Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

Если мощность множества A равна n, то его часто называют n- множество A, т.е мощность множества A равна n. Если множество C имеет несколько экземпляров одного и того же элемента, то оно называется мультимножеством.

Выборкой называется любое мультимножество, элементы которого выбираются из элементов множества A. Таким образом, выборка может содержать несколько экземпляров одного и того же элемента множества A. Число элементов r в выборке (r- выборка) называют ее объемом.

Выборка, в которой не учитывается порядок элементов, назы-

вается сочетанием.

Выборка, в которой учитывается порядок элементов, называ-

ется перестановкой.

Введенные понятия сочетания и перестановки охватывают все возможные типы выборок. В том числе и размещения.

Перечислительная комбинаторика

К перечислительной комбинаторике относятся задачи поиска числа способов построения кортежей из элементов конечного множества, как с разными, так и одинаковыми. Простейшими кортежами являются перестановки, размещения и сочетания.

Пусть A – конечное множество, состоящее из n элементов, т.е. мощность этого множества │A│ = card A = n.

Перестановки

Дано множество A. Пусть A – конечное множество, состоящее из n элементов A = {a1, a2, …, an}, т.е. мощность этого множества

│A│ = card A = n.

Перестановкой элементов множества A называется любой кортеж <a1, a2, …, an> состоящий из n различных элементов множества A.

Построим кортежи из этого множества A длиной n. Кортежи будут отличаться друг от друга только порядком, так как в каждом из них встречаются по одному разу все элементы множества

A. Эти кортежи называются перестановками и обозначаются Pn

(от англ. permutation).

Число перестановок определим исходя из следующего рассуждения. На первом месте в кортеже можно поставить любой из n

81

элементов, на второе место - любой из n-1 оставшихся и т.д. Для последнего места остается единственный элемент. Общее число кортежей n (n-1) (n-2) …2 1, т.е.

Pn = n!

Пример.

Сколько трехзначных чисел можно составить из трех цифр

{1,2,3}.

Решение

Кортежи будут соответственно равны:

<1, 2, 3>; <1, 3, 2>; <2, 1, 3>; <2, 3, 1>; <3, 1, 2>; <3, 2, 1>,

и их число равно P3 = 3! =1 2 3 = 6

Подчеркнем еще раз, что приведенная формула справедлива, если множество A состоит из разных элементов.

Перестановки с повторениями

Пусть в множестве A имеются одинаковые (повторяющиеся)

элементы. Перестановкой с повторениями состава (n1, n2, … ,nk)

из элементов (a1, a2, … ,ak) называется кортеж длиной n = n1 + n2

+ …+ nk, в который a1 входит n1 раз, a2 входит n2 раз и т.д. Число таких перестановок

Пример.

Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»

Решение

Слово «МАТЕМАТИКА» является кортежем длины 10, имеющим состав (2, 3, 2, 1, 1, 1) т.е. буква «М» входит два раза, буква «А» входит 3 раза, буква «Т» входит два раза, а остальные по одному разу. Число слов при перестановке букв слова «МАТЕМАТИКА» будет равно

P(2,3,2,1,1,1) = 2!3!1!1!1!10! =151200

Дадим другое определение перестановки. На языке множеств это можно представить следующим образом.

Каждое взаимно однозначное отображение f: X —> Y называется перестановкой множества X.

82

Если т = п, то каждая взаимно однозначная функция f: X —> Y является взаимно однозначным отображением множества X на множество Y. В таком случае [п]п = п (п-1) (п-2) . . . 1 обозначаем п! (п факториал).

Теорема. Числоперестановокn-элементногомножестваравно п!. Доказательство следует из предыдущего рассуждения.

Справочные зависимости.

|т|п = (т- п+1) |т|п-1 |т|п = т!/п!

|т|п = |т + п-1|п

Размещения

Кортежи длины k (1≤k≤n), состоящие из различных элементов n-элементного множества A (кортежи отличаются один от другого как самими элементами, так и их порядком), называются размещениями из n элементов множества A по k. Число таких разме-

щений обычно обозначается Ank (буква A от французского слова

arrangement - размещение) или |n|k.

Схема выбора состоит в выборе k элементов из n-элементного множества без возвращения. Для этого необходимо совершить k действий: первое действие можно совершить n способами, второе уже n -1 способами, а k-е действие n – (k – 1) способами. Согласно вышеуказанному правилу произведения получаем конечное

число перестановок Ank = n (n −1) ...(n −k +1). Умножим и раз-

делим на (n −k )!, получим:

Отличие размещения от перестановки. Если размещения отличаются друг от друга только порядком, так как в каждом из них встречаются по одному разу все элементы множества A, то такие

размещения являются перестановками, т.е. Pn = Ann .

Пример. Дано A = {1, 2, 3}. Найти все размещения из трех элементов по два и их число.

83

Решение. <1, 2>; <1, 3>; <2, 3>; <2, 1>; <3, 1>; <3, 2>.

Число размещений, как видно равно 6.

A32 = (3 −3!2)! = 1 21 3 = 6

Подчеркнем еще раз, что приведенная формула справедлива, если множество A состоит из разных элементов.

Размещения с повторениями

Пусть во множестве A имеются одинаковые (повторяющиеся)

элементы. Размещениями с повторениями из n элементов по k

называются кортежи длиной k, составленные из n-элементного

множества A. Число этих кортежей обозначают Ank . Черта указывает на возможность повторения элементов

Ank = nk

Пример.

Сколько пятизначных телефонных номеров можно составить из элементов множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Решение.

Телефонные номера являются кортежами длиной k = 5, составленные из десятиэлементного множества с возвращением, т.е. для каждого из пяти элементов есть девять способов выбора.

A105 =105 =100000

Рассмотрим размещения на языке множеств.

Даны множества X, Y, причем \X\ = n, |Y| = m. Сколько существует функций: X —> Y, удовлетворяющих заданным ограничениям?

Элементы множества X соответствуют объектам, элементы множества Y — ящикам, а каждая функция f:. X —> Y определяет некоторое размещение, указывая для каждого объекта x X ящик y Y , в котором данный объект находится. Другую тради-

ционную интерпретацию получим, трактуя Y как множество «цветов», а f(х) как «цвет объекта х». Наша задача, таким образом, эквивалентна вопросу, сколькими способами можно покрасить объекты так, чтобы были соблюдены некоторые ограничения.

84

Заметим, что без потери общности можем всегда считать, что Х = {1, ..., п} и Y = {1, ..., т}. Каждую функцию f можно тогда отождествить с последовательностью < f(1) , ,.., f (п)>.

Наша задача имеет самый простой вид, если не накладывается никаких ограничений на размещения. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если |X| = n, |Y| = m, то число всех функций f: X —> Y равно тn.

Доказательство.

Считая, что Х = {1, ..., п}, сводим нашу задачу к вопросу о числе всех последовательности < y1 ..., yn > с членами из m- элементного множества Y. Каждый член последовательности yi мы можем выбрать т способами, что дает тn возможностей выбора последовательности < y1 ..., yn >.

Легко также найти число размещений, для которых каждый ящик содержит не более одного объекта – также размещения соответствуют взаимно однозначным функциям. Обозначим через |т|п число всех взаимно однозначных функций из n-элементного множества в m-элементное множество.

Упорядоченное размещение

Разместим n объектов по m ящикам так, чтобы каждый ящик содержал бы последовательность, а не множество, как прежде, помещенных в нем объектов. Два размещения назовем равными, если в каждом ящике содержится одна и та же последовательность объектов. Размещения такого типа называются упорядоченными размещениями n объектов по m ящикам. Обозначим число таких упорядочений через |m|n .

Теорема. Число упорядоченных размещений n объектов по m

ящикам равно

|т|п = т (т+1) . . . (т+ n-1)

(полагаем |т|0 = 1).

Доказательство. Будем строить упорядоченное размещение, добавляя по очереди новые объекты. Первый объект мы можем построить m способами, второй – m+1 способами, ибо его можно разместить в одном из m – 1 пустых ящиков или в ящике, содержащим первый объект, перед ним или после него. В общем случае предположим, что уже размещено i – 1 объектов, причем для k = 1, 2, . . . , m в k-м ящике находится rk объектов. Тогда i-й

85

объект можем добавить в k-й ящик rk + 1 способами, что дает в

сумме (rk+1) +. . . + (rm +1) = (r1 + . . . + rm) + m = m + i -1 возмож-

ностей. Таким образом, всех упорядоченных размещений будет m(m+1) . . . (m+ n-1).

Пример.

Изобразить упорядоченные размещения двух элементов a,b по трем ящикам.

В этом случае |3|2 = 12 = 3 4

Теорема. Если |X| = n, |Y| = m то числе всех взаимно однозначных функций f: X —> Y равно

|т|п = m (m - 1)…( m - n + 1) (полагаем |т|0 = 1)

Доказательство. Будем определять на этот раз число инъективных (т. е. имеющих все различные члены) последовательностей < y1 ..., yn > с членами из множества Y. Элемент y1 такого множества мы можем выбрать т способами, элемент y2 — (m - 1) способами, в общем случае если уже выбраны элементы y1, ..., yi-1, то в качестве yi можем выбрать любой из т–i+1 элементов множества Y\{( y1, ,.., yi-1} (принимаем п ≤ т; если п > т, то очевидно, что и |т|п и искомое число функций равны нулю). (Это дает т (т

86

- 1) ... (т - п + 1) возможностей выбора инъективных последовательностей < y1 ..., yn >.)

Пример.

Дано множество Х из 4-х элементов Х = {1, 2, 3, 4}. Записать последовательности из 3 элементов.

Решение.

Число последовательностей длиной 3 с элементами из множества Х будет равно [4]3 = 4х3х2 = 24.

Замечание. Перестановка является частным случаем размещения при n=k.

Сочетания

Из m-элементного множества A построим упорядоченное множество длины n, элементы которого являются размещениями с одними и теми же элементами, расположенными в разном порядке считаются равными. Такие размещения называются соче-

таниями и обозначаются Cmn (англ. combination)

Сочетание отличается от размещения тем, что в нем не учи-

тывается порядок. Поэтому каждому сочетанию соответствует k! размещений.

Сочетания из m подмножеств n-элементного множества, на элементах которых задан линейный порядок, называются разме-

щениями.

Anm = m!Cnm

Число строго монотонно возрастающих функций, или число размещений n неразличимых предметов по m ящикам не более чем по одному в ящик, т.е. число способов выбрать из m ящиков n ящиков с предметами, называется числом сочетаний и обозна-

87

Доказательство.

1.Число размещений без повторений нужно разделить на число перестановок, поскольку предметы не различимы.

2.Число сочетаний является числом строго монотонно возрастающих функций, потому что строго монотонно возрастающая

функция F :1..n →1..m определяется набором своих значений, причем 1 ≤ F (1) <... < F (n) ≤ m .

Другими словами, каждая монотонно возрастающая функция определяется выбором n чисел из диапазона 1… m. Таким образом, число строго монотонно возрастающих функций равно числу n-элементных подмножеств m-элементного множества, которое, в свою очередь, равно числу способов выбрать n ящиков с предметами из m ящиков.

По определению Cmn = 0 при n > m.

2. Ck− +Ck−−1 = Ck

n 1 n 1 n

Доказательство.

88

Сочетания с повторениями

Полученные формулы справедливы только, когда в множестве A нет одинаковых элементов. Пусть имеются элементы n видов и из них составляется кортеж из k элементов среди которых могут быть одинаковые (повторяющиеся) элементы. Такие наборы называются сочетаниями с повторениями. Число таких сочетаний

Ck = Ck+ −

n n k 1

Пример.

Сколько наборов из 7 товаров можно составить, если имеется всего 4 вида.

Решение

Комбинации элементов с повторениями

Пусть имеем неупорядоченное n-злементное множество A, элементы которого разбиты на n классов (в каждом классе находится по одному элементу), которые будут называться типами элементов.

Комбинацией из n элементов по m с повторениями называется m-элементное подмножество множества A, каждый элемент которого принадлежит одному из n типов. Совокупность таких комбинаций называют комбинациями из n элементов по m

Теорема. Количество различных комбинаций из n элементов по m элементов с повторениями равно

Cn+−1 − = Cm+ − n m 1 n m 1

Доказательство. «Закодируем» каждую комбинацию следующим образом. Если комбинация включает k1 элементов первого типа, то записываем подряд k1 единиц, ставим нуль. После него ставим подряд k2 единиц, если комбинация включает k2 элементов другого типа и т.д.

Например, если A ={a, b, c, d}, то комбинациям по два элементас повторениями соответствуют пары {a,a}, {а,b}, {а,с},

89

{а,d}, {b,b}, {b, с}, {с,d}, {с,с}, {с,d}, {d,d}, а их "кодами" будут со-

ответственно

11000, 10100, 10010, 10001,..., 00011.

Нетрудно убедиться, что между "кодами" и комбинациями существует взаимно однозначное соответствие (убедитесь самостоятельно).

Таким образом, каждой комбинации из п элементов по m соответствует последовательность из т единиц и п-1 нулей (в рассмотренном примере п = 4, т = 2). Следовательно, число всех комбинаций из п элементов по т с повторениями равно числу последовательностей, состоящих из т единиц и п - 1 нулей, т. е.

Cnm+m−1 = Cnn+−m1 −1 . Теорема доказана.

Пример

Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение

Решение. Решения данного уравнения можно интерпретировать так. Если имеем целые неотрицательные числа x1, х2, ..., xп, такие что х1 + х2 + ... + xп = т, то можно составить комбинацию из п элементов по т, взяв хi элементов первого типа, х2 элементов второго типа, ..., xп элементов n-го типа.

Наоборот, имея комбинацию из п по т элементов, получим решение уравнения (1.2.4) (x1, х2 ..., xn - число элементов первого, второго, и, соответственно, n-го типа), где все хi неотрицательные (i = 1, 2, ..., n). Таким образом, между множеством всех неотрицательных решений уравнения (1) и множеством всех комбинаций из п элементов по т устанавливается взаимно однозначное соответствие. Следовательно, число целых неотрицательных решений уравнения (1) равно

Cm+ − = Cn+−1 − n m 1 n m 1

Например, если x1 + x2 + x3 + х4 = 10, то это уравнение имеет

4! 9!

целых неотрицательных решений.

Бином Ньютона

90