Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

14. Выполните деление уголком, объясняя каждый шаг алго-

44 81

2436

16.Замените звездочки цифрами:

–14** ** **5 **

17.Можно ли, не выполняя деление уголком, определить, правильно ли выполнено деление:

19. Найдите наиболее рациональным способом значения выражений, используя свойства арифметических действий:

а) (1 445 561 : 3 587 – 313) · 356 + 3 560; б) (3 284 · (9 + 6) – 32 840) : 821; в) (1 749 · 30) : 583 + 249 · 90; г) 492 · (46 + 62) + 508 · (417 – 309).

31

20. Пользуясь данными равенствами, найдите значения выражений в каждом столбике:

21. Найдите значение числового выражения:

а) (410 + 96) · (1 010 – 31 248 : 62) – 170 · 1 500; б) (331 · 18 – (46 348 + 67 892) : 21) : 14 + 143 · 26; в) (201 · (400 100 – 397 964) + 5 280) : 24 – 8 154; г) (174 208 – 208 · (563 + 44)) : 333 + 2 079 : 77; д) 97 + 13 662 : 27 + 36 944 – 43 · 809; е) 4 080 – (352 719 – 57 837) : 98 + 307 · 107.

22. Решите задачи, решение запишите в виде числового выражения:

а) Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе.

б)Накондитерскуюфабрикупривезли800кгорехов.Приобработкеорехов27кг500гсоставилиотходы.Очищенныеорехирасфасоваливодинаковыепакетыиуложиливкоробки:впервуюкоробку положили25пакетов,вовторую—35пакетов,втретью—40паке- тов.Сколькокилограммовореховбыловпакете?

в) На склад доставили груз. На первый и второй склад до- ставлено400т,напервыйитретий—440т,навторойитретий— 300 т. Сколько тонн груза доставлено на второй склад?

г)Двемашинистки,работаявместе,перепечатали264страницы рукописи за 12 часов. Одна из них печатала 12 страниц в час. Сколько страниц в час печатала вторая машинистка?

32

13.4. Действия над числами в позиционных системах счисления, отличных от десятичной

1. Решите задачи, используя развернутую запись числа.

а) Найдите трехзначное число, которое в девятеричной системе счисления изображается теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке.

б) Найдите трехзначное число в семеричной системе счисления,взаписикоторогоиспользоваласьтолькооднацифра,причем если это же число записать в восьмеричной системе счисления, товзаписиэтоготрехзначногочислаэтацифрабудетприсутствовать единожды.

2.Перейдите от краткой записи числа к развернутой: 16589, 123443216, 1000111003.

3.Сравните числа:

х: 21х = 5?

6.Запишите число 13 510 в двоичной, восьмеричной и двенадцатеричной системах счисления.

7.Запишите 3458 и 1178 в двоичной, пятеричной, семеричной системах счисления.

33

8. Запишите в порядке убывания числа:

а) 2325, 2128, 879, 222123;

б) 445, 1428, 416,23124 .

9. Переведите следующие числа в десятичную систему счис-

10. Решите задачу:

За праздничным столом собрались 4 поколения одной семьи: дед, отец, сын и внук. Их возраст в различных системах счисления записывается так: 88 лет, 77 лет, 55 лет и 22 года. Сколько им лет в десятичной системе счисления, если через год их возраст в первоначальныхсистемахсчисленияможнобудетзаписатькак100.

11. Вычислите:

а) 7678 · 348 – 20558; б) 232135 : 325 – 1135;

в) 12345 · 3215 – 2035; г) (37628 + 12668) : 768;

д) (3708 + 2178) · 128; е) (43018 – 6138) : 328;

ж) 341025 + 2320115 : 1045.

13.5. Задания для самоконтроля

Изучив тему «Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними», студент должен уметь:

•устанавливать, какие понятия десятичной системы счисления и какие законы арифметических действий использовались

впроцессе выполнения заданий;

•выполнять переход от краткой записи числа в десятичной системе счисления к развернутой и обратно;

•выполнятьсложение,вычитание,умножениеиделениемногозначныхчисел,используяалгоритмыписьменныхвычислений;

34

•записывать числа в различных позиционных системах счисления и производить над ними арифметические действия;

•рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с неотрицательными целыми числами;

•переводить числа в различные системы счисления;

•использовать полученные знания в начальном курсе математики.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Выписаны по порядку все числа от 1 до 100. Сколько раз для записи этих чисел использовали цифру 5?

2.Объясните приемы вычислений, используя понятие десятичной системы счисления и свойства арифметических действий.

а) 457 + 532 = (400 + 50 + 7) + (500 + 30 + 2) = (400 + 500) +

+(50 + 30) + (7 + 2) = 900 + 80 + 9 = 989;

б) 879 – 567 = (800 + 70 + 9) – (500 + 60 + 7)= (800 – 500) + + (70 – 60) + (9 – 7) = 300 + 10 + 2 = 312;

в) 457 · 5 = (400 + 50 + 7) · 5 = 400 · 5 + 50 · 5 + 7 · 5 = 2 000 +

+250 + 35 = 2 285.

3.В записи трехзначного числа единиц в 2 раза меньше, чем десятков, а сотен в два раза больше чем десятков. Сколько чисел удовлетворяет данному условию?

4.Сумма двух чисел равна 462. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

5.Вместотогочтобыприбавить57,учениквычел57.Насколько егорезультатотличаетсяотправильного?

6.Сумма трех чисел 30 212. Первое слагаемое — наименьшее пятизначноечисло,второе—наименьшеечетырехзначноечисло. Найдите разность третьего слагаемого и числа 7 539.

7.Укажите среди следующих равенств истинные:

35

8. Найдите значения выражений:

9. Проектная задача: «Запись целых неотрицательных чисел

и алгоритмы действий над ними в начальном курсе математики». I. Как в начальном курсе математики трактуют запись числа

в десятичной системе счисления?

II. Как в начальном курсе математики формулируют алгоритмы арифметических действий над натуральными числами?

III. В каких учебниках математики для начальных классов содержится материал о позиционных системах счисления, отличных от десятичной?

36

Глава 14. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

14.1. Отношение делимости и его свойства

1. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a = b q. При этом число b называют делителем числа а, а число а — кратным числа b.

В том случае, когда а делится на b, пишут а b.

а)Используяданноеопределениеотношенияделимости,прочитайте разными способами запись а b.

б) Докажите, что 1 является делителем любого натурального числа.

в) Докажите, что если b — делитель числа а, то частное чисел а и b также является делителем а.

г) Запишите формулу, по которой можно получить числа, кратные 7.

2. Верно ли, что: а) 6 — делитель 36;

б) 17 — делитель 152; в) 6 — кратное 18; г) 156 — кратное 13; д) 16 — делитель 4; е) 63 — кратное 7 .

3.Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются:

а) делителями числа 20; б) кратными числа 4;

в) кратными и делителями числа 8; г) кратными или делителями числа 6.

4.Докажите, что число 70 525 кратно 217.

5.Докажите, что число 225 261 является кратным числа 729.

6.Выберите из чисел 14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75 те, которые:

а) кратны 7;

б) кратны 3;

37

в) не кратны 17; г) не кратны 5.

7.Сколько делителей имеет число 71? Как называют натуральные числа, имеющие только два делителя?

8.Запишите все делители числа 42. Какие из них являются простыми числами? Как называют число 42, которое имеет более двух делителей?

9.Верно ли, что:

а)произведениедвухпростыхчиселявляетсяпростымчислом; б)произведениедвухпростыхчиселявляетсясоставнымчислом; в) сумма четырех последовательных натуральных чисел являет-

сясоставнымчислом; г) разность нечетного и четного числа является нечетным

числом?

10.Вместомноготочиявставьтеслова«необходимо»или «достаточно», или «необходимо и достаточно».

а)Длятогочтобысуммадвухнатуральныхчиселделиласьнанекотороечисло,…,чтобыкаждоеслагаемоеделилосьнаэточисло.

б) Для того чтобы число было составным, …, чтобы оно имело более двух делителей.

в) Для того чтобы произведение делилось на число, …, чтобы хотя бы один множителей делился на это число.

г) Для того чтобы сумма не делилась на число, …, чтобы одно слагаемое не делилось на это число, а все остальные слагаемые делились на это число.

11.Верно ли, что:

а) если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число;

б) если ни одно слагаемое не делится на число, то и сумма не делится на это число;

в) если одно из слагаемых делится на число, а другое не делится, то и сумма не делится на это число.

12. Не решая уравнений, установите, какие из них имеют четные корни:

38

а) 3 826 + х = 4 018; б) х : 1 627 = 9 762; в) х – 8 534 = 5 296.

13. Не решая уравнений, определите, корни каких из них

14.2. Признаки делимости

1.Признак делимости на 4 формулируют так: для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Используя этот признак, постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 3 564 делится на 4; б) число 3 546 не делится на 4.

2.Сформулируйте признак делимости на 3 и докажите, что все числа из множества А = {405, 732, 1 491, 72 000} делятся на 3. Все ли числа из множества А делятся на 9?

3.Верно ли, что:

а) для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 9;

б) для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 9;

в) для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 9?

4.В записи *734, 4*37, 106* вместо * поставьте такие цифры, чтобы получившиеся числа делились на 9.

5.Используя цифры 3, 6, 5, 7, запишите три четырехзначных числа, которые:

а) делятся на 2; б) делятся на 5;

39

в) делятся на 3; Можно ли этими же цифрами записать число, которое будет

делиться на 9?

6. Запишите два трехзначных:

а) четных числа, которые делятся на 5; б) нечетных числа, которые не делятся на 5;

в) нечетных числа, которые не делятся на 3; г) четных числа, которые делятся на 3.

7.Запишите все трехзначные числа, в запись которых входят только цифры 0, 2, 5 и которые:

а) делятся на 2; б) делятся на 4; в) делятся на 5.

8.Верно ли, что:

а) если число делится на 4, то оно оканчивается цифрой 4; б) если число оканчивается цифрой 4, то оно делится на 4; в) если число делится на 2, то оно оканчивается цифрой 2; г) если число оканчивается цифрой 2, то оно делится на 2? 9. Может ли:

а) нечетное число делиться на нечетное; б) четное число делиться на нечетное?

10.Можно ли, используя только цифры 4 и 7, записать: а) число, которое делится на 10; б) четное число; в) число, которое делится на 3?

11.Не выполняя действий, определите, делится ли на 5:

а) 4 210 + 755 + 315; б) 330 – 28; в) 47 · 8 · 75;

г) 225 – 85 – 75; д) 215 – 113.

40