Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

b

∫c dx = c x ba = c (b − a) = 1. a

Отсюда, c = b −1 a .

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

Следует отметить, что значение функции плотности на интервале (a; b) равно числу, обратному длине интервала (a; b). (Длина интервала равна длине отрезка и вычисляется как разность конца и начала интервала). Геометрически фигура под кривой распределения является прямоугольником с основанием — интервалом (a; b) (рисунок 10). Это свойство можно использовать и при вычислении вероятности попадания С.В. на заданный промежуток.

y

1

b – a

Рис. 10. График плотности равномерного распределения

В условиях нашего примера 29, найдём искомую веро- b

ятность по формуле: P(a < X < b) = ∫f (x)dx .

81

Также эту вероятность можно вычислить, используя геометрический смысл вероятности: длину нужного отрезка делим на длину всего отрезка возможных значений. В общем случае, если С.В. X имеет равномерное распределение на отрезке [a; b], то вероятность попадания этой величины в интервал [α;β] , содержащейся внутри [a; b],

решения этого вопроса, сначала нужно решить неравенство:

Найдем числовые характеристики непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно на интервале (a; b).

82

Замечание. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на интервале (0; 1) , то есть если a=0, b=1, соответственно равны

E(X) = 12, D(X) = 121 .

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается функцией плотности:

Видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Вероятностный смысл этих параметров: a — математическое ожидание, σ — среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

Итак, E(X) = a , то есть математическое ожидание нормального распределения рано параметру a.

Дисперсия нормального распределения D(X) = σ2 .

Следовательно, σ(X) = D(X) = σ = σ . То есть, среднее квадратичное отклонение нормального распределения равно параметру σ.

Этот вид распределения наиболее часто встречается на практике. Более того, нормальный закон является предельным для суммы большого количества независимых, одинаково распределенных случайных величин (центральная предельная теорема). Например, размерный ряд одежды или обуви в большом магазине имеют распределение, близкое к нормальному (действительно, существуют так называемые «ходовые», то есть наиболее часто встречающиеся размеры, а очень маленькие и очень большие встречаются редко). Распределение оценок на экзамене для большого количества учащихся, рост призывников, средняя заработная плата и многое другое имеют в пределе нормальный закон распределения вероятностей.

83

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами a и σ (σ > 0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами a= 0 и σ = 1 Плотность нормированного

рована — функция Гаусса (таблица 1 в приложении). Заметим, что она является четной функцией, то есть

ϕ(−x) = ϕ(x) . Кроме того, это ограниченная функция. При x > 4 значения функции ϕ(x)→ 0 .

Замечание 2. Функция распределения F(x) общего нормального распределения имеет вид:

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0; x) можно найти, пользуясь стандартной функцией Лапласа (таблица 2

Следует отметить, что функция Лапласа является нечётной функцией, то есть Φ(−x) = Φ(x) . Кроме того, это ограниченная функция. При x > 4 значения функции Φ(x)→ 0,5 , а при x <–4 значения функции Φ(x)→ −0,5 .

84

Замечание 4. Учитывая свойство нормированности

+∞

−∞

P( −∞ < X < 0) = 0,5 .

Таким образом, легко получить, что F0 ( x) = 0,5 + Φ( x). Действительно,

F0 ( x) = P( −∞ < X < x) = P( −∞ < X < 0) + P(0 < X < x) = 0,5 + Φ( x).

То есть общая функция распределения отличается от нормированной функции распределения на константу 0,5.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса — рисунок 11).

Рис. 11. График кривой Гаусса при различных значениях σ

Используя стандартную функцию Лапласа

можно получить формулу для вычисления вероятности:

На практике часто используется формула:

85

Частным случаем этой формулы является так называемое правило трёх сигм. Если взять значение ε = 3 σ , то

P{ X − a < 3σ} = 2Φ 3σ = 2Φ (3) ≈ 2 0,49865 ≈ 0,9973

0 σ 0

Это правило говорит о том, что вероятность попадания нормальной С.В. в интервал (a − 3σ;a + 3σ) является практически достоверным событием. Правило часто используется на практике для определения интервала возможных значений случайной величины. Убедимся в нём при решении задачи.

Задача

Производится закупка мужской обуви. Как необходимо заказать распределение обуви по размерам, если из антропометрической статистики известно, что данное распределение является нормальным с математическим ожиданием a= 42 и средним квадратичным отклонением σ= 2?

Решение

Нормальный закон распределения имеет непрерывная случайная величина, принимающая все возможные значения. Очевидно, что обувь имеет ограниченный интервал возможных значений. В частности, по правилу трёх сигм, возможные значения размера мужской обуви находятся в интервале:

(a − 3σ;a + 3σ) = (42 − 3 2;42 + 3 2) = (36;48).

Действительно, этот интервал представляет все возможные значения размера мужской обуви в обычном магазине. Но, как мы знаем, размерный ряд обуви представлен лишь целыми или целыми с половиной значениями. Поэтому, для того, чтобы определить, в каком количестве заказать обувь определенного размера (например, 42-го), нужно взять интервал, содержащий данное значение. В действительности, мы посчитаем вероятность того, что именно этот размер будет востребован покупателем.

Итак, если магазин предлагает не только целые размеры, но и целые с половиной, то делим интервал возможных значений на непересекающиеся промежутки, содержащие все необходимые размеры. Если нас интересует 42 размер (а ещё есть 41,5 и 42,5), то рассмотрим интервал

86

(41,75; 42,25), центром которого является нужный нам размер. По формуле вероятности попадания в интервал нормальной случайной величины:

= Φ0 (0,125) − Φ0 (−0,125) = 2 Φ0 (0,125) ≈ 2 0,05 ≈ 0,1 .

Таким образом, обувь 42 размера необходимо заказать примерно 10  % от всего размерного ряда. Аналогично можно найти вероятности и для остальных размеров. Эти вычисления позволяют распределить закупку определенной модели обуви по размерам таким образом, чтобы оптимально удовлетворить и потребности покупателя, и желание продавца.

Отметим, что нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Кроме того, он является предельным законом для большого количества случайных величин с одинаковым распределением.

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если она принимает неотрицательные значения и её плотность вероятности имеет вид

где λ > 0 — параметр распределения.

Рис. 12. График функции плотности показательного распределения

87

Числовые характеристики показательного закона:

E(X) = 1λ , D(X) = λ12 , σ(X) = 1λ .

Эти формулы легко проверить по определению числовых характеристик Н.С.В. с помощью вычисления определенного интеграла. В частности, функция распределения показательного закона имеет вид:

Пример 30

Случайная величина T — время работы прибора имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что прибор проработает не менее 800 часов, если среднее время работы прибора 400 часов.

Решение

Среднее время работы — это математическое ожидание случайной величины T — время работы прибора. То

есть, E(T) = 1λ = 400 . Следовательно, параметр λ = 4001 .

По формуле вычисления вероятности имеем:

Следует отметить, что показательный закон наиболее часто встречается в теории массового обслуживания и теории надежности. В частности, отклик на рекламу имеет показательное распределение.

Для удобства при решении задач, составим таблицу основных видов распределений Н.С.В.:

88

Задача

Случайная величина дохода X распределена по нормальному закону с параметрами m = 39 и σ = 0,54. Случайная величина инфляции Y равномерно распределена на отрезке [–1; 5]. Найти математическое ожидание и дисперсию комбинации величин (2X – 6Y +4), считая величины X и Y независимыми.

Решение

Так как X ~ N(m,σ), то E(X) = m = 39, D(X) = σ2 = 0,54.

Воспользуемся свойствами математического ожидания:

E(2X − 6Y + 4) = 2 E(X)− 6 E(Y )+ 4 = 2 39 − 6 2 + 4 =

=78 −12 + 4 = 70.

По свойствам дисперсии для независимых случайных величин имеем:

D(2X − 6Y + 4) = 22 D(X)+ (−6)2 D(Y )+ 0 = 4 0,54 + 36 3 =

= 2,16 +108 = 110,16.

89

Глава 13. Основы математической статистики

Статистическое мышление станет со временем такой же необходимостью, как и навыки к письму и чтению

Герберт Дж. Уэллс (английский писатель и публицист)

В программе у студентов есть предмет Статистика. Зачем же ещё изучать и математическую статистику? В чем их отличие? Почему математическая статистика изучается вместе с теорией вероятностей? Это постоянные вопросы студентов в начале изучения предмета Математическая статистика. Давайте разберёмся.

Статистика, или общая теория статистики, исследует общие методы сбора и анализа статистических данных. Но при этом основное внимание уделяется практическому применению научных методов, разработкой которых занимается математическая статистика.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику вполне обоснованно считают наукой о принятии решений в условиях неопределенности. Все понятия

иобъекты, рассматриваемые в статистике, изучаются

ив теории вероятности. Однако, в теории вероятностей мы вычисляли параметры до опыта (не проводили никакие эксперименты), а в статистике, чтобы найти параметр, нужно провести опыт и провести полные измерения объектов. То есть теория вероятностей и статистика говорят об одних и тех же явлениях, но рассматривают их как будто «с разных сторон».

Основными понятиями математической статистики являются совокупность и выборка. Рассматриваются совокупности двух видов: статистическая совокупность

исовокупность-распределение.

90