Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

10.Веревку длиной 12 м складывали пополам и разрезали

вместе сгиба до тех пор, пока не получили отрезки длиной 1,5 м. Сколько всего раз повторили эту операцию?

11.Запишите решение задачи по действиям с пояснением и назовите те операции над длинами, которые были при этом выполнены:

На отрезке АD взяты точки В и С так, что точка В лежит между точками А и С. Найдите длину отрезка АD, если длина отрезка АВ равна 6 см, длина отрезка ВС на 2 см меньше длины отрезка АВ, а длина отрезка СD в 2 раза меньше длины отрезка АС.

12.Какое расстояние пройдет человек, сделав миллион шагов, если средняя длина его шага равна 75 см?

18.2.Площадь фигуры и ее измерение

1. Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры и обладающая свойствами:

•равные фигуры имеют равные площади;

•если фигура состоит из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей;

•существует фигура, площадь которой равна 1.

ИзмерениеплощадифигурыFсостоитвсравненииееплощади с площадью фигуры, принятой за единицу. Результатом измерения площади фигуры является положительное число S (F), которое на-

зывают численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади.

В геометрии число S(F) часто называют площадью фигуры F. Единицей площади, как правило, является площадь квадрата

со стороной, равной единице длины.

Используя определения площади фигуры и ее измерения, ответьте на следующие вопросы.

101

а) При измерении площади фигуры F с помощью площади квадрата с данной стороной е оказалось, что S = 3 е2. Как назы­ вают число 3, и что оно показывает?

б) На рисунке 18.1 изображены два равных прямоугольника. Равны ли их площади?

Рис. 18.1

в) На рисунке 18.2 изображен прямоугольник F, состоящий из фигур F1, F2 и F3. Докажите, что площадь прямоугольника F равна сумме площадей фигур F1, F2 и F3.

F

F1

F3

F2

Рис. 18.2

г) Каким будет численное значение площади фигуры F (см. рис. 18.2), если единицу площади уменьшить в 4 раза?

102

2.Можно ли найти площадь фигуры F (см. рис. 18.2), не на-

ходя площади фигур F1, F2 и F3 и не используя формулу для вычисления площади прямоугольника?

3.Как можно найти площадь фигуры F, изображенной на рисунке 18.3?

Рис. 18.3

4.Площадь фигуры F равна сумме площадей фигур F1 и F2. Значит ли это, что фигура F составлена из фигур F1 и F2?

5.Два треугольника имеют равные площади. Следует ли из этого, что они равны?

6.Фигуры, площади которых равны, называют равновеликими. Докажите, что отношение равновеликости является отношением эквивалентности на множестве геометрических фигур.

7.На практике площади измеряют, используя стандартные единицыплощади.Вмеждународнойсистемеединицвеличин(SI)единицы площади фигуры рассматриваются как производные от единицдлиныисоответствующимобразомобозначаются:

– квадратный метр — 1 м2;

– квадратный дециметр — 1 дм2;

– квадратный сантиметр — 1 см2;

103

–квадратный миллиметр — 1 мм2;

–квадратный километр — 1 км2.

Используя данную информацию, ответьте на вопросы: а) Во сколько раз 1 м2 больше 1 см2?

б) Какую часть 1 км2 составляет 1 м2?

8.На практике для измерения площади используют и внесистемные единицы: гектар, ар, сотка. Как они связаны с квадратным метром?

9.Сравните площади:

а) 125 м2 … 1 000 дм2; б) 3 дм2 … 300 см2; в) 321 дм2 … 3 м2 21 дм2;

г) 23 м2 7 дм2 … 237 дм2. 10. Вычислите:

а) 320 дм2 + 943 дм2; б) 25 см2 50 мм2 – 12 см2 90 мм2; в) 3 км2 – 90 га; г) 36 а – 350 м2.

11. Для вычисления площадей фигур используют формулы. Установите соответствие между фигурами и формулами, по которым вычисляют их площади; объясните, что обозначают символы, которые используются в этих формулах.

12. АВСD — прямоугольник, точка К — середина СD, точка L — середина ВС, точка М — середина АD, точка N — сере-

104

дина АВ. Какую часть от площади прямоугольника составляют площади таких фигур:

а) АВD; б) АВМ; в) АВDК; г) KLMN?

13.Ширина прямоугольника равна 15 см. На сколько изменится его площадь, если длину прямоугольника уменьшить на 4 см?

14.Нагипотенузеравнобедренногопрямоугольноготреугольникапостроиликвадрат.Квадратпостроилиинаегокатете.Докажите, что площадь первого квадрата в два раза больше площади второго квадрата.

Используя эту задачу, придумайте способ построения квадрата, площадькотороговдваразабольшеплощадиданногоквадрата.

15.Вершина А квадрата АВСD соединена с серединами М и N его сторон СВ и СD. Определите площадь треугольника АМN, если сторонаквадратаравна8см.

16.Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание — 12 см, а боковая сторона — 10 см?

17.Чертежный треугольник с катетами, равными 30 см и 40 см, имеет внутри треугольный вырез, катеты которого равны 15 см и 20см.Каковаплощадьдеревяннойчаститреугольника?

18.В треугольнике АВС проведена средняя линия MN. Площадь треугольника АВС равна 4 см2. Найдите площадь треугольника ВMN.

19.ВпрямоугольникеАВСDдиагоналипересекаютсявточкеО. Докажите,чтотреугольникиАОВ,ВОС,СОDиDОАравновелики.

20.Найдите площадь параллелограмма, диагональ которого равна 8 см и перпендикулярна стороне, равной 4 см.

21.Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м

и3 м, а один из углов равен 60°.

22.Сторона ромба равна 8 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.

23.Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а не параллельные — 13 см и 37 см.

105

18.3. Объем геометрического тела и его измерение

1. Объем геометрического тела — положительная величина,

определенная для каждого тела и обладающая свойствами:

•равные геометрические тела имеют равные объемы;

•если геометрическое тело состоит из конечного числа тел, то его объем равен сумме их объемов;

•существует тело, объем которого равен 1.

Измерение объема геометрического тела F состоит в сравнении его объема с объемом куба, ребро которого равно единице длины. Результатом измерения объема тела является положитель-

ное число V (F), которое называют численным значением объема тела F при выбранной единице объема.

В геометрии число V (F) часто называют объемом геометрического тела F.

Используя определение объема геометрического тела и его измерения, ответьте на следующие вопросы.

а) При измерении объема тела F с помощью объема куба сдлинойстороные оказалось,чтоV=4е3.Какназываютчисло4, и что оно показывает?

б) На рисунке 18.4 изображен куб, состоящий из восьми одинаковых кубов с ребром, длина которого равна е. Какими свойствами объемателавывоспользуетесь,определяяобъемданногокуба?

Рис. 18.4

106

2.Напрактикеобъемыизмеряют,используястандартныеединицы объема. В международной системе единиц величин (SI) единицы объема геометрического тела рассматриваются как производные отединицдлиныисоответствующимобразомобозначаются:

–кубический метр — 1 м3;

–кубический дециметр — 1 дм3;

–кубический сантиметр — 1 см3;

–кубический миллиметр — 1 мм3;

–кубический километр — 1 км3.

Используя данную информацию, ответьте на вопросы: а) Во сколько раз 1 см3 меньше 1 м3?

б) Какую часть 1 м3 составляет 1 дм3?

3.Сравните объемы:

а) 32 дм3 … 325 см3; б) 17 м3 … 10 м3 70 дм3.

4.Для вычисления объемов геометрических тел используют формулы. Установите соответствие между геометрическими теламииформулами,покоторымвычисляютихобъемы;объясните,что обозначаютсимволы,которыеиспользованывэтихформулах.

107

5.Докажите, что объем куба можно вычислить по формуле V= а3, где а— длина ребра куба. Используя эту формулу, найдите объем куба с ребром, длина которого 3 см. Какова площадь поверхности такого куба?

6.На сколько увеличится объем куба с ребром 8 см, если его ребро увеличить на 2 см?

7.Измерения прямоугольного параллелепипеда 6 см, 8 см и 10 см. Вычислите его объем и площадь поверхности.

8.Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат­ . Высоту параллелепипеда увеличили в 9 раз. Как надо изменить сторону квадрата, чтобы объем параллелепипеда остался прежним?

9.Найдите объем правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 4 см, а высота — 6 см.

10.Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона которой равна 2 см, а боковое ребро — 5 см.

11.Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы его объем увеличился в 6 раз?

12.Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, неменяяеговысоту,чтобыобъемувеличилсяв5раз?

13.Длина образующей конуса равна 8 см, а радиус окружности основания — 3 см. Найдите объем конуса.

14.Найдите площадь поверхности и объем шара радиуса, равного 4 см.

15.Какой диаметр имеет шар, численное значение объема которого совпадает с численным значением его поверхности?

18.4. Задания для самоконтроля

Изучивтему«Геометрическиевеличины» студентдолженпонимать, что длина, площадь, объем — положительные величины, которые характеризуются одинаковыми свойствами, но заданы

108

они на разных классах фигур: длина — на множестве отрезков, площадь — на множестве плоских фигур; объем — на множестве геометрических тел.

Студент должен уметь:

•решать задачи, связанные с измерением длин отрезков и построением отрезков заданной длины;

•решать несложные задачи, связанные с вычислением площадей геометрических фигур, используя их свойства и формулы­ ;

•решатьнесложныезадачи,связанныесвычислениемобъемов геометрическихтел,используяихсвойстваиформулы;

•решать любые задачи из учебников математики для начальных классов, связанные с понятиями длины, площади и объема.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.На отрезке КМ взяты точки Н и Р так, что точка Р лежит между точками К и Н. Найдите длину отрезка КМ, если длина отрезка РН равна 7 см, длина отрезка КР на 4 см меньше длины отрезка РН, а длина отрезка НМ в два раза больше длины отрезка КН.

2.ДлинаотрезкаАВравна8см.ТочкаСлежитнапрямойАВ, причем АС = 3СВ. Найдите длину отрезка АС (рассмотрите все случаи).

3.На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, они заняли отрезок длины l. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длины L. Во сколько раз Lбольше l?

4.АВСD—квадрат,точкиK,L,M,N—серединысторонАD, ВА, СВ, DС соответственно. Какую часть от площади квадрата составляют площади таких фигур:

а) КСD; б) КВСD; в) АМD; г) KLMN.

5.Докажите,чтодиагональпараллелограммаделитегонадва равновеликих треугольника.

109

6.На стороне СD параллелограмма АВСD взята произвольная точкаЕ.Зная,чтоплощадь треугольникаАВЕравнаS, найдите площадь параллелограмма АВСD.

7.Трапеция своими диагоналями разделена на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

8.Длина прямоугольника на 6 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 48 см.

9.Среди нижеприведенных утверждений найдите ложное.

а) За единицу объема принимается объем куба, длина ребра которого равна единице длины.

б) Тела, имеющие равные объемы, равны. в) Объем куба равен кубу его ребра.

г) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

10.Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 19 см2.

11.Прямоугольный параллелепипед имеет длину 1 250 см, ширину 720 см, высоту 80 см. Его разрезали на кубы объемом 1 дм3 и разместили их в один ряд, поставив вплотную друг к другу. Какой длины получился ряд?

12.Площадь полной поверхности куба равна 150 см2. Найдите объем куба.

13.Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3 см, и диаметром основания — 6 см.

14.Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющей диаметр основания 1 м

ивысоту 2 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски?

15.Проектная задача: «Понятие площади геометрической фигуры в начальном курсе математики».

110