Задачник-практикум по математике. Книга 2. Часть III– IV

с соответственно параллельными сторонами (эти грани называют основаниями призмы), а все остальные грани (боковые грани) — параллелограммы.

Призмы бывают наклонные, прямые, правильные.

Изобразите на листе бумаги: наклонную четырехугольную призму, прямую треугольную призму и правильную четырехугольную призму, соблюдая правила параллельного проектирования. Какими фигурами являются грани каждой из этих призм?

3. Прямоугольным параллелепипедом называют четыреху-

гольнуюпрямуюпризму,укоторой всеграни—прямоугольники. а) Изобразите на листе бумаги прямоугольный параллелепипед, соблюдая правила параллельного проектирования, и проведите внемвседиагонали.Сколькоих?Какимисвойствамиониобладают? б) Какими свойствами обладают противолежащие грани па-

раллелепипеда?

в) Какую форму имеет сечение параллелепипеда, проходящее через его противоположные ребра?

4.Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящихся в одной вершине, равны 2 см, 3 см и 4 см. Постройте развертку этого параллелепипеда и найдите: а) сумму длин всех его ребер; б) площадь его поверхности.

5.Какой прямоугольный параллелепипед называют кубом? Изобразите на листе бумаги куб, ребро которого равно 3 см. Чему равна площадь его поверхности?

6.Имеетсятриодинаковыхкубика,ребракоторыхравны2см. Из кубиков сделали прямоугольный параллелепипед. Чему равна площадь поверхности этого параллелепипеда?

7.Сколькоразныхпараллелепипедовможносложитьизчетырех одинаковых кубиков? Чему будут равны площади их поверхностей, еслиреброукаждогокубикаравно3см?

8.Пирамида—этомногогранник,поверхностькоторогосостоит из многоугольника — основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину и называемых боковыми гранями пирамиды. Общуювершинуэтихтреугольниковназываютвершинойпирамиды,

аребра,выходящиеизвершины,—боковымиребрамипирамиды.

91

Пирамиды бывают наклонные, прямые, правильные.

Изобразитеналистебумагинаклоннуючетырехугольнуюпирамиду, прямую треугольную пирамиды и правильную четырехугольную пирамиду по правилам параллельного проектирования. Какими фигурами являются основания этих пирамид?

9. Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильныймногоугольник,авсебоковыеребраравнымеждусобой.

Используя это определение, решите следующие задачи1.

а) У правильной треугольной пирамиды плоские углы при вершине равны 60°. Какими будут ее боковые грани?

б) У правильной четырехугольной пирамиды плоские углы при вершине равны 60°. Боковое ребро пирамиды равно 10 см. Чему равна площадь ее основания?

в) Могут ли боковые грани правильной шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?

г) Правильная треугольная пирамида SАВС (см. рис. 17.3) рассечена плоскостью, проходящей через боковое ребро SС и высоту SО. Какой будет площадь треугольника DSC, если известно,

что SC = 20 см, ОС = 12 см?

д) Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 18 см, высота пирамиды равна 12 см. Чему равно боковое ребро пирамиды?

10.Пирамида Хеопса, построенная в Древнем Египте тридцать столетий назад, имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Ее высота 146 м, а боковое ребро равно 220 м. Чему равна площадь основания этой пирамиды?

11.Какие из следующих утверждений являются истинными: а) Правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр —

этоодноитоже.

б) Всего существует 6 видов правильных многогранников. в) Не существует правильного многогранника, гранями кото-

рого являются правильные шестиугольники.

1 Задачи взяты из книги: Тарасов Л.В. Стереометрия: Наглядно-практиче- скийкурсгеометриидляшкольников…инетолько/Л.В.Тарасов.–М.:Изд-во ЛКИ, 2010.

92

Рис. 17.3

17.2. Тела вращения

1. На плоскости построили прямоугольник АВСD, у которого сторона АВ лежит на оси l (см. рис. 17.4).

Рис. 17.4

93

Пусть AD = а, АВ = b. Тогда при вращении прямоугольника АВСD вокруг оси l получится цилиндр высотой b с радиусом основания а (см. рис. 17.5).

Рис. 17.5

Используя данное определение цилиндра, ответьте на следующие вопросы.

а) Верно ли, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником?

б) Как построить развертку цилиндра, если его высота равна 5 см, а радиус основания — 3 см?

в) Как вычислить площадь поверхности цилиндра, о котором идет речь в задании б)?

2. Даны два цилиндра, осевыми сечениями которых является прямоугольникАВСDсосторонамиАВ=16смиВС=12см.Один цилиндр получается при вращении АВСD вокруг стороны АВ, а другой — вокруг стороны ВС. Равны ли площади поверхностей данных цилиндров? А площади осевых сечений?

94

3.НаплоскостипостроилипрямоугольныйтреугольникАВС,

укоторого катет АВ лежит на оси вращения l (см. рис. 17.6).

Рис. 17.6

Пусть АВ = b, АС = а. Тогда при вращении прямоугольного треугольника АВС вокруг оси l получится конус высотой b с радиусом основания а.

Используя данное определение конуса, ответьте на следующие вопросы.

а) Какой фигурой является осевое сечение конуса?

б) Как построить развертку конуса, если его высота равна 5 см, а радиус основания — 3 см?

в) Как вычислить площадь поверхности конуса, о котором идет речь в задании б)?

4.В конусе с образующей 10 см угол между высотой и образующей­ равен 45°. Чему равна площадь осевого сечения?

5.Высота конуса — 4 см, образующая — 5 см. Какова площадь всей поверхности этого конуса?

95

6. На плоскости построили полукруг радиуса r так, что его диаметр лежит на оси вращения l. При вращении полукруга вокруг оси l получаетсяшаррадиусаr.ЦентрполукругаОбудетцентромшара.

Поверхность шара называют сферой.

Используя данное определение шара, ответьте на следующие вопросы.

а) Какой фигурой является осевое сечение шара?

б) Радиус шара 5 см. Во сколько раз площадь поверхности шара (она вычисляется по формуле S = 4 π r2) больше площади большого круга?

в) Площадь поверхности шара равна 16 π см2. Чему равен радиус шара?

г) Радиусы двух шаров — 6 см и 8 см. Каким будет радиус третьего шара, если известно, что площадь его поверхности равна сумме площадей поверхностей первых двух шаров?

17.3. Задания для самоконтроля

1. Изучив тему «Многогранники и тела вращения», студент должен уметь:

•решать задачи на распознавание многогранников и тел вращения, используя их определения;

•изображать на плоскости правильные призмы и пирамиды, цилиндр, конус и шар, используя правила параллельного проектирования;

•решать несложные геометрические задачи, используя свойства многогранников и тел вращения;

•применять приобретенные знания и умения к анализу материала, изучаемого в начальном курсе математики и связанного

спространственными телами.

Проверить сформированность названных умений можно, выполнив следующие задания.

1.Нарисунке17.7даноизображениевидаспередиисверхунекоторыхгеометрическихтел.Определитевидэтихтелвкаждомслучае.

96

Рис. 17.7

2.Назовите предметы, окружающие нас и имеющие форму: а) прямоугольного параллелепипеда; б) тетраэдра; в) конуса.

3.Вычислитеплощадьповерхностипрямоугольногопараллелепипеда, если его измерения равны 4 см, 10 см, 8 см. Во сколько раз она уменьшится, если каждое из измерений данного параллелепипеда уменьшить в 2 раза?

4.Найдите площадь основания пирамиды Хефрена (Древний Египет), если известно, что ее высота 136 м, а длина бокового ребра 216 м.

5. Радиус основания цилиндра равен высоте цилиндра. В сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра больше площади основания?

97

6.Радиус основания цилиндра — 14 см. Какова его высота, если известно, что площадь боковой поверхности в 3 раза больше площади основания?

7.У конуса с радиусом основания 13 см площадь боковой поверхности втрое больше площади основания. Чему равна образующаяконуса?

8.Сторона АВ треугольника АВС лежит на оси вращения (см. рис. 17.8). Известно, что ВС = 15 см, АС = 20 см, высота DC = 12 см. Чему равна площадь поверхности тела вращения?

Рис. 17.8

9.Проектнаязадача:«Прямоугольныйпараллелепипедвначальном курсе математики».

I. В каких учебниках математики для начальных классов есть материал о прямоугольном параллелепипеде?

II. С какими свойствами прямоугольного параллелепипеда знакомятся младшие школьники?

III. Какие сведения о прямоугольном параллелепипеде вы могли бы добавить к материалу, который есть в учебниках для начальных классов?

98

Глава 18. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

18.1. Длина отрезка и ее измерение

1.Длиной отрезка называют положительную величину, определенную для каждого отрезка и обладающую следующими свойствами:

• равные отрезки имеют равные длины;

• если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков;

• существует отрезок, длина которого равна 1.

Измерение длины отрезка х состоит в сравнении его длины

сдлиной отрезка, принятого за единицу. Результатом измерения длины отрезка является положительное действительное чис-

ло а, которое называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины е и пишут х = а · е. В геометрии часто число а называют длиной отрезка.

Используя определение длины отрезка и ее измерения, ответьте на следующие вопросы.

а) При измерении длины х отрезка АВ с помощью единицы е оказалось,чтох=3е.Какназываютчисло3,ичтоонопоказывает­ ?

б) Постройте два равных отрезка, выберите подходящий единичный отрезок е и запишите, чему равна длина каждого из начерченных отрезков. Верно ли, что численные значения их длин равны?

в) Постройте отрезок АВ, состоящий из двух отрезков, выберите подходящий единичный отрезок е и покажите, что численноезначениедлиныотрезкаАВравносуммечисленныхзначений длин отрезков, из которых состоит отрезок АВ.

г)ПостройтеотрезокАВ,длинакоторогоравна6е.Какимбудет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины е: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 2 раза?

2.Отметьте на прямой точки А, В, С, D, Е так, что АВ =

=ВС = СD = DЕ. Сколько всего отрезков получилось? Чему

99

будет равно численное значение длины каждого из них, если за единицу длины будет выбрана длина отрезка: а) АВ; б) АС; в) АЕ?

3.Длину отрезка АВ измерили с помощью единицы е1 и получили 12 е1. Затем длину того же отрезка измерили с помощью единицы е2 и получили 4е2. В каком отношении находятся между собой единицы длины е1 и е2?

4.На практике длины измеряют, используя стандартные единицы длины. В международной системе единиц величин (SI) основной единицей длины является метр, другие являются кратными или дольными по отношению к метру.

Используя данную информацию, ответьте на вопросы: а) Во сколько раз 1 м больше 1 мм?

б) Какую часть метра составляет 1 дм, 1 см, 1 мм, 1 км?

5.Сравните длины:

7.На множестве А = {0,5 м; 560 см; 45 дм; 5,16 м; 618 см} за-

дано отношение «меньше». Постройте граф и укажите свойства данного отношения.

8.На прямой а лежат точки М, Т, К, причем МТ = 85 мм, ТК=1,15дм.КакойможетбытьдлинаотрезкаМКвсантиметрах­ ?

9.ТочкиС,А,В,ОиРлежатнаоднойпрямойтак,чтоАС=СВ=

=6дм,ОС=0,8дм,СР=27см.НайдитедлиныотрезковАРиОВ

вдециметрах.

100