Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV
.pdf7.НачертитеотрезокАВ.СцентрамивточкахА иВпостройте окружности равных радиусов так, чтобы они пересекались
вдвух точках. Соедините отрезками эти точки с точками А и В. Какая фигура получилась?
8.Постройте окружность, радиус которой 2 см, и отметьте на ней точку М. Проведите из этой точки хорду, равную: а) 1 см; б) 2 см; в) 4 см. Можно ли провести хорду, равную 5 см?
9.Начертите отрезок АВ = 25 мм и найдите точку, удаленную от обоих его концов на 18 мм. Сколько существует таких точек? Можете ли вы найти точку, удаленную от обоих концов отрезка на 10 мм?
10.Каково свойство всех хорд окружности, которые ее диаметром делятся пополам?
11.Угол между радиусами ОА и ОВ окружности радиуса r равен60°.КакойбудетприэтомдлинахордыАВ?
12.Угол между радиусами ОА и ОВ окружности радиуса 4 см равен 90°. Определите длину хорды АВ и расстояние от центра окружности.
13.НаокружностиотложеныравныедугиNMиМК.Выясните, какиеизнижеприведенныхутвержденийвытекаютизэтогоусловия:
а) хорды NM и МК равны;
б) диаметр МР является биссектрисой угла NMК; в) диаметр МР перпендикулярен хорде NК;
г) четырехугольник NMКР — ромб.
14.Из точки, лежащей вне окружности, проведены к ней две касательные, образующие угол 60°. Определите вид треугольника, вершины которого совпадают с данной точкой и точками касания.
15.Касательные, проведенные из точки М к окружности радиуса r, перпендикулярны. Какую длину имеют отрезки этих касательных, концами которых является точка М и точки ка сания?
16.Постройте окружность, которая касается сторон данного острого угла АОС, причем одной из них в данной точке М.
81
17.Как найти центр окружности, используя только чертежный треугольник?
18.Постройте правильный четырехугольник:
а) вписанный в заданную окружность; б) описанный около нее.
19.Найдите радиусы вписанной в него и описанной около квадрата окружности, если:
а) сторона квадрата 4 см; б) диагональ квадрата 4 см.
20.Постройте треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 7 см и опишите около него окружность.
21.Постройтеравнобедренныйтреугольникивпишитевнего окружность.
22.Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если его катеты равны:
а) 40 см и 30 см; б) 20 см и 21 см.
23. В учебнике для начальной школы понятия окружности, круга и их элементов вводятся с помощью рисунка (см. рис. 16.9) и текста: «На рисунке изображен круг. Окружность — граница круга. Точка О — центр окружности и круга. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой, — радиус окружности. Радиусы окружности равны».
Рис. 16.9
82
а) С какими понятиями происходит ознакомление детей с помощью данного текста? Каков способ их определения?
б) С какими свойствами этих понятий происходит ознакомление?
в) Какова логическая структура утверждения: «Радиусы окружности равны»? Надо ли убеждаться в его истинности?
24. Изучая математику, младшие школьники могут познакомиться с понятием диаметра. Происходит это следующим образом. Детям предлагается рассмотреть чертежи (см. рис. 16.10). Далее идет текст: «На каждом из них (имеются в виду чертежи) проведены отрезки, соединяющие две точки окружности и проходящие через ее центр. Каждый из таких отрезков называется диаметром окружности. В окружности все диаметры равны и делятся центром окружности пополам».
Рис. 16.10
83
а)Какойспособопределенияпонятия«диаметр»использован в данном случае?
б) На какие свойства диаметра окружности вы (как учитель) обратите внимание детей?
в) Как следует рассматривать последнее предложение в приведенном выше тексте: это высказывание или высказывательная форма? Какова его логическая структура?
16.7. Построение геометрических фигур
1.Одной из задач геометрии является построение фигур с заданными свойствами с помощью циркуля и линейки.
Назовите фигуры, которые разрешается строить с помощью: а) циркуля; б) линейки.
2.Решитьзадачунапостроениефигурысзаданнымисвойствами — это значит указать способ построения этой фигуры, пост роить ееи доказать,чтопостроеннаяфигураобладаеттребуемыми свойствами.
Используя это пояснение, решите следующие задачи с по мощью циркуля и линейки.
а) Начертите отрезок MN. Как надо действовать, чтобы пост роить отрезок КР, равный отрезку MN? Постройте отрезок КР, равный отрезку MN.
б) Начертите угол АВС. Как надо действовать, чтобы пост роить угол МКР, равный данному? Постройте угол МКР, равный углу АВС. Надо ли доказывать, что построенный угол равен данному?
в) Начертите отрезок MN и разделите его пополам. г) Начертите угол АВС и постройте его биссектрису.
д) Начертите прямую а и отметьте на ней точку М. Постройте прямую р, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а. Как построить прямую р, перпендикулярную прямой а, при условии, что точка М не лежит на прямой а?
84
е) Начертите прямую а и отметьте точку М вне этой прямой. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы она проходила через точку М.
3. Решение задач на построение, как правило, включает 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Решите следующие задачи, соблюдая названные этапы.
а) Постройте с помощью циркуля и линейки прямой угол так, чтобы одной из его сторон был луч АВ, а точка М принадлежала бы этому углу (см. рис. 16.11).
Рис. 16.11
б) Постройте с помощью циркуля и линейки прямой угол так, чтобы одной из его сторон был луч СD, а точка Р была вне этого угла (см. рис. 16.12).
Рис. 16.12
85
в) Постройте угол и его биссектрису.
г) Начертите тупой угол МНК и внутри его постройте луч НР так, чтобы угол МНР был прямым углом.
д) Постройте прямоугольник по стороне и диагонали.
4.Прямоугольник начертили мелом на доске, а потом стерли. Сможете ли вы восстановить его, если от него остались сторона и середина противолежащей стороны?
5.Восстановите квадрат по оставшимся от него вершине и точке пересечения диагоналей.
6.Начертите произвольный треугольник АВС. С помощью циркуля и линейки постройте прямую m, параллельную стороне ВС и проходящуючерезА.
7.ДанытриточкиА,К,М,нележащиенаоднойпрямой.Сколько параллелограммов с вершинами в этих точках можно построить, чтобыотрезокАМбылего:а)стороной;б)диагональю?
8.Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку окружности.
9.Постройте окружность, которая касается сторон данного острого угла АОС, причем одной из них в данной точке М.
10.Постройте при помощи циркуля и линейки:
а) квадрат, симметричный данному относительно данной оси (сторона квадрата не параллельна оси);
б)трапецию,симметричнуюданнойотносительноданнойоси.
11.Задайте поворот, указав центр поворота О, угол поворота a и направление поворота. Постройте луч АВ и найдите его образ при заданном повороте.
12.Постройте тупоугольный треугольник АВС и вне него отметьте точку О. Постройте треугольник, симметричный этому треугольнику относительно точки О.
13.Начертите прямоугольный треугольник АВС (В — вершина прямого угла) и постройте треугольник, симметричный ему относительно точки В.
14.Постройте окружность произвольного радиуса и впишите
внее правильный:
а) шестиугольник; б) треугольник; в) четырехугольник.
86
16.8. Задания для самоконтроля
Изучив тему «Свойства геометрических фигур на плоскости», студент должен уметь:
•анализировать логическую структуру определений понятий геометрических фигур: отрезка, луча, треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, окружности и круга;
•применять определения геометрических понятий к решению задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия;
•устанавливать родовидовые отношения между геометрическими понятиями;
•различать свойства и признаки геометрических объектов;
•решать задачи на доказательство и вычисления, используя свойства геометрических фигур;
•распознаватьспособопределенияпонятий,изучаемыхвначальном курсе математики;
•анализировать логическую структуру свойств геометрических фигур, изучаемых в начальном курсе математики.
Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.
1.Постройте отрезок АВ. Продолжите его за точку В. Точку,
вкоторой вы остановились, назовите С. Сколько отрезков получилось? Продолжите теперь отрезок АВ за точку А. Точку, в которой вы остановились, назовите D. Сколько отрезков на рисунке теперь?Проверьтеполученныйответ,решивзадачусиспользованием правил комбинаторики.
2.Точки А, В, С, D лежат на одной прямой; АВ = 5 см, АС = 6 см, АD = 8 см. Найдите длины отрезков ВС, ВD и СD (рассмотрите все возможные варианты).
3.Какая фигура получится в пересечении лучей АВ и ВА?
Акакие — в их объединении?
4.Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий концы высот, проведенных из вершин основания, параллелен основанию.
87
5.В прямоугольнике АВСD проведены биссектрисы углов А
иС, которые пересекают стороны ВС и АD соответственно в точках М и N. Определите вид четырехугольника АМСN.
6.Какие знания о прямоугольнике и квадрате необходимы учащимся, чтобы выполнить задание: «Проверь, что на рисунке 16.13 изображеныпрямоугольники,ичтоодинизних—квадрат»?
Рис. 16.13
7. В одном из учебников математики для начальных классов ознакомление детей с понятием диагонали четырехугольника и свойствомдиагоналейпрямоугольникапроисходитследующимобразом.
На рисунке (см. рис. 16.14) изображен четырехугольник МКОР, в нем проведены диагонали. Рядом текст: «В четырехугольнике МКОРотрезкиМОиКР—диагонали.Начертилюбойпрямоуголь- ник, проведи диагонали и убедись, что диагонали прямоугольника равны».
а) Каким образом определено понятие диагонали четырехугольника?
б) На какие свойства диагонали четырехугольника необходимо обратить внимание детей? Почему?
в) Какова логическая структура утверждения: «Диагонали прямоугольника равны»?
г) Как дети могут убедиться в истинности этого утверждения? Являются ли используемые ими способы доказательством данного утверждения?
88
Рис. 16.14
8.Периметртрапецииравен40мм,меньшееоснование—10мм. Через конец меньшего основания проведена прямая, параллельная боковойстороне.Найдитепериметрполученноготреугольника.
9.В окружность вписан прямоугольник со сторонами 15 см и 20 см. Каков радиус этой окружности?
10.Проектная задача: «Геометрические фигуры и их свой-
ства в начальном курсе математики».
I. Установите, какие геометрические фигуры на плоскости и их свойства изучают в начальном курсе математики.
II. Выясните, как определяют геометрические понятия в начальном курсе математики.
III.Установите,каквначальномкурсематематикирешаютзадачи на распознавание геометрических фигур в случае, если:
а) в учебнике нет определения геометрической фигуры через род и видовое отличие;
б)вучебникеестьопределениегеометрическойфигурычерез род и видовое отличие.
IV. Доказывают ли в начальном курсе математики свойства изучаемых геометрических фигур?
89
Глава 17. МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
17.1. Виды многогранников и их основные свойства
1. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников — соответственно,
ребрами и вершинами многогранника.
Среди многогранников различают призмы и пирамиды. Используя приведенные понятия, выполните следующие за-
дания.
а) Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1 (см. рис. 17.1). Назовите все его грани. Какие это многоугольники? Сколькореберимеетданныйпараллелепипед?Скольковершин?
Рис. 17.1
б)Изобразитепрямоугольныйпараллелепипедналистебумаги и проведите все его диагонали.
в) Дан тетраэдр SABC (см. рис. 17.2). Назовите все его грани. Какие это многоугольники? Сколько ребер имеет данный тетраэдр?Скольковершин?
г) Изобразите тетраэдр налистебумаги.Можнолипост роить его диагонали?
2. Призмой называют многогранник, у которого две грани — равные многоугольники
90