Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

9.Назовите величины, о которых говорится в задаче, численное значение и единицу измерения, а также действия с величинами, которые будут выполнены в процессе решения:

а) На зиму хозяйка заготовила 4 двухлитровые банки земляничноговаренья.Скольколитровземляничноговареньязаготовили?

б) Для окраски стен детского сада израсходовали 15 кг желтой краски и 9 кг бледно-зеленой. Сколько краски израсходовали для окраски стен?

в) Перед поездкой на дачу в баке машины было 40 л бензина. Когда же приехали на дачу, то в баке оказалось 27 л. Сколько литров бензина было израсходовано?

г) Сколько прыжков потребуется кенгуру, чтобы преодолеть расстояние в 24 м, если длина каждого прыжка равна 6 м?

10.Проектная задача № 1: «Теоретико-множественный под-

ход к определению натурального числа и действий над ними в начальном курсе математики»

I.Установите, в каких учебниках математики для начальной школы используется теоретико-множественный подход к определению натурального числа и действий над числами в явном виде,

ав каких — в неявном. Свой ответ обоснуйте.

II.Какие задания выполняют младшие школьники для усвоения количественного и порядкового смысла натурального числа и действий над числами?

III.Как определяют число нуль в начальном курсе математи-

ки, и какие действия с нулем школьники должны знать?

11. Проектная задача № 2: «Натуральное число как мера величины в начальном курсе математики»

I. Установите, в каких учебниках математики для начальной школы натуральное число определяют как меру величины. Свой ответ обоснуйте.

II. Приведите примеры заданий из учебников математики для начальной школы, в которых натуральное число рассматри­ ваюткакмерувеличиныиданнаятрактовкаиспользуетсяпривыполнении действий над числами.

21

Глава 13. Запись целых неотрицательных чисел

иалгоритмы действий над ними

13.1.Позиционные и непозиционные системы счисления

1.Десятичнойзаписьюнатуральногочислахназываютегопред-

ставление в виде: х = аn · 10n + an – 1 · 10n – 1 + … + a1 · 10 + ao, где аn, an–1,…,a1,ao принимаютзначения0,1,2,3,4,5,6,7,8,9иаn ≠0.

Воспользуйтесь этим определением и ответьте на следующие вопросы:

а) Как называют числа 1, 10, 102, …, 10n в десятичной записи числа?

б) Что представляет собой в этой записи класс единиц? Класс тысяч? Класс миллионов?

в)Каксравниваютчисла,еслионизаписанывдесятичнойсистеме счисления?

г)Тождественнылипонятиенатуральногочислаиегозаписи? д) Почему десятичную систему записи чисел называют по-

зиционной?

2.Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа и прочитайте их:

а) 3895; б) 105006;

в) 1040080040.

3.Запишите наибольшее число, если известно, что в его записи все цифры различны.

4.Запишите следующие числа цифрами:

а) три миллиона восемьсот сорок тысяч; б) сорок девять миллионов шестьсот три тысячи пятьсот во-

семьдесят девять; в) четыреста миллионов четыреста тысяч четыреста;

г) сто один миллион сто одна тысяча сто один. 5. Запишите число, в котором:

а) 5 тысяч 6 сотен 4 десятка 1 единица; б) 720 тысяч 8 десятков 9 единиц;

22

в) 5 миллионов 1 тысяча 5 единиц; г) 75 миллионов 400 тысяч 1 единица.

6. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 407010; в) 7894000; б) 75196; г) 450068040.

7.Сколько сотен, десятков, единиц в каждом из записанных ниже чисел:

701, 6800, 18678, 65009?

8.При выполнении данного задания учащиеся будут выполнять дедуктивноеумозаключение.Воспроизведитеобщуюпосылку.

Сравни:

51000 … 15999 75196 … 7596 6280 … 6284

9.Сколько существует двузначных чисел, в записи которых присутствует только одна цифра 2?

10.На доске были записаны несколько пар чисел. Часть записей размазалась, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Можно ли выполнить задание, не зная размазанных цифр? Свой ответ обоснуйте.

Сравни:

а) 24▌▌▌… 26▌▌▌; б) ▌▌728… ▌▌9 ▌; в) 981▌▌… ▌7▌3▌; г) 13▌8▌… ▌5▌9▌;

11.При выполнении задания ученик рассуждал следующим образом:

1 000 мм > 5 м, так как 1 000 > 5; 1 000 с > 1 ч, так как 1 000 > 1;

1 000 000 000 г > 500 т, так как 1 000 000 000 > 500; 1 000 000 см >10 км, так как 1 000 000 > 10.

Где и почему ученик допустил ошибки, а какие пары величин сравнил правильно?

12.Учитель записал на доске девятизначное число, первая циф- ракоторого—7,ипопросилегопрочитать.Ученикначалегочитать: «Семь…».Учительсразусказал,чтоэтоневерно.Почему?

23

13.Найдитедвузначноечисло,равноеудвоенномупроизведению его цифр.

14. Составьте два натуральных числа так, чтобы их произведение было наибольшим, при этом цифры в записи этих чисел не должны повторятся.

15. Найдите трехзначное число, в котором число десятков на 4 меньше числа единиц, но на 4 больше числа сотен.

16. Разность между наибольшим трехзначным числом и задуманным в 2 раза больше разности между задуманным числом и наибольшим двузначным числом. Найдите задуманное число.

17. Найдите двузначное число, в котором число десятков в 3 раза больше числа единиц. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет меньше искомого на 54.

18. Цифра десятков в записи данного двузначного числа на 2 меньше цифры единиц. Сумма цифр данного двузначного числа равна 14. Найдите данное число.

19. Сумма цифр в записи четырехзначного числа равна 24, причем каждая последующая цифра меньше предыдущей на 2. Найдите данное четырехзначное число.

20. В непозиционных системах записи чисел каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа.

Воспользуйтесь этой информацией и докажите, что римская система записи чисел является непозиционной.

21. Заполните таблицу соответствия чисел римской и араб-

22.Запишитегод,месяцичисловашегорожденияспомощью римских цифр.

23. Запишите следующие римские числа в десятичной систе-

24

24. Запишите в римской системе счисления: a) 96; б) 250; в) 497; г) 128348.

25.В старину на Руси широко применялась система счисления, отдаленно напоминающая римскую. С ее помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате податей. Для записи чисел употреблялись следующие знаки:

Звезда — тысяча рублей, колесо — сто рублей, квадрат — десять рублей, Х — один рубль, I I I I I I I I I I — десять копеек, I — копейка.

Запишите в этой системе 3 452 руб. 43 коп.

26.Придумайте свою непозиционную систему счисления и запишите в ней числа 45, 769, 1 001.

27.Записи образованы из палочек. В каждой из них одна палочка положена неправильно. Исправьте ошибку:

В каких случаях палочку можно переложить разными способами?

13.2. Алгоритмы сложения и вычитания

1.На примере сложения чисел 344 и 521; 285 и 645; 467 и 548 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

2.Выполните сложение столбиком, объясняя каждый шаг алгоритма:

25

4.Найдитезначениявыражений,используяданноеравенство: 429 + 83 = 612:

а) 629 + 183 б) 639 + 173 в) 539 + 273

5.К пятизначному числу прибавили двузначное число, при этом в сумме получили шестизначное число. Приведите примеры таких чисел.

6.Придумайте два четырехзначных числа, сумма которых четырехзначна, и два четырехзначных числа, сумма которых пя­ тизначна. Может ли сумма двух четырехзначных чисел быть числом шестизначным? Ответ объясните.

7.Воспроизведите рассуждение учащихся при выполнении следующего задания:

На сколько можно увеличить число 128 379, чтобы изменились цифры в разряде единиц и десятков, а цифры в других разрядах остались прежними?

8.При нахождении значения выражений 543 + 235; 543 + 205; 543+25учительпопросилучащихсясделатьразвернутуюзапись. Какие знания потребовались учащимся для его выполнения?

9.Установите,чемпохоживыражениявкаждомстолбике.Составьте еще 2 – 3 подобных выражения. Найдите значения всех выражений.

26

10. Объясните допущенные ошибки при нахождении значения выражения:

12.Напримеревычитаниячисел578и265;645и285;767и568 покажите,какиетеоретическиефактылежатвосновеалгоритмавычитаниямногозначныхчисел.

13.Выполните вычитание столбиком, объясняя каждый шаг алгоритма:

15. Установите, чем похожи выражения в каждом столбике. Составьте еще по 2–3 подобных выражения. Найдите значения всех выражений.

16.Выполните действия. Правильность выполненного вычитания проверьте разными способами.

а) 57 575 757 – 39 393 939; б) 52 613 021 – 37 753 623; в) 1 223 657 113 – 528 708 306; г) 225 678 007 – 120 703 657.

17.Найдите значения выражений, используя данное равен-

ство: 429 – 183 = 246:

27

18. Установите, чем похожи выражения в каждом столбике. Найдите значения всех выражений удобным способом.

19.Дано истинное равенство: (7 589 – 3 698) – 147 = 3 744.

Установите, значение каких выражений уже известно:

а) 7 589 – 3 698 – 147 б) 7 589 + 3 698 – 147 в) (7 589 – 147) – 3 698 г) 7 589 – (3 698 – 147) д) 7 589 – (3 698 + 147)

20.Что можно сказать о разности, если:

а) уменьшаемое увеличить, а вычитаемое на столько же уменьшить;

б) уменьшаемое уменьшить, а вычитаемое увеличить; в) уменьшаемое и вычитаемое увеличить; г) уменьшаемое увеличить, а вычитаемое уменьшить;

13.3. Алгоритмы умножения и деления

1. Можно ли разбить данное множество выражений на клас-

3. Выполните умножение столбиком и, пользуясь этой записью, найдите значения выражений:

28

5.Не выполняя умножения, определите количество цифр

впроизведении:

29

7.Используя данные равенства, найдите значения выражений

вкаждом столбике:

8.Найдите наиболее рациональным способом значения выражений, используя свойства умножения:

а) 284 · 15 + 216 · 15; б) 25 · 28 · 8 · 30; в) (1 270 – 125) · 8; г) 150 · 48 · 125.

9.Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?

10.Не вычисляя значений выражений, поставьте знаки < или >, чтобыполучилисьверныенеравенства:

46176 : 37 … 93 235 : 33

177996 : 42 … 274 686 : 51

489132 : 36 … 539 847 : 63

152551 : 37 … 87 579 : 37

11.Замените звездочки цифрами:

12.Запишите два числа, частное которых равно 135. Сколько таких пар можно назвать?

13.Найдите выражения, значения которых содержат одинаковое количество цифр:

30