Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

состоит в том, что эта выборка получена при фиксированном значении m = m0. Структура критерия по проверке данной гипотезы зависит от того, известна или нет генеральная дисперсия σ2, а также от вида альтернативной гипотезы.

Для проверки гипотезы H0: m = m0 против любой

Критическую область и область принятия основной гипотезы при разных видах конкурирующей гипотезы отобразим в таблице:

При вычислении критических точек используются свойства функции плотности стандартного нормального распределения.

Пример 36

Предприниматель желает открыть в новом районе города свой магазин. Известно, что магазин будет работать прибыльно, если средний месячный доход жителей района превышает 400 долларов. Известно также, что среднее квадратичное отклонение дохода жителей данного района σ составляет 20 долларов. Проводится выборочное обследование населения по величине доходов, чтобы принять решение об открытии магазина. Определите правило при-

111

нятия решения, с помощью которого, основываясь на выборке n= 100 (человек) и уровне значимости α = 0,05, можно установить, что магазин будет работать прибыльно.

Решение

Магазин будет прибыльным при среднемесячных доходах жителей (это математическое ожидание дохода) больше 400. Так как основная гипотеза должна быть простой, то будем проверять гипотезу о равенстве математического ожидания числу 400:

H0: m= m0 = 400 H1: m= m1 > 400.

Если основная гипотеза будет отвергнута, это даст основание предполагать о справедливости альтернативной гипотезы, что и требуется для принятия решения.

Значение дисперсии σ2 дохода известно. По заданному уровню значимости с использованием таблицы функции Лапласа (табл. 2 приложения), найдем критическую точку критерия:

Φ0 (Zкр. ) = 12 − α = 0,5 − 0,05 = 0,45 Zкр. = 1,65.

Поскольку m0 = 400, то H1 принимают, и, следовательно, магазин открывают, если Zнабл.> Zкр.. То есть,

Итак, магазин следует открывать, если средний доход опрошенных жителей района больше 403,3 долларов.

Проверка гипотезы об определенном значении генерального среднего при неизвестной дисперсии.

Если генеральная дисперсия σ2 неизвестна, в качестве статистики критерия используется статистика:

T = x − m0 , sn

112

которая отличается от предыдущей заменой среднего квадратичного отклонения σ на исправленное выборочное сред-

Такая случайная величина имеет распределение Стьюдента. Функция плотности этой С.В. имеет довольно непростой вид. Но для решения задач используют таблицу критических точек распределения Стьюдента (табл. 3 приложения), в которой используется уровень значимости критерия α и число степеней свободы k= n–1.

Критическую область и область принятия основной гипотезы при разных видах конкурирующей гипотезы отобразим в таблице:

График функции плотности распределения Стьюдента очень похож на график функции плотности стандартного нормального распределения. То есть свойства этих функций эквивалентны.

Пример 37

Средний доход фирмы в день составлял 2500 условных единиц. После реорганизации выборочный средний доход в день за 30 рабочих дней составил 2570 условных единиц с исправленным выборочным средним квадратическим отклонением 120 единиц. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что реорганизация привела к увеличению среднего дохода?

Решение

По условию задачи: m0 = 2500, n = 30, x = 2570,s= 120, α = 0,05. Вданном случае надо проверить гипотезу о равенстве математического ожидания дохода фирмы 2500 у.е.

113

Конкурирующая гипотеза о превышении этого значения:

H0: m= 2500.

H1: m > 2500.

Значение дисперсии неизвестно. По выборочным данным найдем значение статистики Стьюдента:

По таблице критических точек распределения Стьюдента для односторонней критической области при α = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 1 = 29 находим

Tкр = 1,7.

Так как Tнабл. > Tкр. (3,197 > 1,7), то основную гипотезу отвергаем в пользу конкурирующей. Можно утверждать,

что реорганизация привела к увеличению среднего дохода Вид критической области определяется видом альтернативной гипотезы. По таблице, указанной выше, можно сказать в первом случае о правосторонней критической области, во втором — о левосторонней, а в третьем —

о двусторонней критической области.

Сравнение параметров двух нормальных распределений

Часто на практике проводят сравнение параметров распределений двух и более случайных величин по выборочным данным. Например, сравнивают работу филиалов одной и той же компании или хотят сравнить акции различных предприятий и так далее.

Пусть X = (X1,…,Xk ) — выборка из N(mx,σx2 ), а Y = (Y1,…,Yn ) —выборкаиз N(my,σy2 ) .Считаем,выборки X и Y независимыми, что означает независимость в сово-

купности (k+n) случайных величин X1,…,Xk, Y1,…,Yn. Способ проверки гипотез о соотношениях между гене-

ральнымисреднимисовокупностей N(mx,σx2 ) и N(my,σy2 ) определяется тем, известны или нет дисперсии σx2 и σy2 .

114

Предположим, что дисперсии σx2 и σy2 известны, генеральные средние mx и my неизвестны. Рассмотрим гипотезу о равенстве генеральных средних H0: mx =my. Альтернативная гипотеза чаще всего имеет один из трех видов:

1) H1: mx > my; 2) H1: mx < my; или H1: mx ≠ my. При проверке H0 против H1 вида 1), 2) или 3) использу-

Если верна основная гипотеза H0, то эта случайная еличина является стандартной нормальной, то есть Z N(0; 1).

Критическую область и область принятия основной гипотезы при разных видах конкурирующей гипотезы представим в таблице:

Рассмотрим метод нахождения критической области на примере.

Пример 38

В двух городах А и В проведены выборочные обследования доходов жителей. По выборкам из 100 человек получены следующие результаты: в городе А средний доход 30500 рублей, среднее квадратическое отклонение 1500 рублей; в городе В — средний доход 28700 рублей, среднее квадратическое отклонение 1200 рублей. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что в городе А живут в среднем так же, как и в городе В?

115

Решение

По условию задачи имеем:

k= n = 100, X = 30500,σX = 1500,Y = 28700, σY = 1200, α = 0,05.

Вданной задаче необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях. Так как нет конкретных предположений, то конкурирующая гипотеза состоит в том, что математические ожидания не равны.

H0: E(X)= E(Y),

H1: E(X) ≠ E(Y).

С учетом данных вычислим наблюдаемое значение

Уровень значимости составляет 5%, то есть α = 0,05. С учётом альтернативной гипотезы имеем двустороннюю

Так как Zнабл. > Zкр. (9,37 > 1,96), то основную гипотезу отвергаем в пользу альтернативной. То есть, нет осно-

ваний полагать, что в городе А живут в среднем так же, как и в городе В. Для того чтобы выяснить, хуже или лучше живут люди в другом городе, нужно выдвинуть новую конкурирующую гипотезу и проверить основную при односторонней критической области.

Сравнение генеральных средних при неизвестной дисперсии

Предположим, что обе генеральные дисперсии неиз-

вестны, но одинаковы σx2 = σy2 = σ2. С учетом этого равенства имеем:

116

Поскольку значение σ неизвестно, заменим его на корень из смещённой оценки дисперсии. У нас две выборки и поэтому имеется две оценки:

Если верна основная гипотеза H0, то случайная величина T ~ t(k + n − 2) — имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы l = (k + n − 2) .Таблица критических точек распределения Стьюдента есть в любом пособии по математической статистике (табл. 3 приложения в данном пособии).

Следует отметить, что если вопрос о равенстве дисперсий не решен, то этот критерий использовать нельзя. Есть много других критериев, некоторые из них можно посмотреть в пособии [6].

Критическую область и область принятия основной гипотезы отобразим в следующей таблице:

117

Пример 39

Доходы двух подразделений торговой фирмы задаются нормальными независимыми случайными величинами X и Y с одинаковой, но неизвестной дисперсией. По результатам k = 18 наблюдений величины X и n = 9 наблюдений величины Y были получены выборочные значения средних и дисперсий: x = 4; y = 4,2; sx2 = 0,16; sy2 = 0,13. На уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о равенстве средних доходов подразделений H0 : E(X) = E(Y )

против альтернативной гипотезы: H1 : E(X) ≠ E(Y ) .

Решение

В условии задачи сказано, что дисперсии данных С.В. равны. Следовательно, можно использовать критерий Стьюдента для проверки основной гипотезы. Сначала найдем оценку неизвестной дисперсии по формуле:

По таблице 3 приложения — критические точки распределения Стьюдента — находим при уровне значимости α = 0,1 (двусторонняя критическая область) и числе степе-

ней свободы l= k+n–2 =25: Tкр. = 1,71.

Так как Tнабл. < Tкр. (1,26 < 1,27), то основную гипотезу о равенстве средних доходов подразделений принимаем.

118

Сравнение двух вероятностей «успеха» в сериях независимых испытаний

Проверка гипотезы о равенстве вероятностей проводится на основе асимптотической нормальности относительных частот. Этот метод можно применять лишь при больших объёмах выборок (порядка нескольких десятков или даже сотен).

Пусть в одной серии из n1 испытаний получили m1 — количество «успехов». В другой серии из n2 испытаний получили m2 «успехов». Рассмотрим гипотезу H0 : p1 = p2. Альтернативная гипотеза может быть одной из трех видов:

1) H1 : p1 > p2; 2) H1 : p1 < p2; 3) H1 : p1 ≠ p2 .

Во всех случаях вычисляется статистика критерия:

Эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Критическую область и область принятия основной гипотезы отобразим в таблице:

119

Пример 40

Аудиторы компании интересуются системой обработки счетов доходов. Для этого взяли случайную выборку объёма 100 законченных счетов, в которой 8 счетов оказались дефектными. Тогда аудиторы предложили некоторые модификации в процедуре и через определённое время провели случайную выборку 120 завершенных счетов и обнаружили 6 дефектных счетов. Имеется ли основание предполагать на уровне значимости 5%, что новые процедуры уменьшают ошибку?

Решение

В данном случае необходимо проверить гипотезу о равенстве вероятностей ошибок при различных аудиторских проверках. С учётом вопроса, альтернативная гипотеза состоит в том, что вероятность уменьшилась:

H0 : p1 = p2 H1 : p1 > p2.

=0,0330,03 ≈ 0,9

Сучетом правосторонней критической области и данного уровня значимости, по таблице 2 приложения, найдем критическое значение статистики:

Φ0 (Zкр. ) = 12 − α = 0,45→ Zкр. = 1,645

Так как Zн. < Zкр. (0,9 < 1,645), то основная гипотеза принимается. Это означает то, что нет оснований полагать, что новые процедуры уменьшают ошибку.

120