Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

займет достаточно много времени. Чтобы вычислить вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз используют

интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна интегралу:

При решении задач используют специальные таблицы (приложение 2), так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. В этих таблицах представлены значения функции:

x − z2

12π 0∫e 2 dz = Ф(x),

которая является функцией Лапласа. Она нечетна (то есть Ф(−x) = −Ф(x) и принимает значения от –0,5 до 0,5. Значение функции в нуле равно нулю, то есть Ф(0)= 0. Свойства функции Лапласа хорошо видны на её графике — рис. 6.

Рис. 6. График функции Лапласа

41

Для того чтобы можно было пользоваться таблицами функции Лапласа, преобразуем формулу для вероятности:

— интегральная приближенная формула Лапласа.

Напомним, что интеграл обозначает суммирование. То есть, интегральная формула и дает приближенное значение суммы вероятностей нужных значений. Используют эту формулу при n·p·q > 10. Иначе будет существенная погрешность вычислений.

Пример 14

Аналитики некоторой торговой компании спрогнозировали вероятность покупки новой модели автомобиля. Эта вероятность для определенного региона примерно равна p= 0,15. Популярный автосалон в центре города представил полный, с учетом цвета и комплектующих, модельный ряд новинки. Была проведена широкая рекламная акция. Оцените вероятность того, что в день открытия продаж из 100 покупателей, интересующихся новым предложением, сделают заказ не более 10 человек.

Решение

Число независимых покупателей n = 100. Вероятность покупки автомобиля p = 0,15. Нужно оценить

42

Так как x1 < –4, то Ф(x1) ≈ –0,5. Подставим в формулу:

P100 (0 ≤ k ≤ 10) ≈ Ф(–1,4)–Ф(–4,2) ≈ –Ф(1,4) +0,5 ≈ ≈ 0,5–0,4192 ≈ 0,0808

Воспользовались таблицей значений функции Лапласа (приложение 2), с учетом того, что функция нечетная.

Итак, с вероятностью 0,0808, что составляет примерно 8%, компания рискует остаться без прибыли. Конечно, эта цифра является приближенной. Такое возможное значение при имеющихся данных может и не соответствовать действительности, но его следует учитывать, чтобы планировать свои доходы и расходы. Любая серьёзная торговая компания проводит свои расчеты для более точных прогнозов.

Формулы Лапласа являются приближенными. В некоторых случаях они дают существенную погрешность. Тогда нужно использовать приближенную формулу Пуассона.

Формула Пуассона (1781–1840) применяется тогда, когда наряду с большим значением числа испытаний n вероятность успеха p мала. При решении задач вычисляют n·p·q < 10.

Теорема Пуассона

Пусть число испытаний n в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха p мала, причем также мало произведение λ = n · p. Тогда вероятность Pn(k) определяется по приближенной формуле (формуле Пуассона):

вероятности по формуле Пуассона. Причем, в таблицах использовали значение λ ≤ 10 . В настоящее время у всех

43

студентов есть хорошие калькуляторы (в любом смартфоне) и необходимость использования таблиц отпала.

Пример 15

Учебник издан тиражом 1000 экземпляров. Какова вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг, если вероятность неправильно сброшюрованного учебника составляет для данного издательства 0,001?

Решение

Всего независимых испытаний n= 1000, вероятность брака p= 0,001, λ = n·p= 1 < 10. Применим приближенную формулу Пуассона (11):

Итак, вероятность 5 бракованных книг во всем тираже составляет примерно 0,003 и это меньше 1%. Наиболее вероятное число бракованных книг n·p= 1.

Применение приближенных формул Лапласа и Пуассона

При решении практических задач, для исключения существенных погрешностей, необходимо обосновать справедливость применяемой формулы.

Если число испытаний n от 10 до 20, то приближенные формулы используются для грубых приближенных расчетов. При этом формула Пуассона применяется в том случае, когда λ = n · p или λ′ = n · q изменяется в пределах от 0–2 (при n=10) до 0–3 (при n=20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра–Лапласа.

Если число испытаний n от 20 до 100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов. Формула Пуассона используется, когда λ= n·p или λ′=n·q изменяются в следующих пределах от 0–3 (при n= 20) до 0–5 (при n= 100).

Если число испытаний n от 100 до 1000, то практически при любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными формулами. Формула Пуассона используется, когда λ = n · p или λ′ = n · q изменяются в пределах: 0–5 (при n= 100) и 0–10 (при n= 1000).

44

Наконец, n > 1000. Даже специальные таблицы рассчитываются с помощью приближенных формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки). В этом случае для применения формулы Пуассона необходимо, чтобы λ = n·p и λ′ лежали в пределах 0–10 и более.

45

Глава 8. Дискретные случайные величины

Ранее мы рассмотрели построение вероятностного пространства, а также разобрали некоторые простейшие вероятностные схемы. Однако теория вероятностей не достигла бы такого расцвета и не была бы столь широко используема на практике, если бы занималась только случайными событиями. Возвращаясь к истокам возникновения теории вероятностей, вспомним, что уже в азартных играх интерес играющих вызывает не только наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, то есть определенная числовая величина, поставленная в соответствие этому исходу. Вполне естественно такую числовую величину назвать случайной величиной.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые раньше не могли быть учтены.

Например, бросается игральная кость. Случайной величиной (в дальнейшем для краткости будем обозначать С.В.) будет число выпавших очков. Оценка, полученная на экзамене, количество попаданий при стрельбе по мишени, число правильных ответов в телевизионной игре и так далее.

Можно рассмотреть С.В. другого вида: координаты точки, брошенной на отрезок, цена интересующей нас акции, время ожидания транспорта на остановке и так далее.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможные значения — соответственно строчными буквами x, y, z.

Как видно из примеров, С.В. следует различать. С.В. может принимать одно из возможных значений, которые отделены одно от другого промежутками (в промежутках нет возможных значений Х), то есть С.В. принимает отдельные изолированные возможные значения. А в последних примерах С.В. может принять любое из значений промежутка (а; b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутка, не содержащим возможные значения С.В.

46

Дискретной называют случайную величину (для краткости обозначим Д.С.В.), которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений Д.С.В. может быть конеч-

ным (x1, x2,…, xn) или счетным (x1, x2,…, xn,…). Непрерывной называют случайную величину (обозна-

чим Н.С.В.), которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений Н.С.В. бесконечно (это определение не является точным).

Для задания Д.С.В. недостаточно перечислить все возможные значения. Случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их — различные. Поэтому для задания Д.С.В. нужно ещё указать вероятности возможных её значений. Такой способ задания определяет закон распределения.

Законом распределения Д.С.В. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Наиболее часто используют табличный вид закона распределения Д.С.В. В таблице первая строка содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

Так как в одном испытании С.В. принимает одно и только одно возможное значение, то события X = x1; X = x2; …; X = xn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

p1 +p2 +…+pn =1.

Если множество возможных значений X бесконеч-

∞

но, то ряд ∑pi = p1 + p2 +…= 1 сходится и его сумма равна

i=1

единице. Это основное свойство закона распределения называется свойством нормированности.

47

Пример 16

В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш 25000 рублей и двадцать по 1000 рублей. Найти закон распределения С.В. X — стоимость возможного выигрыша по одному билету.

Решение

По условию задачи С.В. X принимает значения: 0 рублей (билет без выигрыша), 1000 и 25000 рублей. Составим закон распределения:

X = 0 — событие, которое означает, что купленный билет без выигрыша. Среди 100 билетов 21 выигрышный. Следовательно, 979 — без выигрыша. Вероятность купить один билет без выигрыша считаем по классиче-

ской формуле: P(X = 0) = 1000979 = 0,979 . Остальные вероятности считаем аналогично. Обязательно нужно помнить, что в законе распределения сумма вероятностей равна единице!

Числовые характеристики Д.С.В.

Итак, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайные величины суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками С.В.

Одной из важных характеристик является математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности.

Обозначение математического ожидания С.В. X: E(X) — от английского expectation (ожидание).

Пусть С.В. X может принимать только значения x1, x2, …, xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2, …, pn.

48

Тогда E(X) = x1 p1 +…+ xn pn .

Если Д.С.В. принимает счетное множество возможных значений, то

∞

E(X) = ∑(xi pi ). i=1

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание Д.С.В. есть неслучайная (постоянная) величина. Иногда математическое ожидание называют центром распределения С.В., показывая тем самым, что эта характеристика дает среднее (ожидаемое) значение при проведении серии опытов.

Рассмотрим примеры вычисления математического ожидания.

1.В магазин ежедневно поступает не более 5 телевизоров. Известны вероятности их поступления:

p0 = 0,1; p1 = 0,2; p2 = 0,1; p3 = 0,15; p4 = 0,2; p5 = 0,25. Здесь pi означает вероятность поступления i телевизоров в ма-

газин. Найти математическое ожидание числа поступлений телевизоров.

Решение

X — число поступивших телевизоров в день. По определению математического ожидания, имеем:

E(X) = 0 0,1+1 0,2 + 2 0,1+ 3 0,15 + 4 0,2 + 5 0,25 = 2,9.

Таким образом, математическое ожидание числа поступивших в магазин телевизоров близко к трем.

2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность события А в одном опыте равна р.

Решение

Обозначим X– число появлений события А в трех независимых испытаниях.

Составим закон распределения С.В. X:

49

Событие X=0 означает, что событие А наступило 0 раз, то есть во всех трех опытах не наступило. Вероятность не наступления события А в одном опыте принято обозначать q = 1 – p. Так как все испытания независимые, то, по теореме умножения находим: P(X = 0) = q3. Все остальные вероятности посчитали, используя формулу Бернулли. Теперь найдем по определению математическое ожидание:

E(X) = 0 q3 +1 3 p q2 +2 3 p2 q + 3 p3 = 3p (q2 +2pq + p2 )=

=3 p (q + p)2 = 3 p.

Итак, математическое ожидание числа появлений события в трех независимых испытаниях равно трём вероятностям этого события.

Замечание. Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.

Свойства математического ожидания Свойство 1. Математическое ожидание постоянной ве-

личины равно самой постоянной: E(С)=С. Доказательство. Будем различать постоянную вели-

чину С как Д.С.В., которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно,

E(С)=С·1=С.

Для рассмотрения других свойств математического ожидания необходимо ввести определение операций над случайными величинами. Определим произведение постоянной величины С на Д.С.В. Х как новую Д.С.В.С·Х, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х; вероятности возможных значений С·Х равны вероятностям соответствующих возможных значений Х.

50