Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

4.Начертите развернутый угол АОВ и внутри него проведите два луча ОС и ОD. Запишите множество получившихся углов.

5.Начертите угол с вершиной А. Из точки А внутри угла проведены: а) один луч; б) два луча; в) три луча. Сколько углов получится в каждом из этих случаев? Сколько углов получится, если из точки А внутри заданного угла провести n лучей?

6.Начертите тупой угол АВС и отметьте четыре точки D, E, F, K так, чтобы точки D и Е принадлежали углу АВС, а F и K ему не принадлежали.

7.Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) угол и луч; б) угол и геометрическая фигура; в) угол

иразвернутый угол?

8.В таблице 3 даны определения смежных и вертикальных углов, сформулируйте их свойства.

61

а) Проанализируйте логическую структуру определений смежныхивертикальныхуглов.Какоепонятиеявляетсявнихродовым? Какие свойства составляют видовое отличие?

б) Можно ли два угла назвать смежными, если известно, что: 1) они составляют в сумме развернутый угол; 2) они имеют общую сторону;3)ихсуммаравна180°,аоднасторонаунихобщая?

в) Можно ли два угла назвать вертикальными, если известно, что: 1) они равны; 2) они имеют общую вершину?

9.В теореме «Сумма смежных углов равна 180°» ученик выделилусловиеизаключение.Условие:суммаугловравна180°,заклю- чение:такиеуглы—смежные.Вернолиучениквыполнилзадание?

10.ВнутринеразвернутогоуглаАвзятаточкаО,изкоторойпроведеныперпендикулярыОВиОСксторонамугла, АОВ= АОС. Докажите,чтолучАО—биссектриса А.

11.Угол АВС является частью угла АВD, равного 120°. Найдите величину угла АВС, если он в 3 раза меньше угла СВD.

12.Одинизсмежныхугловувеличился на 35°.Какизменился второй угол?

13.Одинизсмежныхугловувеличилсяв3раза.Какизменился второй угол?

14.Биссектриса угла обладает рядом свойств. Среди них есть следующие:

1)биссектриса делит угол пополам;

2)биссектриса угла есть луч;

3) биссектриса угла есть луч, начало которого совпадает

свершиной угла;

4)все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Какие из этих свойств следует включить в определение биссектрисы угла, а какие затем вывести как следствие?

15.Развернутый угол разделили на четыре равные части и провели биссектрису угла первой части и биссектрису угла четвертойчасти.Каковавеличинаугламеждуэтимибиссектрисами?

16.Постройтеприпомощитранспортираугол120°.Извершины угла проведите луч так, чтобы один из образовавшихся углов был

62

в2 раза больше второго. Можно ли решить эту задачу без использо- ваниятранспортира—припомощициркуляилинейки?

17.Постройтеприпомощитранспортираугол100°.Извершины угла проведите луч так, чтобы один из образовавшихся углов был

в3разабольшевторого.Можнолирешитьэтузадачутолькоприпомощициркуляилинейкиприусловии,чтоугол100°построен?

18.Построены биссектрисы смежных углов. Какими были смежные углы, если на чертеже образовались три прямых угла и четыре равных?

16.3. Параллельные и перпендикулярные прямые

1.В чем отличие между нижеприведенными определениями перпендикулярных прямых.

а) Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

б) Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

2.Докажите, что из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Указание. Доказательство можно провести методом от противного.

3.Вспомнитеопределениесерединногоперпендикуляраотрезка и, используя его, установите, на каком рисунке (см. рис. 16.3 а, б, в) прямаярявляетсясерединнымперпендикуляромотрезкаАВ.

4.Докажите, что каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от его концов. Верно ли утверждение, обратное данному?

5.Докажите, что если биссектрисы углов АОК и КОР перпендикулярны, то точки А, О, Р лежат на одной прямой.

6.Даны пересекающиеся прямые а и b и точка, не лежащая на этих прямых. Через данную точку проведены прямые k и p так, что а k и b p. Могут ли прямые k и p совпадать?

63

зовавшиеся углы и укажите пары внутренних накрест лежащих, внутренних односторонних углов, соответственных углов.

10.Сформулируйтепризнакипараллельныхпрямых,соответствующие свойствам параллельности прямых.

11.Угол АВС равен 80°, а угол ВСD — 120°. Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объясните.

12.Угол АВС равен 80°, а угол ВСD — 100°. Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объясните.

13.Накрест лежащие углы при двух прямых а и b и секущей с равны α и 180° – α. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

14.Односторонние углы при прямых а и b и секущей с равны α и 180° – α. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

15.ПрямыеАВиСDпараллельны.УголАВСравен80°.Чему равен угол ВСD?

16.Прямые АВ и СD параллельны. Угол АВС равен α. Чему равен угол ВСD?

17.Отрезки АВ и СD пересекаются в их середине Е. Докажите, что ВС и АD параллельны. Каким признаком параллельности прямых вы воспользовались?

18.ОтрезокВА—биссектрисауглаВСD.ИзточкиАпроведена прямая, пересекающая сторону ВD в точке Р так, что АР = РВ. Докажите,чтоотрезокАРпараллеленотрезкуВС.

19.Отрезок DМ — биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне СD и пересекающая сторону DЕ в точке N. Найдите углы треугольника DМN, если угол СDЕ равен 68°.

20.Припересечениидвухпараллельныхпрямыхтретьейпрямой разность двух внутренних односторонних углов равна 48°. Найдите эти углы.

21.При пересечении двух параллельных прямых третьей один из внутренних односторонних углов в 2 раза больше другого. Чему равны эти углы?

65

16.4. Треугольники и их свойства

1.В школьных учебниках математики можно встретить разные определения понятия «треугольник».

1) Треугольник — это многоугольник с тремя углами.

2) Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами.

3) Треугольник — это фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений

отреугольнике?

2.Нарисуйте фигуру, которая состоит из трех отрезков, но не является треугольником.

3.Существуетлитреугольниксосторонами:5см,4сми9см?

Атреугольник со сторонами 5 см, 4 см и 10 см?

4.Может ли сторона треугольника быть меньше разности двух других его сторон? Ответ обоснуйте.

5.Нижеприведеннаятаблица4иллюстрируетклассификацию треугольников по двум основаниям: углам и сторонам.

Прямо­ угольные

66

Тупо­ угольные

Охарактеризуйте каждый класс треугольников и ответьте на следующие вопросы:

а) Почему не заполнены две графы таблицы?

б) Могут ли быть тупыми углы при основании равнобедренного треугольника?

в) Верно ли, что любой равнобедренный треугольник является остроугольным?

6. Каков вид треугольника, если:

а) один из его углов больше суммы двух других углов; б) сумма любых его двух углов больше 90°?

7.Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:

а) Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

б) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

в) Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данныхсторон,параллельнатретьейсторонеиравнаееполовине.

8.Существует ли равнобедренный треугольник с катетом, равным 5 см, и гипотенузой — 12 см? Постройте умозаключение, обосновывающее ваш ответ. Какое утверждение выступает в нем

вкачестве общей посылки?

9.На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки О

иЕ, причем точка О является серединой отрезка АВ, АЕ = 12 см, ОЕ = 1 см. Может ли длина отрезка АВ быть равной 27 см?

10.Можно ли из проволоки длиной 12 см согнуть равнобедренный треугольник с боковой стороной в 3 см?

67

11.В треугольнике АВС угол А равен 45°, а угол С равен 70°. Какая сторона больше: АВ или АС? Постройте умозаключение, обосновывающее ваш ответ. Какое утверждение будет являться

внем общей посылкой?

12.Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма двух меньших углов равна большему углу. Сформулируйте утверждение, обратное данному. Истинно ли оно?

13.В треугольнике KLM один угол равен 55°. В равном ему треугольнике есть угол, равный 48°. Найдите два других угла треугольника KLM. Каким определением и теоремой вы воспользовались, решая данную задачу?

14. В треугольнике первый угол на 30° больше второго, а третий угол на 21° меньше первого. Найдите величину углов треугольника.

15.Первый угол треугольника на 30° меньше второго и на 30° больше третьего. Является ли этот треугольник прямоугольным?

16.Решите задачи арифметическим методом. Объясните, почему каждая из них имеет только одно решение.

а) Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника.

б) Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника 77 см, а одна из его сторон меньше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

17.Есть ли логические ошибки в следующих определениях средней линии треугольника:

а) Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющие середины двух его сторон.

б) Средняя линия треугольника — это прямая, проходящая через середины двух его сторон.

в) Средняя линия треугольника — это когда соединены середины двух его сторон.

18.Накакомизнижеприведенныхрисунков(см.рис.16.4)отрезок МК является средней линией треугольника?

68

Рис. 16.4

19.Вспомните свойство средней линии треугольника и, используя его, решите следующие задачи:

а)В треугольнике проведены все его средниелинии. Во сколько раз периметр данного треугольника больше периметра треугольника,образованногосреднимилиниями?

б) Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см, а вершины его — середины сторон другого треугольника. Найдите периметр большего треугольника.

20.Какие два треугольника называются равными? Известно, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны. Сформулируйте утверждение, обратное данному. Верно ли оно?

21.Вспомните признаки равенства треугольников и, используя их, решите следующие задачи:

а) Два отрезка АВ и СD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АСD и ВDС.

б) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. Докажите равенствотреугольниковАСОиDВО,еслиизвестно,что АСО= DВО.

22.Используя теорему Пифагора, решите следующие задачи: а) Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон

на расстояния, равные а и b. На каком расстоянии находится эта точка от вершины угла?

б) Диагональ квадрата равна d. Как выразить через d длину его стороны?

69

16.5. Четырехугольники и их свойства

1.Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Как узнать, какой четырехугольник выпуклый, а какой невыпуклый?

2.На рисунке 16.5 изображены различные четырехугольники. Разбейте это множество на подмножества выпуклых и невыпуклых четырехугольников.

Рис. 16.5

3. Докажите, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Указание. Воспользуйтесь рисунком 16.6.

Рис. 16.6

70