Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

14.3.Способы нахождения наименьшего общего кратного

инаибольшего общего делителя

1. Найдите все общие делители чисел:

а) 18 и 60; б) 72, 96 и 100; в) 35 и 88.

2.Если у двух натуральных чисел общим делителем является только число 1, то их называют взаимно простыми.

Установите, какие из следующих высказываний истинные: а) Два четных числа являются взаимно простыми.

б) Четное и нечетное числа всегда взаимно простые.

в) Простое и составное числа могут быть взаимно простыми. г)Последовательныенатуральныечиславсегдавзаимнопростые. д)Еслидвачислааиb взаимнопростые,точислааиb простые. е) Если числа а и b простые, то они взаимно простые.

3.Имеетсяпризнакделимостиначисла,которыеможнопредставить в виде произведения двух взаимно простых чисел. Сформулируйте его и ответьте на следующие вопросы:

а) Какие из чисел: 559 782, 4 389 765, 21 112 221, 666 444, 875 745 кратны 3 и 5, а какие кратны 9 и 2?

б) Какие цифры можно поставить вместо *, чтобы число де-

лилось на 6: 241*, 43*6.

4.Запишитенаибольшеечетырехзначноечисло,котороеделится:

6.Найдите все делители каждого из чисел 30, 64, 390. Сколько среди них простых делителей?

7.Не пользуясь таблицей простых чисел, определите, какие из чисел 509, 387, 557, 187, 273, 153 являются простыми.

41

8.Разложите на простые множители:

а) 875, 2376, 5 625; б) 2 025, 3 969, 13 125.

9.Найдите наибольший общий делитель чисел a и b, если:

а) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 и b = 2 · 3 · 3 · 11; б) a = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 13 и b = 2 · 5 · 3 · 13; в) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 13 и b = 7 · 3 · 11; г) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 и b =17 · 13 · 11.

10.Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b, если:

а) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 и b = 2 · 3 · 11;

б) a = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 13 и b = 2 · 5 · 3 · 13; в) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11 и b = 7 · 3 · 11; г) a = 2 · 3 · 5 · 17 и b = 17 · 13 · 11.

11.Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное данных чисел, представив их в каноническом виде:

а) 252 и 378; б) 130 и 195; в) 198 и 600; г) 135 и 25.

12.Найдите K(a, b), если известно, что:

а) a = 27, b = 11, D(27, 11) = 1; б) a = 54, b = 198, D(54, 198) = 18; в) a = 17, b = 153, D(17, 153) = 17.

13.Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель:

16.Для поездки за город было заказано несколько автобусов

содинаковымчисломмествкаждомавтобусе.376человекпоехали в лес, а 423 — на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было заказано и сколько человек было в каждом автобусе?

17.Теплоход «Александр Радищев» выполняет свой рейс за 3 дня, теплоход «Сергей Кучкин» — за 8 дней, теплоход «Ниж-

42

ний Новгород» — за 14 дней. Сегодня эти теплоходы вышли из порта. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту?

18. В магазин привезли тетради. Если их разложить в пачки по 15 штук или по 20 штук, то ни одной лишней тетради не останется. Сколько тетрадей привезли в магазин, если их было больше 800, но меньше 900 штук.

14.4. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Делимость натуральных чисел», студент должен уметь:

•используяопределениеделимости,находитьделителичисла;

•использовать признаки делимости при решении вычислительных задач;

•представлять число в каноническом виде;

•находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное различными способами;

•использовать полученные знания в начальном курсе математики.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1. Запишите в общем виде число, кратное числу:

а) 4; б) 7; в) 11.

2.Запишите в символическом виде свойства отношения делимости и докажите их.

3.Докажите, что n2 + n + 1 является нечетным числом при любом n.

4.Используя цифры 1, 3, 5 только один раз составьте все возможные трехзначные числа, которые делятся: а) на 3; б) на 5.

5.Верно ли, что:

а) Всякое число, которое делится на 10, делится на 5. б) Если число делится на 8, то оно делится на 4.

в) Если каждое слагаемое суммы не делится на некоторое число, то сумма не делится на это число.

43

г) Если число, образованное последними двумя цифрами десятичнойзаписичисла,делитсяна8,тоданноечислоделитсяна8.

6.Невыполняявычислений,средивыраженийнайдитете,которые делятся на 12 или на 18, или на 15, или на 36.

а) 89 · (324 + 312); б) 96 · 58 · 21; в) 102 · (246 + 726); г) 51 · 25 · 121.

7.Среди следующих пар чисел найдите взаимно простые:

а) 248 и 456; б) 5 897 и 5 898; в) 3 582 и 5 283; г) 407 и 663.

8.Найдитенаибольшийобщийделительинаименьшееобщее кратное данных чисел, представив их в каноническом виде:

10.Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить новыми, поставив их нарасстоянии60мдруготдруга.НайдитерасстояниеотпунктаА до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

11.Наименьшее общее кратное двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 90, а наибольший общий делитель их — 6. Найдите эти числа.

12.Проектная задача: «Делимость натуральных чисел в на-

чальном курсе математики».

I. Приведите примеры заданий из учебников математики дляначальнойшколы,привыполнениикоторыхучащиесянеявно используют понятие о делимости натуральных чисел.

II. Найдите учебники математики для начальной школы, в которых рассматриваются признаки делимости на 2, 5 и др.

III. Придумайте примеры заданий для учащихся начальной школы, выполнение которых предполагает использование делимости натуральных чисел.

44

Глава 15. РАСШИРЕНИЕ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

15.1. Арифметические действия над обыкновенными дробями

1. Длина отрезка х при единичном отрезке е выражается

Найдите рациональное число с такое, что a < c < b. Обоснуйте утверждение,чтотакоерациональное свсегдасуществует.

7. Запишите: а) все неправильные дроби с числителем 6; б) все правильные дроби со знаменателем 7; в) число 2 в виде дробей со знаменателями 3; 5; 6.

8. Среди дробей

3/4, 1/15, 4/9, 161/162, 8/7, 7/16, 21/37

найдите те, которые: а) больше 1/2; б) меньше 1/3.

9. Младшим школьникам дана задача: «Отрезок АВ имеет длину 12 см. Начерти: а) 1/3 этого отрезка; б) 1/6 этого отрезка». Обоснуйте,что:а)длиныискомыхотрезковвыражаютсясоответственно дробями 12/3 и 12/6 при единичном отрезке, равном одному сантиметру; б) черта дроби есть знак операции деления.

45

10.Часы отстают на 3/4 секунды в час. На сколько они отстанут в течение суток?

11.Камень, брошенный в колодец, пролетает в первую секун-

ду 49/10 метра, а в каждую следующую секунду на 49/5 метра больше, чем в предыдущую. Какова глубина колодца, если брошенный камень коснулся воды в колодце через 3 секунды?

12.Какаяиздвухопераций,вычитаниеилиделение,выполнима всегда во множестве рациональных чисел, а какая — не всегда? Ответ обоснуйте.

13.Запишитенесколькодробей,равныхдроби6/2.Скакимнатуральным числом можно отождествить рациональное число, определяемоеданнымклассомэквивалентности?Ответобоснуйте.

14.Докажите, что операция сложения натуральных чисел, рассматриваемых как рациональные, совпадает со сложением их во множестве натуральных чисел.

15.Учащимся 4-го класса предлагаются задачи: а) на нахождение дроби от числа: «Длина прямоугольника 8 см, а ширина 4 см.

Найди 3/8 площади этого прямоугольника»; б) на нахождение числа по его дроби: «Найди площадь прямоугольника, если известно,

что 1/5 его часть составляет 8 квадратных сантиметров»; в) на нахождение части одного числа от другого: «Скорость велосипедиста 15км/ч,аскоростьпешехода5км/ч.Какуючастьскоростьпешехода составляетотскоростивелосипедиста?».

Постройте рассуждение, которое приводит к построению плана решения каждой из этих задач.

16.Решите задачи арифметическим методом.

а) С автостанции автобус выехал в 8 часов утра и ехал 3 часа со скоростью 60 км/ч. За это время было пройдено 3/4 всего пути до места прибытия. С какой скоростью автобусу надо проехать оставшуюся часть пути, если по расписанию он должен прибыть в конечный пункт в час дня?

б) Расстояние от лыжной базы до станции 18 км. Лыжник прошел 2/3 этого расстояния со скоростью 200 м/мин. Сколько часов шел лыжник? Сможет ли он пройти оставшееся расстояние за полчаса, если будет двигаться с такой же скоростью?

46

17.У мальчика спросили: «Какова масса пойманной тобой рыбы?». Он ответил: «Три четверти килограмма и еще три четверти своей массы». Найдите массу рыбы.

18.Решитеарифметическимметодом:«Туристпрошелвпервый день 10/31 всего пути, во второй 9/10 того, что прошел в первый день,

ав третий день он прошел на 12 км больше, чем во второй день. Сколькокилометровпрошелтуриствкаждыйизтрехдней?»

19.По данным диаграммы «Режим дня четвероклассника» (см. рис. 15.1) ответьте на вопросы, какая часть суток отводится у четвероклассника: а) на сон; б) на занятия в школе; в) на выполнение домашних заданий.

Рис. 15.1

15.2. Арифметические действия над десятичными дробями

1.На числовом луче отметьте точки, соответствующие чис-

лам: 0,2; 0,5; 1,3; 1,7; 2.

2.Следующие числа запишите без знаменателя:

21/100; 7/10000; 101/ 10000000; 4050/1000; 10256/ 1000.

47

3. Числа

0,4; 2,0021; 4,5342; 43,173

запишите в виде суммы по данному образцу:

457, 238 = 4 · 100 + 5 · 10 + 7 + 2/10 + 3/100 + 8/100.

4. Решите задачу арифметическим методом: «В городской математической олимпиаде 35 % участников первого тура было допущено во второй тур, а 2/9 участников второго тура было отмеченопремиямиипохвальнымиграмотами.Первуюпремиюполучил 1 человек, вторую премию — 2 человека, третью премию — 5 человек и 20 человек получили похвальные грамоты. Сколько человек участвовало в первом туре?

5.Непроизводяделения,установите,какиеизследующихчисел можно представить в виде конечной десятичной дроби:

а) Расстояния, которые пролетели два самолета, относятся между собой как 3/4 : 5/6. Второй самолет пролетел на 120 км больше первого. Каковы скорости самолетов, если первый самолет 45% своего пути пролетел за 1 час 20 минут, а второй 55% своего пути пролетел за 1 час 48 минут?

б) Пешеход должен был пройти некоторое расстояние, чтобы прибытьнаместокназначенномусроку.Пройдя6кмза2часа,он рассчитал, что опоздает на 1/3 часа, если пойдет и дальше с той же скоростью. Увеличив свою скорость на 1/2 км/ч, пешеход прибыл к месту назначения на 2/3 часа раньше срока. Какое расстояние должен был пройти пешеход?

в) Автобус проходит расстояние между конечными стан­ циями своего маршрута за 1,5 часа. Если его скорость увеличить на 5 км/ч, то это же расстояние он пройдет на 15 минут скорее. Каково расстояние между конечными станциями маршрута?

48

15.3. Множество действительных чисел

1.Известно, что любое рациональное число можно записать

ввиде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Используя это утверждение, установите, какие из дробей

3. Иррациональное число — это бесконечная десятичная

непериодическая дробь. Можно ли ее получить при измерении длины отрезка? А при делении натурального числа на натуральное?

4. Постройте отрезок, численное значение длины которого равно:

а) √2; б) √5.

5. Множество действительных чисел R — это множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. Используя это определение, ответьте на следующие вопросы.

а) Содержатся ли в множестве R отрицательные рациональные и иррациональные числа?

б) Содержится ли в множестве R число нуль?

в) В виде какой десятичной дроби можно записать число:

13/8, 3/7, 5?

6. Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой; каждая точка координатной прямой имеет координату — действительное число. Другими словами, координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел (поэтому для координатной прямой часто используют термин «числовая прямая»).

Изобразите на координатной прямой точки, которым соответствуют действительные числа:

–3,5; 2,2; 0,6; 0,(3); –1,4.

49

7. Изучите следующую таблицу числовых промежутков:

Используя данную таблицу, постройте геометрическую и алгебраическую модель множества А, если:

а) А = (–2, 5) б) А = [3, ∞) в) А = (– ∞, –6) г) А = (2, ∞) д) А = [–7, 0]

8. Для действительных чисел а, b, с выполняются коммутативные и ассоциативные законы сложения и умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Запишите их, используя символы, и объясните, какие преобразования выражений можно выполнять на их основе.

50