Логика и методология научного исследования. Учебное пособие

Глава 2. Символическая логика

У п р а ж н е н и е .

Построить такую формулу А, чтобы формула (p ë (A ë f q)) ë ((p Ð q) ] A)

была тождественно-истинной.

2.3. Нормальные формы высказываний

По определению, формула (то есть, высказывание, изображенное символически) имеет нормальную форму (находится в нормальной форме), если она

а) не содержит знаков ë и d;

б) знаки отрицания стоят в ней только при переменных. Формула может иметь нормальную форму или не иметь таковой.

Например, формула (f (p ] q) Ð f r) ] (f q ] s)

не имеет нормальной формы.

Любое высказывание, не имеющее нормальной формы, можно конечным числом применений правил замены преобразовать в такое высказывание, которое данную форму имеет. Это называется процессом приведения к нормальной форме. Эта процедура применяется при решении важной проблемы разрешения.

Каждая формула логики высказываний принадлежит одному из трех классов:

1)истинных при любых значениях входящих в них переменных (тождественно-истинных формул);

2)ложных при любых значениях входящих в них переменных (тождественно-ложных формул);

3)истинных при одних значениях своих переменных и лож-

ных при других (нейтральных формул).

Формула логики высказываний называется выполнимой формулой, если хотя бы для одного набора своих переменных она имеет значение «истина». Тождественно-истинные и нейтральные формулы являются выполнимыми, а тождественноложные — не выполнимыми. Важная задача выяснения для любой формулы, к какому из этих трех классов она принадлежит,

61

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

называется семантической проблемой разрешения1. В соответствии с этим процедура, позволяющая конечным числом простых действий решить проблему разрешения, называется разрешающей процедурой.

Хотя семантические таблицы очень наглядны, и их легко строить, применять их при решении проблемы разрешения практически удобно лишь в тех случаях, когда в формулу входит небольшое число переменных и она не очень длинная. Число строк таблицы очень быстро растет с увеличением числа ходящих в формулу переменных. Если при трёх переменных достаточно 8 строк, то при десяти переменных нужно уже 1024 строк. Существуют другие, более удобные разрешающие процедуры

Чтобы получить разрешающую процедуру, достаточно найти способ отличить тождественно-истинную формулу от всех стальных. Это можно сделать, не прибегая к помощи таблиц. Будем говорить, то пропозициональная переменная регулярно входит в формулу, приведенную к нормальной форме, если она входит в эту формулу одновременно с отрицанием и без отрицания; если она входит в данную формулу только с отрицанием или только без отрицания, скажем, что она входит в формулу

нерегулярно.

Разрешающая процедура заключается в следующем:

1)приводим формулу к нормальной форме;

2)выделяем переменные, входящие в формулу нерегулярно;

3)вместо всех нерегулярных вхождений переменной пишем букву «Л»;

4)применяем правило замены по равносильности ко всем подформулам полученной формулы до тех пор, пока оста-

ются поводы для его применения:

4а) вместо одного из регулярных вхождений переменной пишем буку «И» и применяем правило замены по равносильности;

1Эта проблема явным образом или скрыто решается не только в области пропозициональной логики или логики более высоких порядков, но и в любой области науки (очень интересно этот факт отражен, например, в книге Р.М. Смаллиана «Вовеки неразрешимо»).

62

Глава 2. Символическая логика

4б) вместо той же самой переменной пишем букву «Л» при появлении новых нерегулярных вхождений применяем соответствующие правила замены по равносильности;

5)преобразования повторяем до тех пор, пока не получается формула, не содержащая нерегулярных хождений переменных;

Если в результате остаются одни буквы «И», то испытуемая формула тождественно истинна, если же остается хотя бы одна буква «Л», формула не является таковой.

[Для уяснения сути дела следует самостоятельно применить разрешающую процедуру к формуле (p Ð q Ð f r) ] ((p Ð f q) ] f p ] r).]

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и совершенная КНФ (СКНФ)

Есть ли закономерная вязь между структурой формулы и её содержанием? Ответ утвердительный. Более того, существует простой метод, позволяющий по виду формулы судить о том, тождественно-истинная она или нет.

Элементарной дизъюнкцией называется формула вида

А1 ] А2 ] … ] Аn,

где n l 1, а Аi (n l i) — либо переменная, либо отрицание переменной/ Например, формула:

p ] q ] f r ] p ] f q ] r

является элементарной дизъюнкцией.

Доказуема теорема, выражающая следующий факт.

Элементарная дизъюнкция тождественно истинна тогда и только тогда, когда в ней содержится хотя бы одна пара дизъюнктивных членов, один из которых есть некоторая переменная, а другой — её отрицание.

Данная теорема обосновывает следующее определение:

Формула логики высказываний имеет конъюнктивную нормальную форму (КНФ) если она имеет вид

В1 Ð В2 Ð … Ð Вm,

где В1, В2, …, Вm, — элементарные дизъюнкции, а m l 1.

63

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Например, формула p Ð (f q ] r) Ð f s Ð (f p ] f r)

имеет КНФ. Любую формулу пропозициональную формулу логики высказываний можно привести к КНФ в результате ряда равносильных замен. Формула представима в КНФ не единственным образом. Например, формула p d q имеет, по крайней мере, три варианта представления в КНФ.

Формула, имеющая КНФ является тождественно-истинной тогда и только тогда тождественно истинны все её конъюнктивные члены, то есть, каждая элементарная дизъюнкция содержит, по крайней мере, одну пару дизъюнктов, один из которых есть переменная, а второй — её отрицание.

Каждая не тождественно-истинная формула имеет КНФ, которая называется совершенной.

О п р е д е л е н и е .

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая её КНФ, которая удовлетворяет следующим условиям:

Для того, чтобы привести формулу к СКНФ, необходимо:

1)известным уже способом привести её к КНФ;

2)устранить из КНФ повторяющиеся конъюнкты, то есть из всех одинаковых конъюнктивных членов оставить только один, вычеркнув все остальные.

64

Глава 2. Символическая логика

3)устранить все повторения в конъюнктивных членах КНФ, то есть, из всех имеющихся конъюнктивных членов оставить только один, а остальные вычеркнуть;

4)устранить из КНФ те конъюнктивные члены, которые являются тождественно-истинными элементарными дизъюнктами;

5)ко всем конъюнктивным членам, в которых отсутствует какая-то из содержащихся в данных формулах перемен-

ных Е приписать знак дизъюнкции и вслед за им тожде- ственно-ложную конъюнкцию (Е Ð Л) и затем применить правило замены по равносильности. Эту процедуру нужно применять до тех пор, пока не окажется, что в каждый конъюнктивный член входят все переменные, содержащиеся в данной формуле;

6)если в получившейся КНФ снова появились повторяющиеся члены, эти повторения сразу устраняются.

Уп р а ж н е н и е .

В качестве упражнения рекомендуется привести к КНФ следующие формулы:

1)p ë (( p ë q) ë q),

2)((p ë q) ] (p ë r)) ë (p ë (q ] r)),

3)((p ë q) Ð (r ë s)) ë ((p ë r) ë (q Ð s)),

ипривести к СКНФ формулы

1)(p ë q) ] f (f q ] r),

2)((f (p ë q) ë q) ] f q) ] (p Ð r).

2.4.Логическое следование и логические следствия

Пожалуй, самым главным понятием для логики, и не только пропозициональной, является следование.

Пусть А1, А2, …, Аn и В — формулы. Будем говорить, что формула В логически следует из формул А1, А2, …, Аn, если при всех тех значениях, при которых А1, А2, …, Аn истинны, она тоже истинна.

65

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Для того, чтобы проверить, выполняется ли это условие, нужно выяснить, может ли формула (А1 Ð А2 Ð … Ð Аn) ë В быть ложной хотя бы при одном наборе логических значений входящих в неё переменных. Такого набора не существует, если эта формула тождественно истинна. В этом случае формула В называется логическим следствием формул А1, А2, …, Аn (которые в этом случае называют посылками или допущениями).

Процедуру приведения формулы к СКНФ используют для решения задачи отыскания логических из данных посылок. Можно указать следующий метод систематического обзора следствий из любого числа посылок. Данные посылки связывают знаком конъюнкции и получившуюся формулу приводят к СКНФ. Каждый конъюнктивный член полученной СКНФ, а также любая конъюнкция её членов является следствием из рассматриваемых посылок.

Вкачестве упражнения полезно решить следующую задачу.

Уп р а ж н е н и е .

Выяснить, верно ли, что формула f r ] f q следует из формул p и p ë f (q ] r).

Сокращенная конъюнктивная нормальная форма

С помощью СКНФ можно получить обзор всех следствий из данных посылок. Однако обычно интересны наиболее существенные, так называемые простые следствия. Следствие В из посылок А1, А2, …, Аn называется простым, если В есть такая не содержащая повторений и не тождественно-истинная элементарная дизъюнкция, которая не поглощается (в смысле равносильности (19)) никаким другим более сильным следствием из посылок такого же вида. Простые следствия из данных посылок можно получить, приведя их конъюнкцию к сокращенной КНФ.

Согласно определению, сокращенная КНФ данной формулы есть её КНФ, удовлетворяющая следующим условиям:

а) ни в одном конъюнктивном члене нет повторяющихся дизъюнктов;

66

переменно и её отрицания.

Для того чтобы привести формулу к сокращенной КНФ, нуж-

но:

—во-первых, привести её к КНФ;

—во-вторых, обеспечить выполнение условий (а)-(г) данного определения.

Уп р а ж н е н и е .

В качестве упражнения предлагается найти все простые следствия из посылок

p ë f q, f p ë r и f (q Ð r).

Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ и СДНФ)

Алгоритм их изучения и применения прост и основан на законе двойственности конъюнкции и обыкновенной (слабой) дизъюнкции. Человеку, внимательно дочитавшему до этого параграфа, должен быть ясен его смысл (в рамках излагаемого здесь варианта логики). Посему нет нужды повторять в точности то же самое, ибо всё сказанное о КНФ верно и для ДНФ, когда слово «конъюнкция» заменено словом «дизъюнкция», понятие тождественно-истинной формулы — понятием тождественноложной (это касается всех однокоренных терминов и, соответственно, знаков Ð и ]).

67

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

ДНФ тоже приносит свою пользу. Например, известна такая история.

У п р а ж н е н и е .

Алхимик, посаженный в тюрьму за ересь (а это грозило неминуемой смертью), последовательно получил шесть секретных сообщений, которые были закодированы с помощью овощей, вложенных в суп; они касались его намерения превратить свинец в золото.

Пе р в о е с о о б щ е н и е . Ваше намерение превратить свинец в золото будет осуществлено; королева утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г; обвинительное заключение будет передано настоятелю.

В т о р о е с о о б щ е н и е . Ваше намерение превратить свинец в золото не будет осуществлено; королева не утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г; обвинительное заключение не будет передан настоятелю.

Тр е т ь е с о о б щ е н и е . Ваше намерение превратить свинец в золото будет осуществлено; королева утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г; обвинительное заключение не будет передано настоятелю.

Ч е т в е р т о е с о о б щ е н и е . То, что следует дальше, неверно. Или ваше намерение превратить свинец в золото будет осуществлено, или королева утвердит вашего зятя настоятелем

к1 апреля 1457 г; обвинительное заключение не будет передано настоятелю.

Пя т о е с о о б щ е н и е . По крайне мере одно из предыдущих сообщений истинно.

Ше с т о е с о о б щ е н и е . Полученная вами информация абсолютно достоверна.

Как алхимик посредством сокращенной ДНФ смог наилучшим образом упростить полученную им информацию (что положительно повлияло на его судьбу)?

Ответ выразить формулой, содержащей знак d.

68

Глава 2. Символическая логика

Естественный вывод в логике высказываний Понятие логического вывода

Когда в обычных рассуждениях из посылок (допущений) делается заключение, подыскиваются посылки (гипотезы), из которых заключение можно вывести, ведется поиск доказательства, опровержения и т.п. Во всех этих случаях рассуждения развертываются в соответствии с правилами логического следования, разумеется, если они не нарушаются вольно или невольно, что приводят к ошибкам в рассуждениях.

Правила логического следования отражают определенные отношения вещей. Тождественно-истинные формулы, или логические тождества, как формы выражения логических законов, используют для обоснования правил логического следования. С точки зрения самой процедуры обоснования особое значение имеет способ представления формул в виде так называемых

кратных импликаций.

Кратной импликацией называется формула вида А1 ë (А2 ë … (Аn ë С) … ). (*)

Члены кратной импликации, обозначенные здесь буквами А1, А2, …, Аn называются антецедентами, а С — консеквентом.

При n = 1 мы имеем схему однократной (обычной) импликации, при n = 2 — схему двукратной импликации, и т.д.

При n = 0 формула, построенная по схеме кратной импликации (*) совпадает с С, называется нулькратной, или, как еще говорят, вырожденной импликацией, которая совпадает с собственным консеквентом и не имеет антецедентов.

Анализ формул по схеме кратной импликации важен и может иметь различную глубину, в зависимости от того, какие части анализируемой формулы рассматриваются в качестве антецедентов и консеквента. Например, формулу

((p ë q) Ð (q ë r)) ë (p ë r)

можно рассматривать в качестве однократной импликации, построенной по схеме

А1 ë С.

69

Логика и методология научного исследования: учебное пособие

Очевидно, что в этом случае в качестве А1 берется формула (p ë q) Ð (q ë r), а в качестве С — формула (p ë r).

Но если в качестве А1 берется формула (p ë q) Ð (q ë r), в качестве А2 — формула p, а в качестве С — формула r, то получается уже двукратная импликация вида

А1 ë (А2 ë С).

Ясно, что более тонкий анализ по схеме кратной импликации для нее неосуществим. Однако возможен более г грубый анализ, если всю анализируемую формулу ((p ë q) Ð (q ë r)) ë (p ë r) рассматривать в качестве нулькратной импликации, не учитывая того, что она уже содержит ë в качестве главного логического знака.

При анализе формулы по схеме кратной импликации важное значение имеет расположение скобок. Так, каждую из формул

((p ë q) ë p) ë q, (p ë q) ë (p ë q)

можно представить в виде

А1 ë С

и только вторая — в виде

А1 ë (А2 ë С).

Анализ формулы по схеме кратной импликации называется предельным, если букве С в этой схеме ставится в соответствие подформула этой формулы, не содержащая знака импликации в качестве главного логического знака.

В силу естественно сложившихся способов рассуждения при осуществлении обычного (неформального) доказательства, особенно в математике и других точных науках, доказываемые предложения, или тезисы доказательства, формулируют, как правило в форме условного предложения. Их называют теоремами, а вспомогательные условные предложения, используемые для доказательства теорем, называются леммами. Теорема и лемма — ключевые элементы теоретико-доказательственной части всей математики. В свою очередь, описанный выше анализ формулы в схеме кратной импликации является аналогом процедуры выявления условий и заключения в доказываемом предложении.

70