Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

4.В треугольнике АВС угол А равен 56°, угол В равен 88°. Высоты треугольника АМ и ВК пересекаются в точке Т. Найдите углы четырехугольника МКТС.

5.Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 32 см, две стороны имеют одинаковую длину, третья сторона

вдва раза больше длины каждой из этих сторон, а четвертая —

вдва раза больше третьей стороны.

6.На рисунке 16.7 с помощью кругов Эйлера изображены множество выпуклых четырехугольников и его подмножества.

Рис. 16.7

Используя рисунок, сформулируйте определения параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата и ответьте на следующие вопросы:

а) Можно ли определить ромб, взяв в качестве родового понятие четырехугольника? Если можно, то каким оно должно быть?

б) Как определить квадрат, выбрав в качестве родового понятие ромба?

71

в) Существуют ли параллелограммы, не являющиеся ни прямоугольниками, ни ромбами?

г) Существуют ли выпуклые четырехугольники, не являю­ щиеся ни параллелограммами, ни трапециями?

д) Существуют ли квадраты, не являющиеся ни ромбами, ни прямоугольниками?

7.Используя рисунок 16.7, докажите или опровергните высказывание.

а) Всякий квадрат является прямоугольником. б) Все ромбы являются квадратами.

в) Любой прямоугольник — параллелограмм.

г) Существуют четырехугольники, которые не являются трапециями.

д) Существуют четырехугольники, которые не являются ни параллелограммами, ни трапециями.

е) Все параллелограммы делятся на прямоугольники и ромбы.

8.В таблице 5 приведено определение параллелограмма, названы его свойства и признаки.

72

Определение Свойства Признаки

3)Есливчетырех­ угольникедиагонали пересекаютсяиточкойпересечения­ делятсяпополам, тоэтотчетырех­ угольник—парал­ лелограмм.

Используя данную таблицу, ответьте на следующие вопросы: а) Как вы среди различных геометрических фигур будете распознавать параллелограмм? Можете ли вы сформулировать алго-

ритм решения этой задачи?

б) Известно, что МNРК — параллелограмм. Какие утверждения из этого следуют?

в)Можнолиутверждать,чточетырехугольник,укоторогодве стороны параллельны, а две другие равны, — параллелограмм?

г) Можно ли определить параллелограмм как четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны? Если можно, то что из этого следует?

9.Существует ли параллелограмм, диагонали которого равны 14 см и 20 см, а одна из сторон — 18 см?

10.Середины сторон выпуклого четырехугольника соеди­ нены последовательно. Докажите, что получившийся четы­ рехугольник — параллелограмм.

11.Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одной стороны на противоположную сторону или ее продолжение.

Используя это определение, докажите, что:

а) угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен одному из его углов;

б) сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до всех его сторон есть величина постоянная.

73

12.Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4см,делитсторонунадваравныхотрезка.Найдитесоседниестороны параллелограмма.

13.В параллелограмме АВСD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АD, делит ее пополам. Найдите диагональ ВD, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника АВD равен 3 м.

14.В таблице 6 приведено определение прямоугольника, названы его свойства и признаки.

Используя эту таблицу, ответьте на следующие вопросы:

а) Как среди различных четырехугольников распознать прямоугольники, если основываться на:

(1)определении прямоугольника;

(2)признаке прямоугольника?

б) Можно ли определить прямоугольник как параллелограмм, диагонали которого равны?

15.Постройте умозаключение, доказывающее, что: а) четырехугольник АВСD — прямоугольник;

б) четырехугольник АВСD прямоугольником не является.

16.Докажите, что если два равных отрезка пересекаются в их общейсередине,тоихконцыявляютсявершинамипрямоугольника.

17.Вместо многоточия поставьте слова «необходимо» и «достаточно» либо «необходимо и достаточно», чтобы получились истинные утверждения.

74

а) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобыегопротивоположныестороныбылиравны.

б) Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны.

18.Сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол 60°. Найдите длину этой диагонали.

19.В прямоугольнике АВСD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ. Найдите диагональ ВD и угол ОАD, если периметр треугольника АОВ равен 30 см (О — точка пересечения диагоналей прямоугольника).

20.В таблице 7 приведено определение ромба, названы его свойства и признаки.

Используя эту таблицу, ответьте на следующие вопросы:

а) Как среди различных параллелограммов распознать ромбы, если основываться:

(1)на определении ромба;

(2)на признаках ромба?

б)Являетсялиромбом такой параллелограмм,вкоторомодна из диагоналей делит угол пополам?

75

в) Является ли ромбом такой параллелограмм, в котором есть прямой угол?

г) Можно ли определить ромб как параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны? Если можно, то что из этого следует?

21.Постройте умозаключение, доказывающее, что параллелограмм АВСD:

а) является ромбом; б) не является ромбом.

22.Докажите, что если АВСD — ромб, то:

а) диагонали делят его на четыре равных треугольника; б) высоты, проведенные из одной его вершины, равны;

в) точка пересечения его диагоналей равноудалена от всех его сторон.

23.Периметр ромба равен 16 см. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Определите соседние углы ромба.

24.Периметр ромба равен 24 см, величина тупого угла 120°. Какова длина меньшей диагонали ромба? Решите задачу различными способами.

25.Как составить ромб из:

а) четырех прямоугольных треугольников; б) двух равносторонних треугольников; в) двух равнобедренных треугольников?

26.Втаблице8приведеныопределенияквадрата,названыего свойства и признаки.

76

Используя эту таблицу, ответьте на следующие вопросы:

а)Каксредиразличныхпараллелограммовраспознаватьквадраты,еслиосновыватьсяна:

(1)определении квадрата;

(2)признаках квадрата?

б)Известно,чтовчетырехугольникедиагоналиравныиперпендикулярны. Следует ли из этого, что данный четырехугольник — квадрат?

в) Является ли квадратом такой прямоугольник, в котором диагонали делят его на четыре равных треугольника?

27.Вместо многоточия поставьте слова «необходимо», либо «достаточно», либо «необходимо и достаточно» так, чтобы получились истинные высказывания.

а) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были равны.

б) Для того чтобы прямоугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были равны.

28.Докажите, что если через две противоположные вершины квадрата провести параллельные прямые, а через другие вершины — прямые, перпендикулярные проведенным прямым, то точки их пересечения буду вершинами квадрата.

29.Длятогочтобыубедиться,чточетырехугольныйкусокткани имеетформуквадрата,этоткусокдваждыперегибаютсначалапоодной,апотомподругойдиагонали.Образующиесятреугольникиоба раза точносовмещаются.Можно ли считать,чтоподобная проверка показывает,чтоэтоткусокдействительноимеетформуквадрата?

30.Диагональ квадрата равна 5 см. Найдите периметр четырехугольника, образованного отрезками, последовательно соеди-

няющими середины сторон квадрата.

77

31. В таблице 9 приведено определение трапеции, названы ее свойства и признаки.

Используя эту таблицу, ответьте на следующие вопросы:

а) Как среди различных четырехугольников распознавать трапеции?

б) Существует ли равнобедренная прямоугольная трапеция? 32. Начертите трапецию. Проведите в ней диагонали.

Насколькотреугольников разбиласьэтатрапеция?Аскольковсего треугольников на этом чертеже?

33.Начертителюбуютрапецию.Разделитеееоднойпрямойна: а) параллелограмм и треугольник; б) параллелограмм и трапецию; в) две трапеции; г) два треугольника;

д) два четырехугольника, причем без параллельных сторон; е) треугольник и пятиугольник.

34.Изобразите трапецию как результат: а) пересечения двух трапеций; б) объединения двух треугольников;

в) объединения прямоугольника и двух треугольников; г) объединения квадрата и прямоугольного треугольника.

35.В равнобедренной трапеции диагональ образует с основанием угол 30°. Найдите все углы трапеции, если известно, что меньшее основание трапеции равно ее боковой стороне.

78

36. Средняя линия трапеции равна 32 см и делится диагональю трапеции на два отрезка, разность между которыми равна 8 см. Найдите основания трапеции.

16.6. Окружность и круг, их свойства

В таблице 10 приведены определения окружности и ее элементов.

79

Определение Изображение, обозначение

Дуга окружности — это часть MLN — дуга окружности окружности, ограниченная двумя точками.

Используя данную таблицу, решите следующую задачу:

На окружности отметили точку А. Сколько можно провести из этой точки диаметров? Хорд? Где на этой окружности будет находиться точка, наиболее удаленная от точки А?

2.Сформулируйте определение круга. Как вы думаете, почему колеса вагонов, телег, автомобилей имеют форму круга?

3.Начертите окружность, радиус которой 3 см. Постройте множество точек, удаленных от окружности: а) на 2 см; б) не более, чем на 2 см. Какие вы получили фигуры?

4.Одна из точек О или К

является центром окружности (см. рис. 16.8). Какая? Как это проверить?

5. Дана окружность, радиус которой3см.Нарасстоянии10см от центра надо построить вторую окружностьтак,чтобы:

а) окружности имели одну общую точку;

б) окружности имели две об- Рис. 16.8 щие точки;

в) окружности не имели общих точек.

Каким должен быть радиус второй окружности в каждом из этих случаев?

6. Начертите окружность. Отметьте на ней две точки А и В. Постройте­ такую точку М на окружности, что АМ = АВ. Постройте такую точку Р на окружности, что ВР = АВ. Объясните, почему АМ=ВР.РавнылиотрезкиМРиАВ?

80