Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

3. Распределение Пуассона

Д.С.В. Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями:

раметром пуассоновского распределения. Закон распределения Пуассона можно представить в виде следующей таблицы:

∞

Отметим, что, по свойству нормированности: ∑pk = 1.

k=0

Теорема 3. Математическое ожидание и дисперсия С.В. Х, распределенной по закону Пуассона, одинаковы и каждая из этих числовых характеристик равна параметру λ, то есть E(X) = λ , D(X) = λ .

Первое из равенств означает, что центром распределения данной С.В. Х является число λ. В этом законе вероятности вычисляются по формуле Пуассона, поэтому и закон назвали именем Пуассона. Он является предельным для биномиального закона в случае, когда число испытаний велико, а вероятность успеха в одном испытании мала.

Пример 21

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Составить закон распределения числа негодных изделий, прибывших на базу и найти числовые характеристики.

Решение

С.В. Х — число негодных изделий, имеет распределение Пуассона, так как вероятность р = 0,0002 очень мала, а число изделий n = 5000 довольно велико. Найдем параметр λ = n p = 5000 0,0002 = 1 .

Следовательно, E(X)=D(X)=1.

61

Для удобства при решении задач составим таблицу основных видов распределений Д.С.В.:

Задача

Случайная составляющая выручки равна 4 · X, где X — случайная величина, распределённая по биномиальному закону с параметрами n=200 и p=0,25. Cлучайная составляющая затрат имеет вид 100·Y, где Y — случайная величина, распределённая по закону Пуассона с параметром λ = 4. Найдите дисперсию прибыли, считая, что случайные составляющие выручки и затрат независимы.

Решение

Обозначим случайную величину, описывающую прибыль, буквой Z. Тогда, с учетом условия задачи, Z=4·X–100·Y. Найдем дисперсию этой величины:

D( Z) = D(4 X −100 Y ) = 42 D( X) + ( −100)2 D( Y ) .

По свойствам дисперсии для независимых случайных величин: дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий. Константа выносится в квадрате за знак дисперсии.

Так как, по условию задачи, X ~ Bin(n = 200; p = 0,25) ,

то:

D( X) = n p q = 200 0,25 (1− 0,25) = 50 0,75 = 37,5.

Y ∏ ( λ = 4) D( Y ) = λ = 4 .

Таким образом,

D( Z) = 16 37,5 +10000 4 = 600 + 40000 = 40600.

62

Глава 10. Дискретные двумерные случайные величины

Ранее мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными.

Кроме одномерных случайных величин изучаются величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, …, n-мерными.

Будем обозначать (X, Y) — двумерную С.В. Итак, упорядоченную пару (X, Y) случайных величин X,Y называют

двумерной С.В., или случайным вектором.

Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему n случайных величин.

Например, двумерной С.В. является вектор (X, Y), где X — оценка, полученная при сдаче первого экзамена во время сессии, а Y — оценка за второй экзамен.

В частности, двумерными С.В. являются декартовы или полярные координаты точки, брошенной на некоторую область плоскости. Целесообразно различать дискретные и непрерывные многомерные С. В.

Определение 1. Двумерная С.В. (X, Y) называется дискретной, если каждая из С.В. X и Y является дискретной.

Ясно, что, если С.В X может принимать только значения x1, …, xn (ограничено конечным множеством значений), а С.В. Y — значения y1, …, ym, то двумерный случайный вектор (X,Y) может принимать только пары значений

(xi,yj), (i=1, …, n; j=1, …, m). Таких пар будет n·m.

Так же, как и в одномерном случае, распределение двумерной Д.С.В. естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар (xi,yj) значений случайного вектора (X,Y) и соответствующих вероятностей, с которыми эти пары значений принимают случайные величины X и Y.

Законом распределения двумерной Д.С.В. называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел (xi,yj) и их вероятностей P(xi,yj), (i=1, …, n; j=1, …, m).

63

Такое перечисление удобно реализовать таблицей с двумя входами. В верхней строке этой таблицы перечислены все возможные значения y1, …, ym величины Y, а в левом столбце — значения x1, …, xn случайной величины Х.

На пересечении столбца «yj» со строкой «xi» приведена

вероятность pij = P(X = xi,Y = yj ) совместного осуществления событий {X = xi } и {Y = yj } . К этой таблице обычно

добавляют ещё одну строку «PY» и столбец «PX». На пересечении столбца «PX» со строкой «xi» записывают число:

pXi = pi1 + pi2 +…+ pim . Но pXi представляет собой ни что иное, как вероятность С.В. Х принять значение xi, то есть

pXi =P(X=xi).

Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения С.В. Х. Аналогично, в строке «PY»: pYj = p1j + p2j +…+ pnj , а первая и последняя строки в совокупности задают ряд распределения С.В. Y.

Итак, из двумерного закона распределения легко найти одномерный закон. Но обратное, в общем случае, бывает невозможно.

Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то это означает, что была допущена ошибка.

64

Пример 22

Проводятся два независимых испытания — опрос случайных прохожих — с целью подтверждения качественной работы городских служб. Вероятность успеха, то есть удовлетворенность прохожего качеством, p=0,8 и вероятность неудачи q = 1 – p = 0,2. Выписать распределение двумерного случайного вектора (A1,A2), где Ai — число успехов в i-м испытании (i=1,2).

Проверим правильность составления таблицы: p+q=1.

Определение 2. Случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых x и y выполняется равен-

ство:

P(X < x,Y < y) = P(X < x) P(Y < y) .

65

Вероятность совместного исхода равна произведению вероятностей составляющих. Для того чтобы проверить независимость С.В., нужно знать закон распределения системы этих величин, то есть вероятности их совместного исхода, и необходимо проверить все возможные равенства для возможных значений. В общем случае, это довольно трудоёмкая задача. Однако есть числовые характеристики для системы С.В., которые показывают зависимость составляющих.

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Для описания системы двух С.В. кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих компонент, используют и другие характеристики; к их числу относятся ковариация и коэффициент корреляции.

Определение 3. Ковариацией двух С.В. X и Y называется математическое ожидание произведения их отклонений от соответствующих математических ожиданий.

Обозначение: cov(X,Y ) = E[(X − E(X)) (Y − E(Y ))]. Используя свойства математического ожидания, мож-

но показать:

cov(X,Y ) = E(X Y )− E(X) E(Y ) .

То есть, ковариация случайных величин равна математическому ожиданию их произведения без произведения их математических ожиданий. Очевидно, что

cov(X,X)= D(X),cov(X,Y ) = cov(Y,X) (проверяется подстановкой в формулу определения ковариации).

По определению дисперсии, можно показать:

D(X + Y )= D(X)+ D(Y )+ 2cov(X,Y ),

D(X − Y )= D(X)+ D(Y )− 2cov(X,Y ).

Есть и другие свойства ковариации, которые несложно доказываются по определению и свойствам числовых характеристик.

Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то их ковариация равна нулю: cov(X,Y ) = 0 .

Следствие. Если cov(X,Y ) ≠ 0 , то случайные величины X и Y зависимы.

66

Всамом деле, допустив противное (X и Y независимы), по теореме 2 получили бы cov(X,Y ) = 0 , что противоречит условию.

Вкачестве количественной характеристики степени зависимости случайных величин X, Y используется коэффициент корреляции.

Определение 4. Коэффициентом корреляции ρ(X,Y) случайных величин X,Y называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Это безразмерная величина, показывающая степень зависимости С.В. При решении задач используется формула, которая является прямым следствием этого определения: cov(X,Y ) = ρ(X,Y ) σ(X) σ(Y ) .

Свойства коэффициента корреляции

1.Коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы: ρ(X,Y ) ≤ 1.

2.Если величины X и Y независимы, то коэффициент корреляции равен нулю: ρ(X,Y) = 0.

3.Если Y = A X + B, где А и В — постоянные, то ρ(X,Y ) = 1. (коэффициент корреляции случайных величин, связан-

ных линейной зависимостью, по модулю равен единице). Отметим, что ρ(X,Y) > 0, если A > 0; ρ(X,Y) < 0 , если A < 0.

Замечание. Из равенства ρ(X,Y) = 0 не следует независимость случайных величин X и Y. В этом случае случайные величины называют некоррелированными.

Пример 23

Независимые случайные величины X, Y и Z имеют дисперсию, равную 2. Найти коэффициент корреляции

ρS,T случайных величин S = X + 2 Y + Z и T = X − 2 Y − Z .

Решение

67

Найдем дисперсии для независимых С.В.:

D(S) = D(X + 2 Y + Z) = D(X) + 4 D(Y ) + D(Z) = 2 + 8 + 2 = 12 D(T) = D(X − 2 Y − Z) = D(X) + 4 D(Y ) + D(Z) = 12

Ковариацию С.В. S и T выразим из формулы для дисперсии суммы. Заметим, что эти величины зависимы, так как выражаются через одни и те же случайные величины.

D(S + T) = D(S) + D(T) + 2 cov(S,T) cov(S,T) = 12 (D(S + T) − D(S) − D(T))

D(S + T) = D(X + 2 Y + Z + X − 2 Y − Z) = D(2 X) = 4 2 = 8

68

Глава 11. Непрерывные случайные величины

Непрерывная случайная величина (Н.С.В.) в отличие от Д.С.В. не может характеризоваться вероятностью её конкретного значения, так как таких значений бесконечное множество. То есть закон распределения не может выглядеть в виде таблицы.

Для характеристики Н.С.В. используется функция распределения вероятностей, которая представляет собой вероятность события X < x: F(x) = P(X < x).

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция», смысл которого поясним чуть позже. Теперь дадим более точное определение Н.С.В.

Определение 1. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна в любой точке x.

Определение непрерывной функции в курсе математического анализа даётся на языке пределов. Интуитивно можно сказать, что график непрерывной функции можно построить, не отрывая карандаша от бумаги (рис. 7).

Рис. 7. График функции распределения Н.С.В.

Свойства функции распределения Свойство 1. Значения функции распределения при-

надлежат отрезку [0; 1] : 0 ≤ F(x) ≤1.

Доказательство вытекает из определения: F(x) — это вероятность.

69

Свойство 2. F(x) — неубывающая функция, то есть

F( x2 ) ≥ F( x1 ) , если x2 > x1.

Доказательство. Пусть x2 > x1. Событие, состоящее в том, что X примет значение, меньшее x2, можно подразделить на следующие два несовместные события:

1)X примет значение, меньшее x1, с вероятностью P(X < x1);

2)X примет значение, удовлетворяющее неравенству

x1 ≤ X < x2 , с вероятностью P( x1 ≤ X < x2 ) . По теореме сложения вероятностей имеем:

P( X < x2 ) = P( X < x1 ) + P( x1 ≤ X < x2 ) .

P( X < x2 ) − P( X < x1 ) = P( x1 ≤ X < x2 ) .

Или: F( x2 ) − F( x1 ) = P( x1 ≤ X < x2 ) .

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

F( x2 ) − F( x1 ) ≥ 0 или F( x2 ) ≥ F( x1 ) . Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a; b), равна

приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ≤ X < b) = F( b) − F( a) .

Пример 24

Случайная величина X задана функцией распределе-

Найти вероятность того, что в результате испытания С.В. X примет значение в интервале −1;0) .

Решение

По формуле следствия 1 имеем:

P( −1 ≤ X < 0) = F(0) − F( −1) = 1− 23 = 13 .

Следует отметить, что при вычислении вероятности попадания С.В. в открытый интервал, формула не меняется. Это полностью объясняет:

70