Лекции по теории вероятностей и математической статистике (для слушателей Института сокращенных программ). Учебное пособие для бакалавров направлений

Следствие 2. Вероятность того, что Н.С.В. X примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив в формуле следствия 1 свойства 2 границы интервала: a = x1, b = x1 +∆x, имеем:

P(x1 ≤ X < x1 + x) = F(x1 + x) − F(x1 ). Устремим x → 0. Так как X — Н.С.В., то F(x) — непрерывна. В силу непре-

рывности F(x) в точке x1 разность F(x1 + x) − F(x1 ) → 0 . Следовательно, P(X = x1 ) = 0 .

Используя это следствие, легко убедиться в справедливости следующего:

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b).

Таким образом, для вычисления вероятности попадания Н.С.В. в интервал, не является существенным, включены или нет границы интервала.

Заметим, было бы неправильно думать, что равенство нулю вероятности P(X = x1 ) = 0 означает, что событие X = x1 невозможное (если не ограничивать классическое определение вероятности). Действительно, в результате испытания С.В. обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным x1.

Свойство 3. Если возможные значения С.В. принадлежат интервалу (a; b), то: 1) F(x)= 0 при x ≤ a; 2) F(x)= 1 при x≥ b.

Следствие. Если возможные значения Н.С.В. расположены на всей оси x, то справедливы следующие предельные соотношения:

Это очевидно вытекает из определения функции рас-

пределения. Событие, {X < −∞} является невозможным, а {X < +∞} — достоверным.

Определение 2. Н.С.В. называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения имеет производную: F′(x) = f(x) всюду, за исключением, быть может, нескольких точек; при этом предполагается, что функция f(x) также непрерывна, за исключением указанных точек.

71

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей С.В. X. График функции плотности распределения вероятностей называют кривой распределения С.В. X.

Из определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. В связи с этим, иногда функцию плотности называют дифференциальной функцией распределения, а функцию распределения вероятностей — интегральной функцией распределения.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что Н.С.В. примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Эта формула является прямым следствием формулы Ньютона – Лейбница из курса математического анализа.

Теорема. Вероятность того, что Н.С.В. X примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

P(a < X < b) = ∫bf (x)dx.

a

Геометрически данный результат можно интерпретировать так:

Вероятность того, что Н.С.В. примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ox, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b. В сущности, это есть не что иное, как геометрический смысл определенного интеграла. Тем не менее, оно даёт наглядное представление о значении вероятности попадания С.В. в заданный интервал (рис. 8). В частности, если функция плотности является линейной функцией, то вероятность можно посчитать, используя известные формулы площади плоских фигур из курса геометрии (площадь треугольника, прямоугольника и трапеции).

72

Зная плотность распределения f(x) можно найти функ- x

цию распределения F(x) по формуле: F(x) = ∫ f(t)dt —

−∞

как несобственный интеграл с переменным верхним пределом от функции плотности.

Действительно, по определению функции распределения имеем: F(x) = P(X < x) . Очевидно, неравенство

X < x можно записать в виде: −∞ < X < x . Следовательно,

F(x) = P(−∞ < X < x) .

Полагая в формуле из предыдущей теоремы a = – ∞

74

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

F(x)

Рис. 9. График искомой функции распределения

Свойства плотности распределения Свойство 1. Плотность распределения — неотрица-

тельная функция: f(x) ≥ 0 при любом значении x. Действительно, F(x) неубывающая функция, следо-

вательно, её производная F′ (x) = f(x) – функция неотрицательная (свойства функции из курса математического анализа).

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от–∞ до+∞ равен единице:

выражает вероятность события, состоящего в том, что С.В. примет значение, принадлежащее интервалу (–∞; ∞). Очевидно, такое событие является достоверным. Следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ox и кривой распределения, равна единице. (Аналогичное свойство есть и у дискретных случайных величин — сумма вероятностей всех возможных значений С.В. равна единице).

75

В частности, если все возможные значения С.В. при-

надлежат интервалу (a; b), то ∫bf (x)dx = 1 . Это свойство

a

называют свойством нормированности (или нормировки) функции плотности Н.С.В.

Пример 27

Плотность распределения С.В. задана формулой f (x) = 1+ax2 . Найти постоянный параметр а.

Решение

Для заданной С.В. нет ограничений. Следовательно, f(x) определена на интервале (– ∞; ∞). Воспользуемся свойством нормированности:

Вычислим несобственный интеграл с использованием известных из курса математического анализа формул:

Здесь, при вычислении интеграла, воспользовались свойствами определённого интеграла — разбили область интегрирования на две симметричные области. Так как подынтегральная функция является чётной, то значения функции симметричны относительно оси ординат (интеграл от четной функции при симметричных пределах интегрирования равен удвоенному значению интеграла в положительной области). После вынесения константы зазнакинтеграла,получилитабличныйинтеграл.Функция

арктангенсявляетсяограниченнойфункциейнаинтервале− 2π ; 2π . То есть, при x → +∞ функция arctanx→ 2π .

76

Числовые характеристики Н.С.В.

Распространим определения числовых характеристик Д.С.В. на величины непрерывные. Так как все числовые характеристики величины определяются суммарно, то для непрерывных величин вместо суммы используется операция интегрирования (смысл которой и является сумма).

Определение 1. Математическим ожиданием Н.С.В. X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называют определенный интеграл вида:

b

E(X) =∫x f (x) dx.

a

Если возможные значения принадлежат всей оси ox, то

+∞

E(X) = ∫x f (x) dx.

−∞

Предполагается, что несобственный интеграл схо-

+∞

дится абсолютно, то есть существует ∫ x f (x) dx . Если бы это требование не выполнялось, то значение−∞ интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к–∞, а верхнего к+∞.

Очевидно, на основе свойств определенного интеграла, что сохраняются все свойства математического ожидания, доказанные для Д.С.В.

По аналогии с дисперсией Д.С.В. определяется и дисперсия Н.С.В.

Определение 2. Дисперсией Н.С.В. называют математическое ожидание квадрата её отклонения.

Если возможные значения X принадлежат [a; b], то

D(X) = ∫b [x − E(X)]2 f (x) dx.

a

Если возможные значения принадлежат всей оси ox, то

+∞

D(X) = ∫ [x − E(X)]2 f (x) dx .

−∞

Среднее квадратическое отклонение Н.С.В. определяется, как и для Д.С.В.: σ(X) = D(X) .

77

Можно доказать, что все свойства числовых характеристик сохраняются и для Н.С.В. В частности, легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

D(X) = ∫bx2 f(x) dx − E2 (X)

Пример 28

Найти числовые характеристики случайной величины X, если известна функция распределения этой величины:

Решение

Найдем плотность распределения:

Дисперсию посчитаем двумя способами — по определению и по формуле.

78

Заметим, что в данной задаче вычислять дисперсию проще и быстрее, используя формулу дисперсии, а не определение.

На практике часто приходится решать и обратные задачи: зная числовые характеристики, определить закон распределения С.В. Не всегда это удается точно сделать. Но есть известные законы, которые хорошо изучены.

79

Глава 12. Примеры непрерывных   распределений

При решении задач приходится сталкиваться с различными распределениями Н.С.В. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. В частности, по виду графика функции плотности принимают решение о виде распределения. Рассмотрим основные виды законов распределения Н.С.В., которые часто встречаются на практике.

Равномерное распределение

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерного распределения случайной величины.

Пример 29

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 10 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не более 3 минут.

Время ожидания можно рассматривать как С.В. X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между временем прибытия двух автобусов. Таким образом, X имеет равномерное распределение.

Найдем плотность равномерного распределения f(x), считая, что все возможные значения С.В. заключены на интервале (a; b), на котором функция f(x) сохраняет постоянные значения. (В нашем случае (0; 10)).

По условию, X не принимает значений вне интервала (a; b), поэтому f(x)= 0 при X < a и X > b.

Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то должно выполняться соотношение (условие нормированности):

∫f (x)dx = 1 , или в нашем случае, ∫c dx = 1.

80