Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

9. Считают, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а – b — положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (a < b).

Используя данное определение, решите следующую задачу. На координатной прямой отмечены числа а, b, с.

Из следующих утверждений выберите верное.

1) а – с > 0; 2) с – а < 0; 3) а – b < 0; 4) b – с > 0.

10.Отметьте на координатной прямой такие точки А, В, С, чтоАсоответствуетчисло1,7;точкаВлежитлевееточкиАна1,3,

аточка С находится правее точки В на 0,4. Какие числа соответствуют точкам В и С?

15.4.Задания для самоконтроля

Изучив тему «Расширение множества натуральных чисел», студент должен уметь:

•выполнять арифметические действия над обыкновенными

идесятичными дробями;

•применять свойства арифметических действий для рационализации вычислений с дробями;

•сравнивать рациональные числа;

•изображатьчисловыепромежуткинакоординатнойпрямой;

•применять знания и умения по теме для анализа материала учебников математики для начальной школы.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Выполните действия:

а) (–11/4) · (–25) · 4/5 – (–36) : 3/4; б) 51/4 · (–22/7) + (–6/7) · 21/3 · 31/4;

в) (1,6 – 21/6 + 41/90) · (–33/5) + 0,25 : (–1,25); г) 4/5 : 0,8 · (–1,25) : (0,64 + (–1/25)).

51

2.Вычислите наиболее рациональным способом:

а) 14,7 · 5,9 + 14,7 · 1,7 – 7,6 · 4,7; б) 5,9 · 47,7 – 5,9 · 5,7 + 4,1 · 42.

3.Вычислите:

а) 3/11 · 11/10 · 9/8 · 7/12 · 8/7 · 10/7 · 7/9;

б) 2/99 + 0,8 + 0,97 : (1 – 0,01).

4. Даны два выражения: 1/2 + 3/4 + 5/6 и 1/2 · 3/4 · 5/6. Значение какого выражения больше?

5. Постройте геометрическую и алгебраическую модели равенства В, если:

а)В=[–3,7); б)В=[–2,∞); в)В=(–∞,4); г)В=[21/2,5). 6. Отметьте на координатной прямой такие точки М, К и Р,

чтобы точке М соответствовало число 1,1; точка К была расположена правее точки М на 0,7, а точка Р — левее точки К на 1,4. Какие числа соответствуют точкам К и Р?

7. Установите, какие из следующих высказываний истинные. Ответ обоснуйте.

а) Во множестве положительных рациональных чисел есть наименьшее число.

б)Иррациональныхчисел,больших1,номеньших√3сущест­ вует бесконечное множество.

в) Любое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой.

г) Все арифметические операции на множестве действительных чисел являются алгебраическими.

8. Проектная задача: «Обыкновенные дроби в начальном курсе математики».

I. Установите, как в учебниках математики для начальных классов определяется понятие обыкновенной дроби, и с какой целью они изучаются.

II. Выясните, каким образом учащиеся могут сравнивать обыкновенные дроби.

III.Можнолипознакомитьмладшихшкольниковсисториейвозникновенияобыкновенныхдробей?Еслиможно,токакимобразом?

52

Часть IV Геометрические фигуры и величины

Глава 16. Свойства геометрических фигур на плоскости

16.1. Прямая, отрезок, луч и их свойства

1. В таблице 1 приведены изображения и обозначения прямой, отрезка и луча, которые используются в геометрии. Для отрезка и луча даны различные определения.

а)Назовитесвойстваотрезка(луча),которыевключенывкаждое из определений. Есть ли совпадения?

б) Какие из этих определений, на ваш взгляд, могут быть основой для формирования у младших школьников представлений об отрезке и луче?

53

54

2.Используясоответствующиесимволы,запишитепредложение: «Точка А принадлежит прямой МК, а точка В на принадлежит прямой а».

3.Вспомните аксиомы, устанавливающие отношения между точками и прямыми. Используя их, решите следующие задачи:

55

а)Могутлидверазличныепрямыеиметьдветочкипересечения? б)ДанычетыреточкиА,В,С,D.Известно,чтоточкиА,В,Слежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой.

Докажите,чтовсечетыреточкилежатнаоднойпрямой.

в) Даны четыре прямые: a, b, c, d. Известно, что прямые а, b, с пересекаются в одной точке и прямые b, c, d также пересекаются воднойточке.Докажите,чтовсечетырепрямыепроходятчерезодну точку.

4.ТочкиА,В,Слежатнаоднойпрямой­ .Сколькосуществуетспособоввзаимного­ расположенияточекА,В,Снапрямой?

5.На рисунке 16.1 изображены три прямые, и на них отмечены точки А, В, С, D, E. Назовите и запишите: а) три отрезка; б) три луча.

Рис. 16.1

6.Постройте прямую, проходящую через данную точку А и пересекающую прямую MN в данной на ней точке В. При любом ли положенииданныхточекиданнойпрямойзадачаимеетрешение?

7.Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два отрезка так, чтобы точка пересечения прямых:

56

а) принадлежала каждому отрезку; б) принадлежала одному из отрезков;

в) не принадлежала ни одному из отрезков.

8.Даны две пересекающиеся прямые и не принадлежащая им точка М. Через точку М проведите прямую:

а) пересекающую две данные прямые. Всегда ли это можно сделать?

б) пересекающую только одну из данных прямых. Всегда ли это можно сделать?

в) не пересекающую ни одну из данных прямых. Всегда ли это можно сделать?

9.Даны прямая и точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок АС, если известно, что отрезок ВС пересекает прямую, а отрезок АВ не пересекает ее? Ответ обоснуйте­ .

10.Сколько точек пересечения могут иметь несовпадающие прямые плоскости, если их число равно: а) 2; б) 3.

11.Даны 5 точек, не лежащих на одной прямой. Сколько отрезков можно построить с концами в этих точках? Изменится ли решение задачи, если 5 точек будут лежать на одной прямой?

12.Отрезки АВ и СD имеют одну общую точку. Отметьте три точки так, чтобы они лежали на прямой АВ, но не принадлежали отрезкам АВ и СD.

13.От точки А отложены на прямой два отрезка: АВ = 2,4 см, АС = 6,8 см. Найдите расстояние между серединами этих отрезков. Сколько решений имеет эта задача?

14.Отрезок EF разделен произвольной точкой на два отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков?

15.На прямой от точки М в одном направлении отложены два отрезка MPи MQ (MQ > МР). Какой отрезок QF нужно отложить от точки Q данной прямой, чтобы отрезки MQ и РF оказались равными?

16.Даны отрезок АВ, точка С, не лежащая на прямой АВ,

иточка О, лежащая на прямой АВ. Каково взаимное расположе-

ние прямой ОС и отрезка АВ на плоскости?

57

17.Отрезок СD продолжили сначала за точку D, а потом за точку С. Сколько получилось лучей?

18.Начертителучиотметьтенанем:а)однуточку;б)дветочки; в) три точки. Сколько различных лучей получится в каждом из данных случаев? Сколько лучей получится, если на заданном луче отметить n точек? Какая фигура будет объединением всех этих лучей? Их пересечением?

19.Из точки О выходят три луча ОА, ОВ, ОС. Можно ли провести прямую, не проходящую через точку О, так, чтобы она пересекала все три луча? В каких случаях этого сделать нельзя?

20.Ученикпровелтрипрямыелиниииотметилнаних6точек так, что на каждой прямой стояло по 3 точки. Как он это сделал?

16.2.Углы и их свойства

1. В таблице 2 приведены определения угла и их видов, которые встречаются в школьных учебниках математики. Какие из этих определений,навашвзгляд,могутбытьосновойдляформирования умладшихшкольниковпредставленийобуглеивидахуглов?

58

59

АОВ < 180°

2.Начертите три луча с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.

3.Какие из фигур, изображенных на рисунке 16.2, можно назвать углом?

Рис. 16.2

60