Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

Департамент образования города Москвы Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский городской педагогический университет» (ГБОУ ВПО МГПУ)

Институт педагогики и психологии образования

Кафедра естественнонаучных дисциплин и методики их преподавания в начальной школе

Е.А. Конобеева, Т.А. Конобеева, Л.П. Стойлова, И.В. Шадрина

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Книга 2

Часть III–IV

Москва

2012

Печатается по решению Редакционно-издательского совета ГБОУ ВПО МГПУ

Авторы:

кандидат педагогических наук Е.А. Конобеева, кандидат педагогических наук Т.А. Конобеева, кандидат педагогических наук, профессор Л.П. Стойлова, кандидат педагогических наук, доцент И.В. Шадрина

Рецензенты:

кандидат педагогических наук, доцент Н.Н. Лаврова, кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Рыбаков

Конобеева Е. А., Конобеева Т. А., Стойлова Л. П.,

К64 Шадрина И. В. Задачник-практикум по математи­ ке. – Кн. 2. – Ч. III– IV. – М.: МГПУ, 2012. – 116 с.

Пособие является второй книгой задачника-практикума по математике, состоящего из 4-х частей. Книга 2 представлена двумя частями — «Натуральныечислаинуль»(авторы—Т.А.Конобеева,Л.П.Стойлова, И.В. Шадрина) и «Геометрические фигуры и величины» (авторы — Е.А. Конобеева, Л.П. Стойлова).

Пособие предназначенного для студентов, обучающихся в условиях бакалавриата по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Начальное образование»).

©Е.А. Конобеева Т.А. Конобеева, Л.П.Стойлова,И.В.Шадрина,2012

©ГБОУ ВПО МГПУ, 2012

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Задачиизаданиятретьейчастизадачника-практикумапризваны помочь студентам усвоить научные основы материала, связанного

спонятиемнатуральногочисла—главногопонятияначальногокур- саматематики.Вданнойчастисодержатсязадачи,выполнениекоторых должно способствовать освоению смысла порядкового и количественногонатуральногочисла,числакакмерывеличины,арифметическихоперацийнадчислами.Такжевключенызадачи,связанные

срасширениемпонятиянатуральногочислаинацеленныенасовершенствование у студентов умений выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями, с изображением действительныхчиселнакоординатнойпрямой.

Задачи и задания четвертой части задачника-практикума призваны помочь студентам усвоить материал, связанный с понятием геометрическойфигуры,спонятиемдлиныотрезка,площадифигурыи объема геометрического тела. Так как свойства геометрических фигурнаплоскостиизучаютсявшкольномкурсематематики,ноимеют большоезначениедляпрофессиональнойподготовкиучителяначальных классов, в задачнике-практикуме он представлен в виде таблиц, работаскоторымиорганизуетсяспомощьюспециальныхвопросов­ и заданий. Для углубления геометрической подготовки студентов в за- дачник-практикумэтотматериалвключенызадачи,решениекоторых связанососвойствамимногогранниковителвращения.

Задания и задачи 2-й книги задачника разбиты на главы, каждая из которых заканчивается пунктом «Задания для самоконтроля», в котором сформулированы требования к тем умениям студентов, которыми они должны овладеть, изучив материал главы. Кроме того, в этом пункте приведены задачи, с помощью которых студенты могут проверить овладели они необходимыми умениями или нет. Последняя задача пункта названа проектной, при ее решении студенты должны установить связи изученного мате­ риала главы с содержанием начального курса математики.

Предлагаемые в задачнике задания и задачи студенты могут вы-

полнятькакнааудиторныхзанятиях,такиработаясамостоятельно.

5

Часть III Натуральные числа и нуль

Глава 12. Различные подходы к построению системы натуральных чисел

12.1. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

1.Перечислите исходные понятия аксиоматической теории натуральных чисел. Какие общематематические понятия используются при этом?

2.Докажите, что отношение «непосредственно следовать за» не является отношением порядка.

3.ЗадачаД.Гильберта.Пустьцифра—этообъект,порожденный следующим процессом: либо это |, либо, если а — цифра, то а | — такжецифра.Сложениецифропределяетсятак:еслиаиb —цифры, то их сумма а + b — цифра, получаемая приписыванием к цифре а всех|цифрыb.

а) Найдите сумму | | | + | | | |.

б) Докажите, что сложение цифр ассоциативно.

в) Покажите, что, прибегая к счету на пальцах, дети исполь­ зуют указанное определение сложения.

4.Вначальномкурсематематикисумма2+3находитсяспомощьюпроцедурыприсчитываниякпервомуслагаемомупоединице:

2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5.

Покажите, что такая процедура и определение сложения в аксиоматической теории взаимосвязаны.

5.Покажите на примерах, что определение умножения в аксиоматической теории натуральных чисел приводит к процедуре нахождения произведения как суммы равных слагаемых.

6.Докажите, что последовательность –1, –2, –3, … является моделью системы аксиом Пеано, если положить n1 = –n – 1.

7.Покажите, что считалку: «На златом крыльце сидели царь, царевич, король, королевич, сапожник, портной. Кто ты бу-

6

дешь такой? Выходи поскорей, не задерживай добрых людей!» (В.В. Давыдов и др. Математика, 1 кл.) можно использовать в качестве отрезка натурального ряда для пересчета элементов некоторого «небольшого» множества, сопоставляя каждому его элементу определенное слово считалки. Найдите, каким по счету окажется Ваня, если множество детей таково: Таня, Петя, Оля, Федя, Максим, Ваня, Катя, Игорь, Лена. Определяется ли слово, обозначающее место Вани при таком пересчитывании, однозначно? Каким словом считалки однозначно определяется количество пересчитываемых детей? Постройте взаимно­ -однозначное соответствие между словами считалки и множеством детей. Объясни- те,почемусчиталку:«Ехалгрекачерезреку,видитгрека—вреке рак, сунул грека руку в реку, рак за руку греку цап» с этой целью использовать нельзя.

8. Какие свойства арифметических действий обосновывают правильность каждого шага преобразования выражений:

а) 12 + 9 = 12 + (8 + 1) = (12 + 8) + 1; б) 6 + (7 + (4 + (9 + (11 + 10)))) = 6 + (7 + (4 + (9 + 11 + 10))) =

=6 + (7 + (4 + 9 + 11 + 10)) = 6 + (7 + 4 + 9 + 11 + 10) = 6 + 7 + 4 +

+9+11+10;

в) (3 + (7 + 4)) · 5 = 3 · 5 + (7 + 4) · 5 = 3 · 5 + (7 · 5 + 4 · 5) = = 3 · 5 + 7 · 5 + 4 · 5;

г) 128 : 4 = (32 + 96) : 4 = 32 : 4 + 96 : 4; д) (54 + 18 + 108) : 9 = ((54 + 18) + 108) : 9 = (54 + 18) : 9 +

+ 108 : 9 = (54 : 9 + 18 : 9) + 108 : 9 = 54 : 9 + 18 : 9 + 108 : 9; е) 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + (2 + (3 +4)) = 1 +(2 + (4 +3)) = 1 + ((2 +

+ 4) + 3) = 1 + ((4 + 2) + 3) = (1 + 4) + (2 + 3). 9. Докажите, что если:

а) 2 + 3 = 5, а 5 + 4 = 9, то 2 + 3 + 4 = 9; б) 2 · 3 = 6, а 6 + 4 = 10, то 2 · 3 + 4 = 10;

в) 17 · 3 = 51, а 5 · 3 = 15, то (17 + 5) · 3 = 66.

10. Какие свойства сложения и известные значения сумм использует ученик, вычисляя значение суммы 6 + 7 «по частям»: 6 + 7 = 6 + (4 + 3).

7

11.Уравнение х + 9 = 16 ученик решил так: 16 = 7 + 9, значит,

х+ 9 = 7 + 9. Вычту по 9, получу х = 7. Какое свойство сложения он использовал?

12.Сравнивая значение выражений 32 + 20 и 32 + 16, ученик рассуждает так: 32 + 20 > 32 + 16, потому что, если больше прибавить, то и получится больше. Какое свойство сложения он использовал?

13.Докажите, что если а > b и c > d, то а + c > b + d.

14.Докажите,что(а+b)–c=(a–c)+bвпредположении,что рассматриваемые разности существуют.

15.Докажите,чтовычитаниенеобладаетсвойствомассоциатив­

ности.

16.Докажите дистрибутивность умножения относительно вычитания в предположении, что все рассматриваемые разности существуют.

17.Вычисляя значение частного 511 : 7, один ученик нашел, что 511:7=63,адругойнашел,что511:7=73.Почему,непроизводяникакихвычислений,можносказать,чтохотябыодинихнихошибся.

18.Ученик,вычисляязначениечастного376:94,узнал,сколько раз нужно последовательно вычесть 94 из 376, пока не получится нуль. Как он рассуждал?

19.Запишите общий вид чисел, которые:

а) при делении на 2 дают в остатке 1; б) при делении на 3 дают в остатке 2; в) при делении на 4 дают в остатке 1.

20.Найдите наименьшее двузначное число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, а при делении на 6 дает в остатке 5.

21.Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получается то же число, что и в остатке.

22.Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального n имеют место равенства:

а) 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) / 2;

б) 1 / 1 · 2 + 1 / 2 · 3 + 1 / 3 · 4 + … + 1 / n (n + 1) = n / n + 1.

8

12.2.Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и действий над ними

1.При знакомстве с числом «два» учитель использовал различные картинки с изображением двух предметов. Можно ли так поступать при изучении других чисел? Ответ обоснуйте.

2.Придумайте множества C и В, для которых выполняются условия:

а) n (C) = n (B) = 6 и C ≠ B; б) n (C) = n (B) = 5 и C = B.

3.Используя различные определения отношения «меньше», докажите, что 5 < 7.

4.Используя определение отношения «меньше» с теоретикомножественныхпозиций,докажите,чтодлямножествА={1,2,4}и

В={а,б,в,г}выполненывсеусловияданногоопределения.

5.Используя теоретико-множественное определение отношения «меньше», докажите, что отношение «меньше» является отношением порядка.

6.Используя теоретико-множественный подход к числу, объясните,что8=8.

7.Истинно ли равенство n (A) + n (B) = n (A B)? Свой ответ обоснуйте. Продолжите данную запись, чтобы равенство стало истинным.

8.Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между множествамиА и В, рассматриваемыми в определении сложения.

9.Приведите пример множеств, соответствующих сумме 5 + 4.

10.Докажите, что a + 0 = a для любого a Z0.

11.Запишите в символическом виде свойство коммутативности сложения и дайте его теоретико-множественное обоснование.

12.Верно ли раскрыт теоретико-множественный смысл суммы 3 + 6 + 2: «Множество А состоит из 3 элементов, число элементов множества В равно 6, а С является двухэлементным

9

множеством. Число элементов в объединении множеств А, В и С равно сумме 3 + 6 + 2». Свой ответ обоснуйте.

13. Приведите теоретико-множественное обоснование суммы чисел:

а)0+7; б)3+4+6; в)0+0;г)2+4+6+4; д)7+6+0.

14.Используясвойстваобъединениямножеств,докажите,что a+(b+c)=(a+c)+bдлялюбыхцелыхнеотрицательныхчисела, b и c.

15.Рассмотрите теоретико-множественное обоснование выбора действия при решении задачи: «В вазе стояло 4 тюльпана и 3 хризантемы. Сколько всего цветов стояло в вазе?»

«Взадачеидетречьодвухмножествах:А—множествотюль- панов,В—множествохризантем.Крометого,n(A)=4;n(B)=3. Следовательно, n (A B)= 4 + 3 = 7.

Ответ: в вазе стояло 7 цветов».

Что, на ваш взгляд, следует уточнить в данном обосновании?

16.Объясните с теоретико-множественной позиции, почему данные задачи решаются сложением:

а)Воднойкоробкеосталось6конфет,авдругой—12.Сколь- ко конфет осталось в двух коробках?

б) Из стопки тетрадей дежурный сначала взял 12 тетрадей,

апотом 8. Сколько тетрадей взял дежурный из стопки?

в) У девочки было несколько карандашей. Когда 2 она отдала, то у нее осталось 5 карандашей. Сколько карандашей было у девочки?

17.Истинно ли равенство n (A) – n (B) = n (A\ B)? Свой ответ обоснуйте.

18.Докажите, что а – 0 = а, а – а = 0.

19.Приведите пример множеств, соответствующих разности 6 – 3. Можно ли в качестве примера взять множестваA= {1, 2, 4, 5, 7, 8} и В = {1, 2, 4}?

20.Каков теоретико-множественный смысл разности:

а) 12 – 7; б) 5 – 0; в) 6 – 6?

21. Запишите в символическом виде правило вычитания суммы из числа и дайте его теоретико-множественное обоснование.

10