Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

Глава 6. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при появлении одного из событий H1,H2,…,Hn , образующих полную группу событий. Например, для выбора туристической поездки мы можем выбрать одну из различных туристических фирм, находящихся в нашем городе. Вероятность некачественного отдыха зависит от добросовестного отношения работников фирмы к своим клиентам и в каждом случае определяется различными составляющими. Случайным образом выбирается одна из фирм. Требуется определить вероятность того, что выбранное предложение нас не удовлетворит. То есть, отдых окажется некачественным (событие А). События H1,H2,…,Hn — это выбор соответствующей туристической фирмы.

Теорема 3. Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий H1,H2,…,Hn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P( A) = P(H1 ) PH1 ( A) + + P(Hn ) PHn ( A) (6) Попарно несовместные события H1,H2,…,Hn образу-

ющие полную группу, обычно называют гипотезами (по отношению к А). В такой интерпретации формула читается так:

вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

В сущности, эта теорема представляет из себя применение правил сложения и умножения вероятностей. Событие А возможно совместно с одной из гипотез и равно сумме произведений этого события на каждую гипотезу:

A = H1 A + H2 A +…+ Hn A.

Эта формула выделена в отдельную главу в связи

с тем, что имеет особую важность. Многие задачи проще решаются по этой формуле.

31

Пример 10

Для рассматриваемого выше случая с выбором туристической фирмы ограничимся тремя фирмами и зададим численные значения. Пусть в первой фирме имеется 20 предложений по интересующему нас направлению. Во второй — 10 и в третьей — 20. Предполагаем, что разные фирмы предлагают разные отели, то есть все возможные предложения различные. Вероятности некачественного отдыха от каждой фирмы соответственно равны: 0,02; 0,03; 0,05. Определить вероятность получения некачественного отдыха.

Решение

Событие А — некачественный отдых. Гипотезы: H1 — туристическая поездка от первой фирмы, H2 — поездка от второй фирмы, H3 — поездка от третьей фирмы. Тогда по условию задачи, можно найти вероятности:

(Для проверки: так как гипотезы образуют полную группу событий, то сумма вероятностей всех гипотез должна быть равна единице!)

По условию задачи, с учетом наших обозначений, условные вероятности события А:

P( A H1 ) = 0,02; P( A H2 ) = 0,03; P( A H3 ) = 0,05.

Вероятность получения некачественного отдыха считаем по формуле полной вероятности (формула 6):

P( A) = P(H1 ) P( A H1 ) + P(H2 ) P( A H2 ) + P(H3 ) P( A H3 ) = = 0,4 0,02 + 0,2 0,03 + 0,4 0,05 = 0,008 + 0,006 + 0,020 = 0,034.

Ответ: P( A) = 0,034 .

В тесной связи с формулой полной вероятности находится так называемая формула Байеса (Томас Байес — английский математик, опубликовал формулы в 1764 году).

32

Она относится к той же ситуации, что и формула полной вероятности (событие А может наступить только с одной из гипотез, образующих полную группу событий).

Формула Байеса решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате этого опыта наступило событие А. Необходимо определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. То есть будем искать условные вероятности:

P(H1 A),P(H2 A),…,P(Hn A).

Вообще говоря, P(Hi A) ≠ P(Hi ) . Так, например, в примере 10 вероятность гипотезы H3 (выбор третьей фирмы) до того, как произведен опыт, равна 1/3 (мы случайным образом выбрали одну из трех фирм). Однако, если опыт произведен и событие А наступило — выбранный нами вид отдыха оказался некачественным, то это повышает шансы гипотезы H3. После опыта вероятность гипотезы H3 будет в данном случае выше, чем до опыта. Это связано не только с количеством предложений этой фирмы, но и вероятностью некачественного предложения. Хотя в общем случае она может быть и ниже доопытной вероятности.

Найдем условную вероятность события H1 при условии наступления события A:

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A. Заметим, что условные вероятности всех гипотез в сумме также образуют единицу (см. предложение 1).

33

Пример 11

В любом банке обязательно ведётся своя статистика. То есть собираются данные по всем обращениям в банк. Каждый клиент имеет свою «историю» в соответствующем банке. Это необходимо для того, чтобы избежать и минимизировать свои риски и потери. Пусть статистика запросов кредитов в некотором банке такова: 10% — государственные органы; 30 % — другие банки; остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05; 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Стало известно о невозврате определенного кредита, но имя клиента в сообщении было плохо пропечатано. Какова вероятность, что данный кредит не возвратил какой-то банк?

Решение

Пусть А — невозврат рассматриваемого кредита. Тогда, гипотезы, при которых возможно событие А, представляют: H1 — запрос на кредит поступил от государственного органа, H2 — от банка, H3 — от физического лица. С учетом условия задачи запишем необходимые вероятности:

P(H1 ) = 0,1; P(H2 ) = 0,3;P(H3 ) = 1− (0,1+ 0,3) = 0,6.

Вероятность невозврата кредита найдем по формуле полной вероятности:

P( A) = P(H1 ) P( A H1 ) + P(H2 ) P( A H2 ) + P(H3 ) P( A H3 ) = = 0,1 0,01+ 0,3 0,05 + 0,6 0,2 = 0,001+ 0,015 + 0,12 = 0,136.

Вероятность того, что кредит не возвратил какой-то банк, посчитаем по формуле Байеса:

Ответ: P( A) = 0,136; P(H2|A) ≈ 0,11

Формулы Байеса — это условные вероятности гипотез после наступления события А. Однако прежде, чем

34

посчитать условную вероятность, надо найти полную вероятность события А. Сложности при решении задач на эту тему в-основном связаны с правильным обозначением соответствующих событий. Необходимо помнить, что гипотезы образуют полную группу событий и поэтому сумма вероятностей всех гипотез должна быть равна единице. Покажем способ решения такой задачи.

Задача

Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Обычно аудитор обнаруживает нарушения с вероятностью 0,75. Однако в данном случае проведенная аудитором проверка нарушений не выявила. Найти вероятность того, что они на самом деле есть.

Решение

Произошло событие A — проверка нарушений не вы-

В данном случае, при решении задачи, мы определились с формулой и с учетом этого ввели обозначения, которые нам позволили правильно применить выбранную формулу. Правильное прочтение необходимых в формуле вероятностей позволяет избежать ошибок при решении задачи.

35

Глава 7. Схема независимых испытаний

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Мы будем рассматривать только те независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Еще будем пользоваться понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называются простыми. Такую схему независимых испытаний называют схемой Бернулли, так как именно Якоб Бернулли — швейцарский математик XVII века, один из основателей теории вероятности, первым выразил формулу для вычисления вероятности в схеме независимых испытаний.

Схема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний,

вкаждом из которых событие А может либо появиться, либо не появиться. То есть результатом опыта возможны два исхода. В связи с этим часто схему Бернулли называют биномиальной схемой. В случае, когда результатом испытания возможно более двух исходов, называют схему полиномиальной. Будем считать, что вероятность события А

вкаждом испытании одна и та же, равная p. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании тоже постоянная и равна q = 1− p .

Необходимо вычислить вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится (n – k) раз. Заметим, что не требуется, чтобы событие А повторялось ровно k раз в определенной последовательности.

Поставленную задачу можно решить с помощью, так называемой формулы Бернулли.

36

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что при n испытаниях событие А наступит k раз, и не наступит (n–k) раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна pk ·qn–k.

Так как порядок наступления А роли не играет, то сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, то есть

Пример 12

Для допуска к экзамену студенту предлагают сдать тест, который состоит из пяти вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Студент не готовился к экзамену. Какова вероятность того, что он правильно ответит на k вопросов теста (k= 0, 1, …, 5)?

Решение

Число вопросов n = 5, вероятность ответить правильно на один вопрос (угадать 1 правильный вариант из 4-х)

p = 14 , вероятность ответить неправильно q = 43 . Посчи-

таем вероятности угадать k вопросов из пяти по формуле Бернулли (8):

37

Как можно заметить, самая большая вероятность угадать один вопрос из пяти. Это число называют наивероятнейшим (наиболее вероятным). Не всегда удобно находить наиболее вероятное число, вычисляя все возможные вероятности. Можно заметить, что такое число находится около k = n · p. Более того, если n · p является целым числом, то это и будет наивероятнейшее число. В общем случае, если наиболее вероятное число обозначим k0, то его значение находится в интервале: n p − q ≤ k0 ≤ n p + p . В общем случае, наиболее вероятное число равно целой части числа [n·p+p].

Например, если вероятность попадания в мишень при стрельбе из лука составляет p = 29 , то при n=18 выстрелах

наиболее вероятное число попаданий k0 = n p = 29 18 = 4 .

Это понятие наивероятнейшего числа из возможных позволяет находить оценку результатов до проведения опыта.

Замечание.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над большими числами. Например, n = 100, k = 20, p = 0,1 .

формулы Бернулли. Локальная теорема Лапласа (была доказана намного позже формулы Бернулли и является одной из предельных теорем теории вероятностей) дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события А ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая p = 1/2 формула была найдена в 1730 году английским математиком Муавром (Абрахам де 1667–1754).

38

А в 1783 году Лаплас обобщил формулу Муавра для любого p ≠ 0 и p ≠ 1 . Поэтому, иногда эту формулу называют формулой Муавра–Лапласа.

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

ϕ( x) – функция Гаусса. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции Гаусса, соответствующие положительным аргументам x. Для отрицательных значений пользуются теми же таблицами, так как ϕ( x) – четная функция (то есть ϕ( −x) = ϕ( x) ). Заметим, что функция Гаусса неотрицательная: ϕ( x) > 0 и при x > 4 значения функции Гаусса ϕ( x) ≈ 0 . То есть, ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции. Функция имеет единственный максимум в точке x= 0.

Все свойства функции Гаусса хорошо видны на графике — рисунок 5.

Рис. 5. График функции Гаусса

39

— локальная приближенная формула Лапласа. Следует использовать эту формулу, когда произведение n · p · q > 10. Иначе будет существенная погрешность. При решении задач следует обращать внимание на то, вероятность какого события дана в условии. Рассмотрим это на примере.

Пример 13

На некотором предприятии вероятность выпуска бракованного изделия составляет p = 0,28. Найдите вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий ровно 80 изделий без брака.

Решение

Так как в условии задачи дана вероятность бракованного изделия, то посчитаем количество возможных бракованных изделий из 100 выпущенных: 100 – 80 = 20 изделий. Следовательно, будем считать вероятность того, что из 100 изделий ровно 20 бракованных (что и означает, как следствие, что остальные 80 будут без брака). Итак, n = 100,k = 20, p = 0,28 подставляем в формулу (9):

Эту задачу можно решить в явном виде. То есть найти вероятность искомого события P100(80). В этом случае следует обозначить вероятность бракованного изделия q = 0,28. Тогда вероятность выпуска изделия без брака p = 1− 0,28 = 0,72 (убедитесь, что результат будет тот же).

Если в задаче потребуется найти вероятность нескольких изделий без брака (например, от 75 до 85), то придется вычислять вероятности для каждого значения и потом их сложить (по правилу сложения вероятностей). Все это

40