Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

револьвера произвольный, то всего возможно 7 исходов при каждом испытании. Испытания два, поэтому: n=7·7=49.

Первый раз револьвер не выстрелил, то есть, выпало одно из двух гнезд, где не было патрона. Аналогично произошло и во второй раз. Таким образом, благоприятных шансов: m=2·2=4.

Дробь mn = 494 ≈ 0,0816 искомая вероятность. Ответ: P(A)≈0,0816.

Свойства вероятности.

Из определения вероятности события следуют ее простейшие свойства:

1.Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, для достоверного события все элементарные исходы являются благоприятными этому событию, то есть m = n.

2.Вероятность невозможного события равна нулю. Для невозможного события нет благоприятных исходов, то есть m = 0 .

3.Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Так как

Следствие. Следует всегда помнить, что вероят-

ность любого события — есть число от нуля до единицы:

0 ≤ P (A)≤1 .

Замечание.

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможные. Это предположение позволяет считать вероятность события до проведения опыта. На практике ситуация с равновозможными исходами встречается редко. В связи с этим появляется необходимость введения еще одного определения вероятности, так называемого статистического. Прежде, чем ввести статистическое определение веро-

11

ятности, рассмотрим понятие относительной частоты появления события в проведенном опыте.

Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Пусть А — случайное событие по отношению к некоторому опыту. Если опыт проведен n раз, при этом событие А наступило nА раз, то частота события А есть число, рав-

ное nnA . Очевидно, что 0 ≤ nnA ≤ 1 .

Вероятность вычисляется до опыта, а относительная частота — после опыта. Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления события.

nA →P( A) (читается: относительная

n n→∞

частота стремится при большом числе испытаний к веро-

ятности события). Иначе, P( A) = lim nA .

n→∞ n

Такую вероятность считают статистической. На практике, в-основном, приходится иметь дело именно со статистической вероятностью. Такие понятия, как вероятность брака на предприятии, вероятность рождения близнецов, вероятность попадания в цель при стрельбе — являются статистическими. При этом возникает вопрос, на сколько много должно быть испытаний, чтобы можно было говорить о статистической вероятности? Естественный ответ: чем больше, тем лучше. Но не всегда есть возможности проводить очень много опытов. Однако, для разных задач и условий есть методы, которые позволяют найти достаточное количество испытаний. Более подробно об этом рассмотрим в разделе Математическая статистика.

12

Глава 3. Элементы комбинаторики

Комбинаторика — это раздел математики, который позволяет ответить на вопрос «сколькими способами», то есть занимается подсчетом числа комбинаций при выборе элементов множества. Согласно классическому определению, подсчет вероятности события A сводится к подсчету числа всех возможных исходов опыта и благоприятствующих для A исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Решение многих комбинаторных задач основано на применении следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать k способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать l способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать (k·l) способами.

Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов. Не случайно подчеркнут союз «и» в этом правиле. Именно на это стоит обращать внимание при решении задачи.

Пример 1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Решение

а) Дано пять различных цифр, причем отсутствует ноль. Это важно, так как трехзначное число не может начинаться с нуля. Для составления трехзначного числа нужно выбрать три цифры: первая — любая из пяти (5 вариантов), вторая — другая (4 варианта) и третья — отличная от первых двух (3 варианта). Выбираем все три цифры одновременно (первую и вторую и третью), значит, число вариантов перемножаем: 5·4·3=60 вариантов.

б) Если цифры могут повторяться, то для каждой из них возможно пять способов выбора. Следовательно,

13

всего трехзначных чисел из указанных цифр: 5·5·5=125 вариантов.

Правило суммы: если из некоторого конечного множества первый объект x можно выбрать k способами, а объект y можно выбрать l способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y), можно выбрать (k+l) способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов. В данном случае выделен союз «или» — следует прислушаться к вопросу при решении задачи. Чем подробнее обсуждается решение задачи, тем меньше ошибок при её решении. Ответ обычно возникает сразу, как только Вы правильно поняли смысл задачи и проговорили то, о чём спрашивают.

Пример 2

В студенческой группе 15 девушек и 9 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух студентов одного пола?

Решение

Студенты одного пола — это либо две девушки, либо два юноши. Так как задания различные, то выбрать двух девушек из 15 можно 15 · 14 = 210 способами. Выбрать двух юношей: 9·8=72 способами. Выбрать двух девушек или двух юношей: 210+72=282 способа.

Для решения вероятностных задач часто используются комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором эксперименте, состоящем в выборе наудачу m элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуютдвесхемывыбораmэлементов( 0 < m ≤ n ) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). Эти моменты очень важны при решении задачи, в разных схемах используются разные подходы и формулы. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай на практике.

14

Схема выбора без возвращений

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Размещением из n элементов по m элементов ( 0 < m ≤ n ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов.

Иначе можно сказать, что размещения — это выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначается символом Anm (от английского accommodation —размещение) и вычисляется по формуле:

где n! = 1 2 3 … n, 0! = 1, 1! = 1.

(Читается: n-факториал).

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Таким образом, перестановки — это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (от английского permutation — перестановка) и вычисляется по формуле Pn = n! .

Эта формула следует из определения перестановки:

То есть, сочетания — это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, а значит, отличаются только составом элементов.

15

Число сочетаний из n элементов по m элементов обо-

Для того чтобы выбрать m элементов из n элементов с учетом порядка, надо выбрать эти элементы произвольным образом, а затем их упорядочить. Обратите внимание, что размещения — это самое большое число комбинаций в данной схеме. При решении комбинаторных задач всегда надо уточнять, важен ли порядок расположения элементов. Особое внимание уделяется субъективности – для людей и вещей разные подходы.

Пример 3

Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?

Решение

Всего в вазе находится 14 цветов. Выбрать любые три из четырнадцати в произвольном порядке можно сочетанием трех из четырнадцати:

Для вычисления количества выборов одной красной гвоздики из десяти и две розовых из четырех одновременно — перемножаем число сочетаний один из десяти

16

Так как речь в задаче о цветах, то порядок их расположения не важен.

Пример 4

В лифт на первом этаже 9-ти этажного дома заходят 4 человека. Сколькими способами могут эти люди выйти на разных этажах, начиная со второго?

Решение

Так как люди выходят из лифта со второго этажа, то всего у них 8 вариантов. Но в условии задачи все люди должны выйти на разных этажах. Поэтому, будет выбрано 4 этажа из восьми, но порядок выбора для человека важен. Следовательно, все различные комбинации — это размещения четырех из восьми:

Эту задачу можно решить, используя правило умножения: первый человек может выйти на любом этаже — это 8 вариантов; второй — на любом другом этаже — это 7 вариантов; у третьего — 6 вариантов, у четвертого — 5. Так как выходят все люди (и первый, и второй, и третий и четвертый), то число вариантов перемножаем: 8·7·6·5= 1680.

Пример 5

Сколькими способами 6 человек могут сесть на шестиместную скамейку, если два определенных человека хотят сидеть рядом?

Решение

Если бы все шесть человек могли сесть на любое из шести мест, то это возможно 6! способами. Но в условии задачи — два определенных человека хотят сидеть рядом. Можно этих двоих считать за одного — они обязательно рядом. Тогда различных комбинаций станет 5! Кроме того, эти двое могут меняться местами друг относительно друга — это два способа. Таким образом, всех возможных различных способов сесть на скамейку: 2·5!= 240.

17

Пример 6

Задумано трехзначное число. Сколько всех возможных комбинаций чисел, если известно, что загаданное число с двумя одинаковыми цифрами.

Решение

Любое число состоит из цифр. Всего 10 цифр от 0 до 9. Трехзначное число имеет три цифры — количество сотен, десятков и единиц. Так как две цифры в числе одинаковы, то третья цифра другая, отличная от двух других. Понятно, что трехзначное число не может начинаться с нуля (минимальное трехзначное число — 100, максимальное — 999). Итак, на первом месте может быть одна из 9 цифр. Если две другие цифры одинаковы, то их тоже девять (любые из 10, не равные первой). Таких вариантов чисел: 9·9= 81.

Но из двух одинаковых цифр может быть и первая в трехзначном числе. Если вторая цифра такая же, как первая, то третья — другая — одна из 9, не равных первой цифре. Также одинаковыми могут быть первая и третья цифры.

Итак, всего возможно следующее число комбинаций: 9·9+9·9+9·9= 81·3= 243.

Эту задачу можно решить и другим способом — от противного. Сначала посчитаем, сколько всего трехзначных чисел: 9·10·10= 900. Потом найдем числа, в которых все цифры различные или все цифры одинаковые. Чисел с различными цифрами: 9·9·8= 648 , а чисел с одинаковыми цифрами: 9. Тогда количество чисел с двумя одинаковыми цифрами:

900–648–9= 243.

18

Но когда говорят о точке, брошенной в некоторую область, мы имеем дело с бесконечным количеством точек. Геометрическая вероятность также используется, когда говорят о временных промежутках. Ведь время — непрерывная величина.

Задача о встрече

Два студента условились встретится в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший 1-ый ждет 2-го 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода.

Решение

Событие A — встреча состоится. Для нахождения вероятности события A введем обозначения: X — время прихода первого студента, Y — время прихода второго. Так как студенты могут прийти в любой момент указанного промежутка времени случайным образом, то все исходы являются равновозможными.

Пространство всех возможных исходов опыта можно записать системой:

12 ≤ x ≤ 13, D : 12 ≤ y ≤ 13.

Для удобства построения области возможных решений, рассмотрим эквивалентный временной промежуток [0;1].

Встреча состоится при условии, если время прихода первого и второго студента отличается не более, чем на 15 мин= 1/4 часа. Очень важно, чтобы все вычисления были в одной системе измерения, иначе решение будет неверным. То есть благоприятные для события А исходы можно записать неравенством:

x − y ≤ 14.

Это те точки квадрата всех возможных исходов, для которых выполняется следующее:

y ≤ x + 14, d :

y ≥ x − 14.

20