Логика и методология научного исследования. Учебное пособие

Глава 2. Символическая логика

2.2. Семантика логических знаков

Точный смысл (семантика) логических знаков разъясняется с помощью специальных таблиц, в которых, зафиксировано, при каких значениях формул какое значение приобретают формулы, построенные с помощью основных логических союзов.

Отрицание

Формула f А истинна, когда А ложна, и f А ложна, когда А истинна.

Конъюнкция

Формула А Ð В истинна, когда А и В истинны и ложна во всех остальных случаях.

Дизъюнкция

51

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Формула А ] В истинна тогда и только тогда, когда истинна, по крайней мере одна из формул А, В.

Импликация

Формула А ë В истинна тогда и только тогда, когда А истинна, а В ложна.

Эквивалентность

Формула А d В истинна либо когда формулы А, В обе истинны, либо когда они обе ложны, в двух других случаях она ложна.

Когда построен язык, выражениям которого придан точный смысл, на него переводятся выражения естественного языка. Этот перевод осложняется, в частности, синонимией и омонимией, связанными со словами естественного языка, выражающими логические связки.

(В качестве упражнения рекомендуется перевести на язык логики высказываний фразу из рассказа А.П. Чехова: «Если кто из товарищей опаздывал на молебен, или доходили слухи о ка- кой-нибудь проказе гимназистов, или видели классную даму

52

Глава 2. Символическая логика

поздно вечером с офицером, то он очень волновался и всё говорил, как бы чего не вышло».)

Зная логические значения элементарных высказываний, с помощью семантических таблиц для соответствующих логических союзов можно установить логическое значение любого сложного высказывания, построенного с помощью этих союзов. Например:

((p ë q) Ð f r) ë (r ë (p ] q))

Как должна заполниться таблица дальше?

Процедуру построения таблицы можно упростить, заменив её процедурой выписывания под всеми подформулами данной формулы их логических значений, чтобы были представлены все возможные наборы значений переменных данной формулы. Затем под каждым из остальных вхождений некоторой переменной выписывается столбец, который выписан под её первым хождением. Далее шаг за шагом под каждым логическим знаком выписывается столбец значений подформулы, в которой этот логический знак является главным.

53

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Например:

((p ] q) d f q) ë (f r ë f p)

ии и л л и и л и и л и л и

ии

лл л

и и и

ли и

и и л

лл л

(Завершите процедуру выписывания логических значений самостоятельно.)

Равносильные формулы логики высказываний

Иногда различные по своей структуре формулы таковы, что одинаковым наборам логических значений во входных столбцах их таблиц отвечают одинаковые логические значения в соответствующих строках заключительных столбцов.

Например, в таблицах формул p ë f q и f (p Ð q) одинаковым наборам логических значений переменных во входных столбцах отвечают одинаковые логические значения в соответствующих строках заключительных столбцов. О подобных формулах говорят, что они логически равносильны. По определению, равносильными называются такие формулы, логические значения которых совпадают при любых значениях входящих в них переменных.

54

Глава 2. Символическая логика

Равносильными могут быть не только формулы, в которые входят одни и те же переменные, но и формулы, содержащие различные переменные. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Высказывания называются логически равнозначными, если их можно получить из равносильных формул путем замены всех входящих в них переменных конкретными высказываниями. Например, высказывание «Если студент неправильно рассуждает, то он не сдаст экзамен по логике» равнозначно высказыванию «Неверно, что студент рассуждает неправильно и сдаст экзамен по логике».

Некоторые важные равносильности в пропозициональной логике

Эта равносильность означает, что двойное отрицание любой формулы равносильно самой этой формуле. ff А истинна, когда истинна формула А и ложна, когда А ложна. В этом легко убедиться, построив таблицу, во входном столбце которой вписаны значения формулы А, а в заключительном — формулы ff А.

55

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Равносильность всех приведенных далее схем формул можно обосновать построением соответствующих таблиц. Они строятся так же, как таблицы для формул, с той лишь разницей, что вместо пропозициональных переменных стоят заглавные буквы.

(Фактическое построение таких таблиц для равносильных формул полезно выполнить самостоятельно.)

(1) и (3) — это выражения законов коммутативности и ассоциативности конъюнкции.

Двойственным образом равносильности

свидетельствуют о коммутативности и ассоциативности дизъюнкции.

Равносильность (5) позволяет применять бесскобочную запись А ] В ] С.

Следующие равносильности

свидетельствуют о дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции и дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции.

Следующие две равносильности:

называются законами идемпотентности конъюнкции и дизъюнкции.

56

Глава 2. Символическая логика

называются законами де Моргана.

(Приведите примеры равнозначности высказываний, соответствующей этим законам.)

Еще ряд равносильностей:

Интересны и эффективно применяются равносильности:

Равносильность (18) называется законом исключения, а равносильности (19) и (20) — законами поглощения.

Правило равносильной замены

Используя транзитивность отношения равносильности и зная о равносильности одних формул, можно судить о равносильности других. Например, формула

В силу транзитивности отношения равносильности отсюда следует, что формулы (а) и (в) тоже равносильны.

57

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Поскольку же формула (а) согласно (10) равносильна форму-

ле:

получаем, что формулы (а) и (г) тоже равносильны.

Далее, подобно тому как в элементарной алгебре заменой «равного равным» осуществляют тождественные преобразования алгебраических выражений, в логике также пользуются правилом замены, позволяющим выполнять равносильные преобразования и от одних формул переходить к другим, равносильным им формулам. В пропозициональной логике доказуема теорема, выражающая правило равносильной замены.

Полные системы логических знаков

С помощью правила равносильной замены можно преобразовать формулу так, чтобы она не содержала некоторого логического знака. Поскольку формулы имеют конечную длину, конечным числом применением правила равносильной замены любую формулу можно преобразовать так, чтобы она не содержала никаких логических знаков, кроме f, Ð и ].

Путем дальнейших преобразований можно получить формулу, содержащую только знаки Ð и ]. Эти знаками являются

двойственными логическими знаками. Для них можно сформулировать и доказать теорему, выражающую закон двойственности:

Если А* и В* — формулы, двойственные формулам А и В соответственно, и если А равносильно В, то А* равносильно В*.

Формула А называется самодвойственной, если А равносильна А*.

Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы

Существуют формулы, которые при любых значениях входящих в них переменных принимают значение «истинно» («ложно»); такие формулы называются тождественно-истинными или логическими тождествами (тождественно ложными, или самопротиворечивыми).

58

Глава 2. Символическая логика

Самые известные примеры тождественно-истинных формул: p ë p

Первая из них выражает закон тождества, вторая — закон исключенного третьего.

Примеры тождественно-ложных формул: p Ð f p

59

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

f p Ð f (f p ] q)

Ясно, что отрицание тождественно-истинной формулы есть тождественно-ложная формула, и наоборот.

Если обозначить буквой И тождественно-истинную формулу, а буквой Л — тождественно-ложную формулу, будут иметь место равносильности:

f И равносильно Л, f Л равносильно И, А d И равносильно А, d И равносильно И, А Ð Л равносильно f А, А Ð И равносильно А, И Ð А равносильно А, А Ð Л равносильно Л, Л Ð А равносильно Л, А ] И равносильно И, И ] А равносильно И, Л ] А равносильно А, А ] Л равносильно А.

В рассматриваемом варианте логики доказуема следующая простая теорема:

А равносильно В тогда и только тогда, когда формула А d В тождественно-истинна.

60