеющихся предложений получаются новые предложения.

Правила первого рода называются правилами построения доказательств. Здесь мы ограничиваемся только описательной характеристикой одного из них, данной в виде примера. Что касается правил второго рода, то к ним относятся уже известные правила логического следования, то есть, правила вывода.

Сделанные разъяснения по поводу дедуктивных правил двух родов можно кратко выразить так: с помощью правил построения доказательства определяется структура (схема) доказательства, а с помощью правил вывода осуществляется заполнение строк в этой схеме с целью построения действительного доказательства.

С целью придания некоторого точного смысла описательной характеристике структуры обычных рассуждений формулируется логическая система (логическое исчисление). С её помощью можно строить формальные доказательства, структура которых возможно точно передает логическое строение обычных рассуждений. Логические исчисления получили название систем естественного вывода, или натуральных исчислений2.

Введем систему натурального вывода, обозначив её буквой N Основные правила системы N содержат следующее.

2Впервые натуральные исчисления были изобретены немецким логиком Г. Генценом и польским логиком С. Ячковским в тридцатых годах прошлого столетия.

75

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

[ I ] П р а в и л а л о г и ч е с к о г о в ы в о д а

[ I I ] П р а в и л о п о с т р о е н и я п р о с т о г о д о к а з а т е л ь с т в а .

Прямое доказательство формулы вида А1 ë (А2 ë … (Аn ë С) … ) строится согласно следующему предписанию.

На любом шаге построения можно написать:

1)одну из формул А1, А2 , …, Аn в качестве допущения;

2)формулу, следующую из ранее полученных формул по одному из правил вывода;

3)ранее доказанную формулу.

Прямое доказательство считается построенным, когда в соответствии с пунктами (1)–(3) получена последовательность формул, оканчивающаяся формулой С.

Вообще говоря, доказательство в системе N связано с конечной системой или совокупностью доказательств, упорядоченных некоторым естественным образом. Построенному доказательству непосредственно предшествуют ранее построенные доказательства тех формул, которые в него вписаны; в свою очередь каждому из построенных доказательств могут предшествовать свои ранее построенные доказательства, и так до тех доказательств, которые не имеют предшественников. Их называют элементарными доказательствами.

Описание системы N завершаем определением доказуемой формулы:

Формула называется доказуемой формулой или логической теоремой (системы N), если можно построить доказательство данной формулы (по правилам системы N).

76

Глава 2. Символическая логика

З а м е ч а н и е .

Бессмысленно говорить о логической теореме «вообще»; утверждение, что формула доказуема, означает, что данная формула является логической теоремой какой-то системы, хотя при этом подразумеваемая система часто не указывается явно.

Кроме того, принимается следующе определение знака эквивалентности:

А d В = (А ë В) Ð (В ë А).

Оно означает, что выражение, стоящее слева от знака = (здесь это знак равенства по определению), рассматривается как сокращенная запись выражения, стоящего справа от этого знака. Значит, вхождение выражения из правой части этого определения можно заменять на вхождение выражения из его левой части; и наоборот.

Из данного определения непосредственно следует, что прави-

ла

называемые соответственно правилами введения и удаления эквивалентности, представляют собой частные случаи правил ВК и УК.

Описанные выше логические правила, особенно сведенные в систему, работают как средства поиска доказательств, то есть, выполняют функции эвристических принципов мышления; при этом принципам анализа более или менее соответствуют правила построения доказательства, а принципам синтеза — правила логического следования.

Поиск логических доказательств, представляющий собой аналитико-синтетическую процедуру, имеет логическую природу. Он практически не связан с точной формулировкой тезиса искомого доказательства. Часто имеется только его приближенная характеристика — смутная идея тезиса. В этом случае логические правила можно использовать для уточнения или исправления первоначальной формулировки тезиса.

77

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Производные правила

Сформулированные выше правила вывода (системы N), конечно, не исчерпывают всех способов логических рассуждений, осуществляемых средствами логики высказываний. Однако остальные логические правила этой области можно свести к данным основным. Для того, чтобы показать это, используется понятие производного правила, а для понимания смысла такого правила нужно понятие равнообъемности систем. Две логические системы называются равнообъемными, если любая формула, доказуемая в одной из них, доказуема и в другой.

О п р е д е л е н и е производного правила.

Правило называется производным в логической системе, если добавление к системе этого правила дает равнообъемную ей систему. Другими словами, применение производных правил не увеличивает числа доказуемых в системе формул. Очевидно, что обоснование производности правила состоит в предъявлении эффективного метода, пользуясь которым, любое доказательство, содержащее применения этого правила, можно преобразовать в доказательство той же формулы только с помощью применений основных правил.

Таким образом, при построении доказательства теоретически можно обойтись вообще без производных правил. Однако отказ от их применения приводит к тому, что доказательство практически не осуществимо с приемлемой затратой сил и времени, когда приходится иметь дело с труднообозримыми логическими конструкциями. Производные правило существенно сокращают процесс поиска и построения доказательств.

Правило вывода называется производным относительно некой формулы, если установлено, что данная формула есть логическая терема. Например, одна из наиболее часто применяемых в рассуждениях формул

(А ë В) ë ((В ë С) ë (А ë С)) (закон условного силлогизма),

являясь теоремой, показывает производность правила условного силлогизма

78

Глава 2. Символическая логика

Аë В В ë С .

Аë С

Очевидно, что приведено производно широко применяемое в обычных рассуждениях обобщение правила modus ponens:

А1, А2, …, Аn; А1 ë (А2 ë … (Аn ë С) …) .

С

Фрагмент системы N, определяемый правилами вывода и правилом построения прямого доказательства представляет собой один из вариантов положительной (позитивной) логики. В ней изучаются логические законы и правила, не содержащие знака отрицания. Поэтому такую логику можно назвать логикой

чисто прямого доказательства.

Вот прямое доказательство формулы q ë q:

qдопущение.

Разумеется, оно кажется странным. Но так и должно быть. Введя в качестве допущения формулу, совпадающую с её антецедентом, мы, тем самым, и заканчиваем доказательство, потому что консеквентом, а прямое доказательство, по определению, заканчивается получением последовательности, оканчивающейся формулой, совпадающей с консеквентом доказываемой формулы. (Такая последовательность получена; здесь она состоит из одной формулы3.)

Помимо рассмотренных логических средств применяются различные косвенные доказательства. Назовем некоторые из них, не вдаваясь в подробности.

3Где сказано, что последовательность не может состоять из единственного члена и вообще не содержать членов (пустая последовательность)? Данное доказательство, конечно, тривиально и кажется странным лишь потому, что в обычных рассуждениях люди стараются избегать банальностей. Только логический анализ — это не «обычная речь». В формальной логике немало подобных «странностей», и тому, кто знакомится с логикой, надо быстрее к ним привыкнуть.

79

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Слабое косвенное доказательство

В данном случае к исчислению положительной логики добавляется правило слабого косвенного доказательства.

Слабое косвенное доказательство формулы вида А1 ë (А2 ë … (Аn ë С) … ) строится согласно следующему предписанию.

На любом шаге построения можно написать:

1) одну из формул А1, А2 , …, Аn в качестве допущения:

1а) формулу СR, полученную из С стиранием первого сева знака отрицания в качестве допущения косвенного доказательства;

2)формулу, следующую из ранее полученных формул по одному из правил вывода;

3)ранее доказанную формулу.

Слабое косвенное доказательство считается построенным, когда в соответствии с пунктами (1)–(3) получена последовательность формул, содержащая формулой СR, пару противоречащих формул и оканчивающаяся одной из формул данной пары.

Слабое косвенное доказательство — это частный случай косвенного доказательства, «слабость» которого заключается, в частности в том, что, вводя допущение косвенного доказательства можно только стирать, но не приписывать знак отрицания. Кроме того, если для окончания косвенного доказательства нужна последовательность формул, содержащая пару противоречащих формул и не требуется, чтобы в эту последовательность входило специальное допущение косвенного доказательства, то одним из непременных условий окончания слабого косвенного доказательства является наличие этого специального допущения.

Система с правилом слабого косвенного доказательства получила название минимальной логики4. Если в полной системе N можно обойтись без правила построения прямого доказательства, то в минимальной логике оно необходимо, так как ни одну формулу, консеквент которой не начинается знаком отрицания, невозможно доказать с помощью правила косвенного доказательства.

4Исчисление минимальной логики было впервые построено математиком А.Н. Колмогоровым (См.: Колмогоров А.Н. О принципе tertium non datur // Матем. сборник. — М., 1925. — Т. 32. — Вып. 4).

80