Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: E(С·Х)=С·E(Х).

Доказательство. Составим закон распределения С.В. (С·Х):

Найдем математическое ожидание по его определению:

E(C X)=C x1 p1 +…+ C xn pn = C (x1 p1 +…+ xn pn )= C E(X).

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины — зависимы.

Определим произведение независимых случайных величин X и Y как случайную величину X·Y, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений произведения X·Y равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Например, если вероятность возможного значения x1 равна p1, а вероятность возможного значения y1 равна q1, то вероятность возможного значения x1 ·y1 равна p1 ·q1.

Заметим, что некоторые произведения xi ·yj могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если x1 · y2 = x3 · y5 то вероятность значения x1 ·y2 равна p1 ·q2 +p3 ·q5.

Например, рассмотрим две случайные величины, заданные таблицами:

Тогда, новая С.В., представляющая произведение независимых С.В. X и Y, имеет закон распределения следующего вида:

51

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: E(X·Y)= E(Х)·E(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y. Вероятности возможных значений X+Yдля независимых случайных величин Х и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого.

Заметим, что некоторые суммы x +y могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если x1 +y2 = x3 +y5, то вероятность значения x1 +y2 равна p12 +p35. Здесь вероятность p12 означает вероятность совместного исхода событий, состоящих в том, что величина Х приняли значение x1 и при этом величина Y приняла значение y2. Как известно, вероятность совместного исхода в общем случае не равна произведению вероятностей (это возможно лишь для независимых событий).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: E(X+Y)= E(Х)+E(Y).

(Это справедливо как для независимых, так и для зависимых С.В.)

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Благодаря свойствам математического ожидания, многие задачи на вычисление числовых характеристик решаются «устно». И нет необходимости находить закон распределения новых случайных величин.

52

Пример 17

Пусть Х и Y — независимые случайные величины с математическими ожиданиями E(X) = 3, E(Y) = 4. Найти математическое ожидание случайной величины 2·X+3·Y–2·X·Y.

Решение

Воспользуемся свойствами математического ожидания:

E(2 X + 3 Y − 2 X Y ) = 2 E(X) + 3 E(Y ) − 2 E(X) E(Y ) =

= 2·3 + 3 4 − 2 3 4 = 6 +12 − 24 = −6.

Для определения С.В. недостаточно знать только математическое ожидание. Эта характеристика не дает полного представления о возможных значениях С.В. Рассмотрим другие характеристики.

Дисперсия дискретной случайной величины

Рассмотрим две Д.С.В. Х и Y. Первая принимает значения –1 и 1 с вероятностями 0,5, а вторая –500 и 500 с теми же вероятностями. Математическое ожидание этих величин одинаково и равно нулю.

E(X) = −1 0,5 +1 0,5 = 0

E(Y ) = −500 0,5 + 500 0,5 = 0

Однако очевидно, что вторая величина сильнее отклоняется от своего математического ожидания, чем первая. Таким образом, математическое ожидание полностью С.В. не характеризует.

Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения С.В. вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которая называется дисперсией. Чтобы дать определение дисперсии, сначала рассмотрим понятие отклонения С.В. от её математического ожидания.

Пусть Х — случайная величина и E(Х) — её математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х–E(Х). Эту разность между С.В. и её математическим ожиданием называют отклонением.

53

Отклонение имеет следующее распределение:

Теорема. Математическое ожидание отклонения рав-

но нулю.

E[X − E(X)]= 0

Доказательство. Воспользуемся свойствами математического ожидания и тем, что E(X) — постоянная величина:

E[X − E(X)]= E(X)− E[E(X)]= E(X)− E(X) = 0 .

Всвязи с этим нет смысла брать за характеристику отклонение.

Определение. Дисперсией (рассеянием) Д.С.В. называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = E (X − E(X))2 .

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

D(X) = E(X2 )−[E(X)]2 .

Доказательство этой теоремы выводится на основании свойств математического ожидания. Данной формулой намного чаще пользуются для вычисления дисперсии, чем определением. Это связано с удобством при вычислении. Подробнее рассмотрим на примерах.

Свойства дисперсии Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна

нулю: D(C)=0.

Доказательство. По определению:

D(C) = E (C − E(C))2 = E (C − C)2 = E(0) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить

за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(C X)= C2 D(X) .

Доказательство также проводится по определению дисперсии и свойствам математического ожидания.

54

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых слу-

чайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y ) = D(X)+ D(Y ).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. D(C + X)= D(X), где C — константа.

Следствие3. D(X − Y )= D(X)+ D(Y ) для независимых величин.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения служат и другие характеристики.

Средним квадратическим отклонением случайной

величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = D(X).

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью С.В.

Например, если Х — средняя заработная плата, которая измеряется в рублях, то D(X) измеряется в рублях в квадрате, а σ(X) — в рублях.

Пример 18

Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Найти: σ(X) .

Решение

E(X) = 1 0,2 + 2 0,1+ 4 0,4 + 5 0,3 = 0,2 + 0,2 +1,6 +1,5 = 3,5.

Так как математическое ожидание не является целым числом, то намного удобнее посчитать дисперсию по формуле. Для этого сначала найдем:

E(X2 )= 12 0,2 + 22 0,1+ 42 0,4 + 52 0,3 = 0,2 + 0,4 + 6,4 +7,5 = 14,5

D(X) = E(X2 )−[E(X)]2 = 14,5 − (3,5)2 = 2,25

σ(X) = D(X) = 2,25 = 1,5.

55

Обратите внимание, при вычислении математического ожидания квадрата С.В., в квадрат возводятся лишь сами значения С.В. Вероятности этих значений не меняются. Также обстоит дело с любой функцией от С.В: вычисляются значения функции от возможных значений С.В., а вероятности не меняются. Математическое ожидание квадрата величины и квадрат математического ожидания — это разные константы!

Не всегда закон распределения С.В. можно выписать полностью. Величина может иметь бесконечное множество значений. Некоторые законы, которые наиболее часто встречаются на практике, уже изучены. Есть разные методы для вычисления числовых характеристик основных законов. Чтобы каждый раз не вычислять эти характеристики, будем пользоваться известными теоремами и утверждениями.

56

Глава 9. Примеры дискретных распределений

Рассмотрим некоторые основные виды распределения Д.С.В.

1. Биномиальное распределение.

Предположим, что в одинаковых условиях производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться событие А с вероятностью р или событие A с вероятностью q (q=1–p).

В каждой серии из n испытаний событие А может либо не появиться, либо появиться 1,2,…, n раз. Рассмотрим Д.С.В. X — число появлений события А при n испытаниях. Найдем закон распределения этой С.В. Величина Х может принимать следующие значения: x0 = 0,x1 = 1,…,xn = n.

Вероятность pk того, что величина Х принимает значение xk, вычисляется по формуле Бернулли:

pk = Pn (k) = Cnk pk qn−k, (k=0, 1, 2, …, n).

Определение. Закон распределения Д.С.В., определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным. Постоянные n и p, входящие в формулу для вычисления вероятности, называются параметрами биномиального распределения.

Биномиальный закон распределения Д.С.В. можно представить в виде таблицы:

Рассмотрим без доказательства теоремы о числовых характеристиках.

Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению вероятности этого события в каждом испытании на число всех испытаний:

E(X)=n·p

Поскольку рассматриваемая случайная величина Х распределена по биномиальному закону, то полученный результат можно сформулировать следующим обра-

57

зом: математическое ожидание Д.С.В., распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, равно произведению n·p.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p его появления одна и та же, равна произведению числа всех испытаний на вероятность появления и вероятность не появления данного события:

D(X) = n·p·q.

Полученный результат означает следующее: дисперсия С.В., распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, равна произведению n·p·q.

Среднее квадратичное отклонение С.В. Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p,

определяется формулой:

σ(X) = n p q.

Пример 19

Стрелок производит 10 выстрелов по цели. За каждое попадание в цель ему начисляется три очка. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найти математическое ожидание С.В. количества начисленных очков

иее дисперсию.

Решение

Обозначим Х — число попаданий при 10 выстрелах.

Очевидно, что Х имеет биномиальное распределение с параметрами n = 10 и p = 0,6. Тогда, количество начисленных очков будет новая величина 3·X.

Математическое ожидание Д.С.В. Х найдем по формуле: E(X) = n · p = 10 · 0,6 = 6, а математическое ожидание числа начисленных очков по свойствам математического ожидания:

E(3 · X) = 3 · E(X) = 3 · n · p = 18. По формуле дисперсии биномиальной С.В. и второму свойству дисперсии получим дисперсию С.В. 3·Х:

E(3·X) = 32 · D(X) = 9 ·n·p·q = 21,6.

Напомним, что q = 1− p = 1 − 0,6 = 0,4 — вероятность противоположного события (в условиях данной задачи — это вероятность промаха при каждом выстреле).

58

Вероятности в данном законе распределения вычисляются по формуле Бернулли, которая содержит числа сочетаний, называемые биномиальными коэффициентами (через них определяется формула Бином Ньютона). Поэтому данный закон распределения и получил название — биномиальный.

2. Геометрическое распределение

Рассмотрим ситуацию с покупкой лотерейных билетов. Обозначим Х число купленных билетов до появления первого выигрыша при условии, что вероятность получения выигрыша при каждой покупке билета не зависит от результатов предыдущих купленных билетов и имеет одно и то же значение р(0 < p < 1). Это возможно, если всего существует достаточно много билетов, или покупки билетов происходят при различных выпусках лотереи.

Величина Х — Д.С.В., возможными значениями которой являются натуральные числа. Найдем закон распределения вероятностей этой С.В.

Событие Х = 1 означает выигрыш первого купленного билета, его вероятность равна р. То есть P(X = 1) = p.

Событие Х = 2 означает выигрыш второго билета и, значит, проигрыш первого. Применим теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим

P(X= 2)= q·p,где q= 1–p.

Событие Х = 3 означает выигрыш третьего билета и, соответственно, проигрыш первых двух билетов. Поэтому P(X= 3)= q·q· p= q2 ·p.Продолжая аналогичные рассуж-

дения, находим общую формулу:

P(X= m)= qm–1 ·p (m=1,2,…, n, …). Итак, имеем закон распределения:

Случайная величина с таким законом распределения называется распределенной по геометрическому закону.

Название «геометрическое распределение» связано с тем, что ряд вероятностей представляет собой бесконеч-

59

но убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q= 1–p; сумма этого ряда равна единице:

p + q p +…+ qn−1 p +…= p 1−1q = 1.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию Д.С.В., имеющей геометрическое распределение. Поскольку множество возможных значений величины Х бесконечно, то на основании формулы, математическое ожидание есть сумма ряда:

Используя свойства ряда можно доказать:

E(X) = 1p, ( p > 0).

D(X) = 1− p = q . p2 p2

Вероятность успеха p в геометрическом распределении называют параметром этого распределения.

Пример 20

Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию С.В. Х — числа выстрелов по цели до первого попадания.

Решение

С.В. Х имеет геометрическое распределение с параметром p = 0,1. Тогда, вероятность промаха для данного стрелка: q = 1 – p = 1 – 0,1 = 0,9. По формулам для вычисления числовых характеристик геометрической С.В.:

60