Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

Изобразим эти множества в декартовой системе координат (рис. 2).

y

D

d

¼

0 ¼ 1 x

Рис. 2. Область решений в задаче о встрече

По определению P( A) = Sd .

SD

D — это квадрат со стороной 1: SD = 12 = 1.

d — это часть квадрата без двух треугольников:

Sd = 12 − 2 12 43 43 = 1− 169 = 167 .

Таким образом, P( A) = Sd = 7 .

SD 16

В этой задаче все построения проводились на плоскости, поэтому в формуле для вероятности использовались площади фигур. Если решать задачи линейные, то есть на отрезке, то мерой измерения будет длина отрезка. Для объемных фигур следует говорить об объёме тела. В общем случае, если обозначить µ — мера измерения объекта, тогда формула геометрической вероятности имеет вид:

P( A) = µd .

µD

21

Глава 5. Действия над событиями

Часто приходится иметь дело с событиями, состоящими из комбинации других событий. Рассмотрим основные действия, которые можно осуществлять над событиями. При этом подразумевается, что действия над событиями происходят в одном опыте.

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них (или А или В). Для обозначения используют привычную операцию: А+В.

Если события А и В представить, как части множества в пространстве возможных исходов U, то объединение множеств A B и есть сумма событий (рисунок 3).

A B

A B

U

Рис. 3. Сумма событий

Такого вида рисунки ещё называют «круги Эйлера», или «диаграммы Венна». Здесь событие представляет из себя некоторый круг — часть выделенного множества, а выделенный прямоугольник — всё пространство возможных исходов, некоторое универсальное множество U.

Приведем пример суммы событий: если производится 2 выстрела по мишени. Обозначим событие А — попадание при первом выстреле, В — при втором. Тогда, попадание хотя бы раз при двух выстрелах представляет из себя событие А+В.

Отметим, что если А и В — несовместные события, то А +В означает появление только одного из них. Например, для дежурства на конференции нужен один сту-

22

дент из группы: или девушка или юноша. Событие А — дежурит девушка, событие В — дежурит юноша. Это два несовместных события и их сумма означает дежурство одного студента любого пола.

Аналогично определяется и обозначается сумма n событий — событие, состоящее в появлении одного события, нескольких или всех событий, если они являются совместными.

Например, С — попадание хотя бы раз при 10 выстрелах — это сумма 10 событий: A1 — попадание ровно один раз из 10, A2 — попадание два раза из 10, и так далее, A10 — попадание все 10 раз из 10

C=A1 +A2 +···+A10. Произведением, или пересечением, 2-х событий на-

зывается событие, состоящее в одновременном их появлении (А и В). Для обозначения также принята обычная операция: А·В.

Рассмотрим события А и В как части множества в пространстве возможных исходов U, тогда пересечение множеств A ∩ B , то есть часть множества, которая содержится и в А и в В одновременно, и есть произведение событий (рис. 4).

U

Рис. 4. Произведение событий

Например, А·В — выигрыш по двум лотереям одновременно.

23

Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большого числа событий — событие, состоящее в появлении всех событий одновременно. Например, получение отличных отметок по всем предметам, сдаваемых в сессию (если их пять, то искомое событие есть произведение пяти событий, каждое из которых означает получение отличной оценки по соответствующему предмету).

Очевидно, если события А и В несовместны, то их произведение является невозможным событием.

Если обозначим U — достоверное событие, — невозможное событие, A — любое событие, A — противоположное событие для события A, то, очевидно, выполняются равенства:

A A = ,A + A = U,A + = A,

A = ,A + U = U,A U = A.

Из этих равенств следует:

A = A U = A (B + B) = A B + A B.

Последнее равенство означает, что любое событие A в одном испытании может произойти одновременно либо с событием B, либо с противоположным ему событием. Например, рассмотрим событие А: мужчина-отец, у которого есть только один ребенок. Тогда у каждого отца есть либо сын — событие B, либо дочь — событие B.

По определению несложно доказать следующие равенства, с помощью которых можно решать более слож-

ные задачи:

A + B = A B,

A B = A + B.

В теории множеств эти формулы называют законы де Моргана. Очевидно, что эти равенства выполняются для любого количества событий. Так, событие, противоположное сумме любого конечного числа слагаемых событий, равно произведению соответствующих противоположных событий. А событие, противоположное произведению любого конечного числа событий-множи- телей, равно сумме соответствующих противоположных событий.

24

Иногда нужное событие является сложным и представляет собой комбинацию большого количества других элементарных событий. При нахождении вероятности сложного события часто используют противоположное событие, которое является более простым, чем исходное.

Например, попадание хотя бы раз при стрельбе из оружия восемь раз. Это событие возможно, когда попали один, два, три и так далее до восьми раз. Причем, попадание возможно любой раз из восьми возможных. А противоположное событие означает ни одного попадания. То есть, все восемь промахи.

При нахождении вероятностей необходимо учитывать связи между событиями. Рассмотрим правила нахождения вероятности комбинации событий. Эти правила представляются в виде теорем сложения и умножения вероятностей.

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей)

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, то есть

Следствие 1.

Поскольку P( A B) ≥ 0 (по свойству вероятности случайного события), то из формулы (1) получаем:

P( A + B) ≤ P( A) + P(B) , то есть вероятность суммы двух событий не превосходит сумму вероятностей этих событий.

Следствие 2.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Таким образом, максимально возможная вероятность суммы событий может быть равна сумме вероятностей слагаемых событий. В частности, если сумма вероятностей двух событий больше единицы, то это означает, что события совместны.

25

Предложение 1. Сумма вероятностей событий A1, A2, ..., An, образующих полную группу, равна едини-

це. То есть: P( A1 ) + P( A2 ) +…+ P( An ) = 1.

Это следует из того, что события, образующие полную группу — попарно несовместны. В сумме такие события образуют всё пространство возможных исходов, то есть, составляют достоверное событие (вероятность такого события равна единице).

И, как частный случай, сумма вероятностей проти-

Противоположные события образуют полную группу событий.

Пример 7

В некотором магазине вероятность продажи одного товара p1 = 0,7 , а второго p2 = 0,5 . Найти вероятность продажи хотя бы одного товара из данных двух.

Решение

Обозначим: событие A — продажа первого товара, B — продажа второго товара. Продажа хотя бы одного товара: или первого или второго, представляет сумму событий. Заметим, что события A и B независимы, но совместны. По теореме 1, сложения вероятностей:

P( A + B) = P( A) + P(B) − P( A B) = p1 + p2 − p1 p2 = = 0,7 + 0,5 − 0,7 0,5 = 0,85.

Также эту задачу можно решить и другим способом, используя частный случай предложения 1 (формула 3) и закон де Моргана:

P( A + B) = 1− P( A + B) = 1 − P( A B) = 1 − q1 q2 =

= 1− 0,3 0,5 = 0,85.

Как видно, результат тот же. В данном случае использовались принятые обозначения: q1 = 1− p1 и q2 = 1− p2 — вероятности противоположных событий.

Прежде чем рассмотреть правило умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности, необходимое при решении задач.

26

Понятие условной вероятности

В ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие, имеющее вероятность, отличную от нуля. Такие вероятности называют условными вероятностями.

Например, событие А — выпадение 4 или 6 очков на игральной кости, событие В — выпадение четного числа очков. Так как событие А принадлежит событию В (и 4 и 6 являются четными числами), то при наступлении события А событие В обязательно произойдет, то есть событие В имеет условную вероятность 1. При этом безус-

ловная вероятность события В составляет 12 .

В общем случае условная вероятность может быть как больше, так и меньше безусловной вероятности события. Например, если студент, при подготовке к зачету выучил 20 вопросов из 30, то безусловная вероят-

ность правильно ответить на вопрос равна p = 2030 = 23.

Но если студент отвечает вторым или третьим по списку, то вероятность правильного ответа зависит от того, какие вопросы до него уже были заданы. Если до него отвечали на те вопросы, которые он знает, то шанс, что ему достанется другой вопрос из числа благоприятных для него, уменьшается. Если же до него были выбраны те вопросы, которые он не знал, то его шансы сдать зачет увеличиваются. Вычисление условной вероятности возможно также классическим способом.

Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается

P(B |A )или PA (B) .

Пусть А и В — два случайных события, причем P( A) ≠ 0 . Тогда условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, является число:

P(B |A )= PP(A( AB) ) .

27

Теорема 2 (теорема умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий равна произ-

ведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

P( A B) = P( A) P(B |A ), P( A B) = P(B) P( A |B ) (4) Эта формула является прямым следствием формулы условной вероятности. Рассуждая аналогично, в данном случае можно вывести формулу для вероятности произ-

ведения трех событий:

P( A B C) = P( A) PA (B) PA B (C)

Рассмотрим пример применения этой формулы.

Пример 8

В корзине находятся 5 белых шаров, 5 черных и 5 желтых. Выбирают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что все эти 3 шара окажутся:

а) одного цвета; б) разного цвета.

Решение

Всего в урне 15 шаров. Считаем, что шары вынимают один за другим через малые промежутки времени. Для события А — все три шара одного цвета, первый шар может быть любого цвета (вероятность выбрать любой шар равна единице), второй должен быть того же цвета, что

и первый, вероятность этого уже будет 144 . Третий шар должен быть того же цвета, что и первые два, вероятность этого 133 . Так как нужно выбрать три шара одновременно (и первый, и второй, и третий), то по формуле произведения вероятностей получаем: P( A) = 1 144 133 = 916 .

Для события В — все три шара разного цвета, рас-

суждая аналогично, имеем: P(B) = 1 1014 135 = 2591.

Здесь все условные вероятности мы считали по классической формуле, используя условие задачи.

28

Независимые события

Событие В называется независимым от события А, если вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А, то есть P(B |A ) = P(B).

Свойство независимости событий является взаимным, то есть, если В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. В случае когда события А и В являются независимыми, то теорема умножения имеет вид:

Формулу (5) можно обобщить и на случай большего количества множителей. В этой ситуации следует проверить независимость событий в совокупности. То есть любое событие должно быть независимо от произведения любого количества событий-множителей.

Пример 9

Для того чтобы получить зачет по математике, необходимо сдать тест. Три друга-студента запланировали вместе отметить удачную сдачу зачета. Вероятности пройти тест зависят от степени подготовки каждого студента и составляют: p1 = 0,75; p2 = 0,8; p3 = 0,9 . Определите вероятность сдачи зачета всеми тремя друзьями одновременно (а, следовательно, исполнения намеченных планов).

Решение

Очевидно, что сдача зачета каждого студента не зависит от того, как сдали тест его друзья. Всё зависит от подготовленности и способностей каждого в отдельности. Поэтому, событие, состоящее в одновременной сдаче зачета тремя друзьями, представляет из себя произведение трех независимых событий A1 A2 A3 , где Ai — сдача зачета i-м студентом.

Таким образом,

P( A1 A2 A3 ) = p1 p2 p3 = 0,75 0,8 0,9 = 0,54.

Задача.

Известно по статистическим данным на протяжении многих лет в некоторой местности, что пары отец и сын выше среднего роста составляют примерно 5 % от всех

29

обследованных пар. Пары из отцов выше среднего роста, а сыновей с ростом ниже среднего составляют 8 %; отец ниже среднего роста, а сын выше — 10 %; отец и сын ниже среднего роста — 77 %. Найти вероятность того, что у мальчика с ростом выше среднего (событие В) отец также высокого роста (событие А).

Решение

Полную группу событий образуют следующие события: A B, A B, A B, A B (вероятность суммы всех этих событий равна единице). Необходимо найти условную вероятность P(B A) .

Из условия задачи известно:

P( A B) = 0,05; P( A B) = 0,08;P( A B) = 0,1;P( A B) = 0,77.

Вероятность события А — отец высокого роста посчитаем, используя равенство: A = A B + A B.

P( A) = P( A B + A B) = P( A B)+ P( A B) = 0,05 + 0,08 = 0,13.

Тогда по формуле условной вероятности:

События B A и B A являются противоположными. Следовательно, вероятность того, что отец у высокого мальчика будет низкого роста:

P(B A) = 1 − P(B A) = 1 − 0,385 = 0,615.

То есть условная вероятность того, что у мальчика с ростом выше среднего, отец также высокого роста, почти в два раза меньше того, что отец роста ниже среднего. Поэтому события А и В нельзя считать независимыми.

30