Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Мы рассмотрели только основные гипотезы о равенстве параметров. Такие гипотезы называют параметрическими. Есть и другие гипотезы, так называемые непараметрические. Это гипотезы о предполагаемом законе распределения. Для проверки этих гипотез используют критерии согласия. Данная тема выходит за рамки нашего курса. Но как применять методы статистического исследования с помощью компьютерных программ и проверять гипотезы о согласованности с известным законом распределения более подробно можно ознакомиться в пособии 5, представленном в списке литературы.

Мы познакомились лишь с основными направлениями в математической статистике. Современная наука позволяет проводить наиболее точные вычисления и уверенно принимать решения в условиях неопределенности. Хотя современный аппарат статистического исследования довольно громоздкий и требует больших знаний, есть достаточно много различных статистических пакетов и компьютерных программ. Основная задача исследователя состоит в правильном выборе методов для решения определенной задачи. Поэтому не стоит говорить о неправильности или несовершенствах применяемых методов, когда результат не оправдал надежды. В различных условиях работают совершенно разные приёмы.

И в заключение приведем образцы вариантов экзамена по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

Вариант 001

1. Какое событие называется суммой событий А и В, произведением А ∙ В? Какое событие обозначается A ? Приведите примеры.

2. Аналитики страховой компании по степени ущерба различают три типа страховых случаев (А, В, С). Вероятности их наступления равны соответственно 0.35, 0.4 и 0.25. Вероятности того, что клиенту будет отказано

ввыплате страховой премии равны 0.4 — по типу А,

0.45—по типу В и 0.1 — по типу С. Найдите вероят-

121

ность того, что при наступлении страхового случая страховая премия будет клиенту выплачена. Указать какой при этом тип страхового случая произошел скорее всего.

3. Распределение дискретной случайной величины X задано таблицей

X	1	4	7

P	0,1	0,1	0,8

Найдите дисперсию D(X).

4. Случайные величины X1,…,X7 распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожи-

данием, равным 2. Найти математическое ожидание

E[X12 +…+ X72 ].

5. Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид:

0,x < 3
f (x) =	C	.
		,x ≥ 3
	2
x

Найдите константу С и вероятность P(X < 4) .

6.Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	2	5	8	10

ni	3	3	1	1

Вариант 002

1. Перечислите основные свойства математического ожидания. Что понимается под суммой (произведением) случайных величин? Какие случайные величины называются независимыми?

2. Вероятность выпуска бракованного изделия равна р = 0,27. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий ровно 72 изделия без брака.

122

3. Дискретная случайная величина X принимает только целые значения 3, 4, 6, 7, 10 с вероятностью 0,2. Найти математическое ожидание a = E(X) и вероятность P(X < a).

4. Случайные величины X1,…,X13 распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным 4. Найти математическое ожида-

ние E[X12 +…+ X132 ] .

5. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [–8; 7]. Найти вероятность P(X2 > 25) .

6. Брокер на бирже желает найти доверительный интервал для математического ожидания недельной доходности выбранной акции с надежностью 0,72. Известно, что выборочная средняя недельная доходность за последний год (52 недели) составила r = 0,012 . Найдите искомый доверительный интервал в предположении, что недельные доходности независимы и распределены нормально с постоянными параметрами, причем генеральное среднее квадратичное отклонение недельной доходности равно 0,05.

Вариант 003

1. Дайте определение случайной величины X, распределенной по показательному закону. Укажите формулу для нахождения её вероятности P(a ≤ X ≤ b) и приведите пример её использования.

2. Банк совершил 3 000 транзакции по кредитным картам. Вероятность того, что транзакция будет ошибочной, равна 0, 001. Оцените с помощью соответствующей приближенной формулы вероятность того, что банк совершит ровно 4 ошибочные транзакции. В решении необходимо указать условия применимости выбранной формулы.

3. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1, 2 и 3 справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

123

а) только в одном справочнике; б) во всех трех справочниках.

4. Дискретные случайные величины X1,…,X10 распределены по закону, заданному таблицей

X	-1	0	1

P	0,3	0,2	0,5

Найдите математическое ожидание E[X12 +…+ X102 ].

5. Для функции плотности f(x) распределения непрерывной случайной величины, сосредоточенной на отрезке

[2; 4], f (x) = 12 . Найдите функцию распределения,

математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Постройте графики функции плотности и функции распределения.

6. Выборочно обследовали качество кирпича. Из n=1700 проб в m = 60 случаях кирпич оказался бракованным. В каких пределах заключается доля брака p для всей продукции, если результат гарантируется с надежностью 0,72?

Вариант 004

1. Дайте определение случайной величины X, распределенной по биномиальному закону. Напишите формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии такой величины. Приведите примеры.

2. Известно, что новый гаджет приобретает 30% покупателей магазина. Оцените с помощью соответствующей приближенной формулы вероятность того, что из 1800 пришедших покупателей, приобретут гаджет от 520 до 560. В решении необходимо указать условия применимости выбранной формулы.

3. В квадрат со стороной 15 случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что точка окажется в правой верхней четверти квадрата.

124

4. Независимые дискретные случайные величины X и Y (доходы по двум контрактам в млн. руб.) могут принимать только значения 5 и 11. При этом P(X = 5) = 0,6, P(Y = 5) = 0,2 . Найдите средний доход по двум кон-

трактам E(X + Y ) и дисперсию разности доходов

D(X − Y ).

5. Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием E(X) = 15 и дисперсией D(X) = 16 найдите вероятность P(X > 19,4) .

6. Доходы двух подразделений торговой фирмы задаются нормальными независимыми случайными величинами X и Y с известными генеральными дисперсиями σX2 = 0,15 и σY2 = 0,12 . По результатам 16 наблюдений величины X и 11 наблюдений величины Y были получены выборочные значения средних x = 4,2; y = 4,4. На уровне значимости α = 0,03 проверьте гипотезу о равенстве средних доходов подразделений против альтернативы H1 : E(X) < E(Y ).

125

Приложение

Таблица 1

					ϕ(x) =		1				e−	x2
Значения функции Гаусса							1					2

								2π
								2π
	0	1	2	3	4		5			6			7	8	9
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984			0,3982				0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945			0,3939				0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867			0,3857				0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752			0,3739				0,3726	0,3712	0,3698
0,4	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605			0,3589				0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429			0,3410				0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230			0,3209				0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011			0,2989				0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780			0,2756				0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541			0,2516				0,2492	0,2468	0,2444

1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299			0,2275				0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059			0,2036				0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826			0,1804				0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604			0,1582				0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394			0,1374				0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200			0,1182				0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023			0,1006				0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863			0,0848				0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721			0,0707				0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596			0,0584				0,0573	0,0562	0,0551

2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488			0,0478				0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0395			0,0387				0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0353	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317			0,0310				0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252			0,0246				0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198			0,0194				0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154			0,0151				0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119			0,0116				0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091			0,0088				0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069			0,0067				0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051			0,0050				0,0048	0,0047	0,0046

3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038			0,0037				0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028			0,0027				0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020			0,0020				0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015			0,0014				0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010			0,0010				0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007			0,0007				0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005			0,0005				0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004			0,0003				0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002			0,0002				0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002			0,0002				0,0002	0,0002	0,0001

126

Таблица 2


									1		x	t2
	Значения функции Лапласа Φ0 (x) =										∫e−		dt
												2

									2π
									2π	0
x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)				x	Ф(х)
0,00	0,0000	0,50	0,1915	1,00	0,3413	1,50	0,4332	2,00	0,4772			3,00		0,49865
0,01	0,0040	0,51	0,1950	1,01	0,3438	1,51	0,4345	2,02	0,4783			3,20		0,49931
0,02	0,0080	0,52	0,1985	1,02	0,3461	1,52	0,4357	2,04	0,4793			3,40		0,49966
0,03	0,0120	0,53	0,2019	1,03	0,3485	1,53	0,4370	2,06	0,4803			3,60		0,499841
0,04	0,0160	0,54	0,2054	1,04	0,3508	1,54	0,4382	2,08	0,4812			3,80		0,499928
0,05	0,0199	0,55	0,2088	1,05	0,3531	1,55	0,4394	2,10	0,4821			4,00		0,499968
0,06	0,0239	0,56	0,2123	1,06	0,3554	1,56	0,4406	2,12	0,4830			4,50		0,499997
0,07	0,0279	0,57	0,2157	1,07	0,3577	1,57	0,4418	2,14	0,4838			5,00		0,499997
0,08	0,0319	0,58	0,2190	1,08	0,3599	1,58	0,4429	2,16	0,4846
0,09	0,0359	0,59	0,2224	1,09	0,3621	1,59	0,4441	2,18	0,4854
0,10	0,0398	0,60	0,2257	1,10	0,3643	1,60	0,4452	2,20	0,4861
0,11	0,0438	0,61	0,2291	1,11	0,3665	1,61	0,4463	2,22	0,4868
0,12	0,0478	0,62	0,2324	1,12	0,3686	1,62	0,4474	2,24	0,4875
0,13	0,0517	0,63	0,2357	1,13	0,3708	1,63	0,4484	2,26	0,4881
0,14	0,0557	0,64	0,2389	1,14	0,3729	1,64	0,4495	2,28	0,4887
0,15	0,0596	0,65	0,2422	1,15	0,3749	1,65	0,4505	2,30	0,4893
0,16	0,0636	0,66	0,2454	1,16	0,3770	1,66	0,4515	2,32	0,4898
0,17	0,0675	0,67	0,2486	1,17	0,3790	1,67	0,4525	2,34	0,4904
0,18	0,0714	0,68	0,2517	1,18	0,3810	1,68	0,4535	2,36	0,4909
0,19	0,0753	0,69	0,2549	1,19	0,3830	1,69	0,4545	2,38	0,4913
0,20	0,0793	0,70	0,2580	1,20	0,3849	1,70	0,4554	2,40	0,4918
0,21	0,0832	0,71	0,2611	1,21	0,3869	1,71	0,4564	2,42	0,4922
0,22	0,0871	0,72	0,2642	1,22	0,3883	1,72	0,4573	2,44	0,4927
0,23	0,0910	0,73	0,2673	1,23	0,3907	1,73	0,4582	2,46	0,4931
0,24	0,0948	0,74	0,2703	1,24	0,3925	1,74	0,4591	2,48	0,4934
0,25	0,0987	0,75	0,2734	1,25	0,3944	1,75	0,4599	2,50	0,4938
0,26	0,1026	0,76	0,2764	1,26	0,3962	1,76	0,4608	2,52	0,4941
0,27	0,1064	0,77	0,2794	1,27	0,3980	1,77	0,4616	2,54	0,4945
0,28	0,1103	0,78	0,2823	1,28	0,3997	1,78	0,4625	2,56	0,4948
0,29	0,1141	0,79	0,2852	1,29	0,4015	1,79	0,4633	2,58	0,4951
0,30	0,1179	0,80	0,2881	1,30	0,4032	1,80	0,4641	2,60	0,4953
0,31	0,1217	0,81	0,2910	1,31	0,4049	1,81	0,4649	2,62	0,4956
0,32	0,1255	0,82	0,2939	1,32	0,4066	1,82	0,4656	2,64	0,4959
0,33	0,1293	0,83	0,2967	1,33	0,4082	1,83	0,4664	2,66	0,4961
0,34	0,1331	0,84	0,2995	1,34	0,4099	1,84	0,4671	2,68	0,4963
0,35	0,1368	0,85	0,3023	1,35	0,4115	1,85	0,4678	2,70	0,4965
0,36	0,1406	0,86	0,3051	1,36	0,4131	1,86	0,4686	2,72	0,4967
0,37	0,1443	0,87	0,3078	1,37	0,4147	1,87	0,4693	2,74	0,4969
0,38	0,1480	0,88	0,3106	1,38	0,4162	1,88	0,4699	2,76	0,4971
0,39	0,1517	0,89	0,3133	1,39	0,4177	1,89	0,4706	2,78	0,4973
0,40	0,1554	0,90	0,3159	1,40	0,4192	1,90	0,4713	2,80	0,4974
0,41	0,1591	0,91	0,3186	1,41	0,4207	1,91	0,4719	2,82	0,4976
0,42	0,1628	0,92	0,3212	1,42	0,4222	1,92	0,4726	2,84	0,4977
0,43	0,1664	0,93	0,3238	1,43	0,4236	1,93	0,4732	2,86	0,4979
0,44	0,1700	0,94	0,3264	1,44	0,4251	1,94	0,4738	2,88	0,4980
0,45	0,1736	0,95	0,3289	1,45	0,4265	1,95	0,4744	2,90	0,4981
0,46	0,1772	0,96	0,3315	1,46	0,4279	1,96	0,4750	2,92	0,4982
0,47	0,1808	0,97	0,3340	1,47	0,4292	1,97	0,4756	2,94	0,4984
0,48	0,1844	0,98	0,3365	1,48	0,4306	1,98	0,4761	2,96	0,4985
0,49	0,1879	0,99	0,3389	1,49	0,4319	1,99	0,4767	2,98	0,4986

127

Таблица 3

Критические точки распределения Стьюдента

Число	Уровень значимости α ( двусторонняя критическая область)
степеней
степеней	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
свободы k	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	3,08	6,31	12,7	31,82	63,7	318,3	637,0
2	1,89	2,92	4,30	6,97	9,92	22,33	31,6
3	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
4	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
5	1,48	2,01	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
7	1,42	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79	5,40
8	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
9	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
10	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,36	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
13	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
14	1,34	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
16	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
17	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,95
18	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
20	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,32	1,71	2,07	2,50	2,81	3,49	3,77
24	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,74
25	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45	3,72
26	1,32	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,31	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,31	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
29	1,31	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
30	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
40	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
60	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
120	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62	3,17	3,37
∞	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29
Число	0,1	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
степеней
степеней	Уровень значимости α ( односторонняя критическая область)
свободы k	Уровень значимости α ( односторонняя критическая область)

128

Литература

1.Браилов А. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник-практикум / А. В. Браилов, В. И. Глебов, С. Я. Криволапов, П. Е. Рябов. М. ; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2016.

2.Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. 3-е изд. М.: ЮНИТИ, 2010.

3.Математика для экономистов. Теория вероятностей

иматематическая статистика. Задачи и упражнения / под ред. доц. кафедры «Математические методы анализа экономики» экономического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова Л. Н. Фадеевой. М.: Эксмо, 2006.

4.Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: учебное пособие / под ред. профессора Л. И. Ниворижкиной / Л. И. Ниворижкина, З. А, Морозова, И. Э. Гурьянова. М.: ИТК Дашков и К°, 2015.

5.Проверка гипотез о виде распределения выборки с использованием критерия Пирсона: учебно-методиче- ское пособие по выполнению расчетно-аналитической работы по математической статистике / О. А. Баюк, Т. Л. Мелехина М., 2017. URL: https://portal.fa.ru/ Files/Data/2e0c1048-bc8e-4b14-be04-251b7222774b/ Ump_Terverimatstat_bE_17.pdf

6.Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Ч. 3. Теория вероятностей / под ред. В. А. Бабайцева

иВ. Б. Гисина. М.: Финансы и статистика, 2010.

7.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В.

Математика в экономике: учебник: в 3 ч. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Финансы и статистика, 2008.

129

Татьяна Леонидовна Мелехина

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

(Для слушателей Института сокращенных программ)

Учебное пособие

Дизайн обложки Середа Т. В. Компьютерная верстка Осипова Е. В.

Подписано в печать 13.03.2018. Формат 6084/16. Объем 8,125 п.л. Тираж 1000 экз. Заказ № 712.

Издательство «Прометей» 115035, г. Москва, ул. Садовническая, д. 72, стр. 1

Тел./факс: 8 (495) 799-54-29 E-mail: info@prometej.su

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]