Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

ходима комбинаторная грамотность. Таким образом, сама жизнь требует изучения дискретной математики.

Дискретная математика является одним из разделов математики. Любая математическая теория имеет дело с двумя объектами с множествами и функциями (соответствиями, отношениями)

на этих множествах. Если аргументы функции f пробегают множество M и функция принимает значения, принадлежащие этому же множеству f, то эта функция f называется алгебраической операцией на множестве M. Вот это и есть первые примеры введения абстрактных символов для решения реальных практических задач.

Элементы булевых алгебр будут использоваться при изучении теории вероятностей, функционального анализа, теории меры. Булева алгебра—это алгебраическая система, которая в зависимости от обстоятельств может быть интерпретирована либо как система событий, либо как система высказываний (допуская и иные истолкования). Аксиомы булевой алгебры выражают то общее, что роднит «события» и «высказывания». Причинно-следственная связь событий или логическая связь высказываний описывается формулами, имеющими вид неравенств. Булева алгебра пред-

ставляет собой разновидность частично упорядоченного множе-

ства: неравенство х<у выражает «большую достоверность» события у по сравнению с событием х или «большее правдоподобие» высказывания у сравнительно с х. Среди элементов булевой алгебры должны содержаться наибольший и наименьший, соответствующие «абсолютно достоверному» и «абсолютно невозможному» событиям («тождественно истинному» и «тождественно ложному» высказываниям). Каждый элемент должен иметь дополнение, которое можно истолковывать как «событие, противоположное данному» или как «отрицание данного высказывания».

Эти проблемы весьма разнообразны, они соприкасаются с логикой и теорией множеств, с теорией вероятностей и анализом. Такое обилие точек соприкосновения со смежными математическими дисциплинами роднит теорию булевых алгебр с функциональным анализом, к которому она близка и по своему общему математическому стилю.

11

Элементы комбинаторики широко используются при изучении теории вероятностей. В этом разделе приводятся основные определения и обозначения, относящиеся к используемым логическим и теоретико-множественным понятиям, а также представленные в приводимых ниже алгоритмах. Начинается все с логических и теоретико-множественных понятий.

Теория графов может быть использована при решении задач исследования операций, вычислительной математики, теории управления.

Изучив свойства достижимости и связности графов, вопросы построения сильных компонент и баз можно в качестве практической задачи рассмотреть вопросы образования группировок правления и коалиций в организациях.

Теория графов позволяет оптимально составлять расписания, например, работы транспорта, задачу оптимального размещения ресурсов, доставки, размещения на сети дорог всевозможных служб, таких, как пожарные команды, милицейские участки, станции скорой помощи, размещение складов или переключательные пункты в системах доставки товаров или в сетях связи и т.п.

Задачи о деревьях, кратчайших остовах и задача Штейнера позволяют применить их для практических задач: к проектированию электрических и газовых распределительных сетей.

Задача поиска кратчайшей цепи между парами вершин и ее приложения к задачам выбора маршрута для максимизации пропускной способности или надежности, к специальному случаю сетей и к анализу критических маршрутов и кратчайших цепей.

Задачи поиска циклов в графах, общие циклы и разрезы. Здесь же разбираются задача поиска эйлеровых циклов и задача китайского почтальона с ее приложениями к сборке мусора, к доставке молока или почты и к инспектированию систем с распределенными параметрами.

Рассматривается задача нахождения гамильтонова цикла в неполном графе и ее приложение к машинному планированию, задаче поиска кратчайшего гамильтонова цикла, широко известного под названием «задача коммивояжера», и ее приложениям к выбору транспортных маршрутов.

Исследуются максимальные потоки и минимальные стоимости

— задачи о максимальных потоках в графах, дугам которых при-

12

писаны пропускные способности и стоимости. Задачи о потоках в графах, у которых дугам приписаны выигрыши, встречаются при рассмотрении математических моделей арбитража, активных электрических цепей и т. д. Задачи о таких потоках также обсуждаются здесь.

Вычисление максимальных паросочетаний графов и описывается обобщенный венгерский алгоритм. Подробно алгоритм разобран для двудольных графов, для случаев транспортной задачи и задачи о назначении, играющих большую роль в исследовании операций с приложениями к назначению людей на работу, размещению вспомогательных служб, составлению маршрутов транспортных средств и т. д.

Изучение дискретной математики начинаются с изучения основ теории множеств. Это связано с тем, что этот материал будет проходить красной нитью через все остальные разделы дискретной математики. Введенные операции, отношения и законы, которым они подчиняются, будут находить свое отображения в остальных разделах, поэтому этот раздел является как бы фундаментом для последующего изучения остальных разделов дискретной математики.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что изучает дискретная математика?

2.Какие основные разделы входят в состав дискретной математики?

3.Чем отличается дискретная математика от классической?

4.Как соотносятся между собой классическая и дискретная математика?

5.Укажите основные области применения дискретной математики?

6.Какие функции выполняет дискретная математика при программировании?

7.Где можно применять дискретную математику в строительной технологии?

13

Математики – это некоторый род французов: если говоришь им что-нибудь, они переводят это на свой язык, и тогда это становится тотчас же чем-то совсем другим.

И.В. Гёте Ferneres uber Mathematik und Mathematikers, s. Werke, Grosse Weimarische Ausg. Abt. II, Bd. 11 (1893), s. 102

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Понятие множества — одно из основных, если не основное, понятий математики. Оно не имеет точного определения, и его следует отнести к аксиоматическим понятиям. Такими аксиоматическими понятиями, например, в элементарной геометрии являются понятия точка, прямая, плоскость.

Как правило, термин множество объясняется с помощью примеров, а потом указываются правила его использования в математических применениях. Последнее можно сделать на разных уровнях строгости. Детальное и строгое изложение теории множеств требовало бы скрупулезного анализа логики математических суждений, а это — специальная самостоятельная тема, которая относится к области основ математики. Для наших целей достаточно выбрать уровень так называемой интуитивной теории множеств.

Интуитивное понятие множества

Как было сказано выше, понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики, и точное его определение дать невозможно. Часто принимается формулировка интуитивного понятия множества Г. Кантора, основоположника этой теории:

"Произвольная совокупность определенных предметов нашей интуиции или интеллекта, которые можно отличить один от другого и которые представляются как единое целое, называется множеством. Предметы, которые входят в состав множества, называются его элементами".

Множество с атрибутивной точки зрения

Агрегатная точка зрения, в отличие от атрибутивной, является логически несостоятельной в том плане, что она приводит к парадоксам типа Рассела и Кантора.

14

Парадокса Рассела можно избежать, ограничив рассматриваемые множества. Например, достаточно запретить рассматривать в качестве множеств классы, содержащие самих себя. При этом, однако, нет полной уверенности в том, что не обнаружатся другие противоречия. Полноценным выходом из ситуации являлось бы аксиоматическое построение теории множеств и доказательство непротиворечивости построенной формальной теории. Однако исследование парадоксов и непротиворечивости систем аксиом является технически трудной задачей и далека от программистской практики, для которой важнейшими являются конечные множества. Поэтому формальная аксиоматика теории множеств здесь не приводится. В данном курсе излагаются необходимые сведения полуформально, опираясь везде, где это возможно, на программистскую интуицию читателя.

В рамках атрибутивной точки зрения множества отождествляются со свойством, определяющим соответствующую совокуп-

ность элементов. В этом случае записывают m М (сокращенно М (m)) – элемент m обладает свойством М. Здесь m элемент

множества М, понимаемого как свойство - оператор отноше-

ния предикации , М (эквивалентная запись М( )) является одноместным предикатом (логическим сказуемым, т. е. то, что говориться об элементе m).

Любому свойству множества М соответствует потенциально бесконечная совокупность элементов, которым присуще это свойство М. В этом плане понятие "конечное множество" есть структурно сложные эмпирические или абстрактные объекты (абстрактные агрегаты).

Пример:

1)Учебная группа ИСТАС-2 в рамках атрибутивной точки зрения является структурно сложным эмпирическим (объектом).

2)Абстрактный агрегат {2, 4, 6} является абстрактным структурно сложным элементом составных частей 2, 4, 6, находящихся

вотношении четности к числу 2.

3)N = {1, 2, 3, 4…} - множество всех натуральных чисел, т. е.

N (читается "n является натуральным числом").n

Множество и элементы множества

15

В настоящее время существующие теории множеств различаются парадигматикой (системой взглядов) концептуального базиса и логических средств. Так, в качестве примера, можем привести две противоположные точки зрения на первичное понятие "Множество".

Агрегатная точка зрения рассматривает множество как набор вещей (по Кантору), а с атрибутивной точки зрения множеством считается свойство (атрибут) вещи.

Символическая запись этих точек зрения следующая: m M (m есть элемент множества М).

m М (m обладает свойством М).

Здесь m, М – исходные неопределяемые (первичные) понятия "элемент" и "множество" а отношение принадлежности (инци-

дентности) и предикации относятся к первичным (неопределяемым) отношениям.

Фундаментальное понятие «множество», как первичное понятие, не имеет прямого определения, но, тем не менее, оно широко применяется в математике, например, точка, прямая и т.п.. При чем любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества.

Согласно Г.Кантору (одному из основоположников "наивной" теории множеств), множеством (конечным или бесконечным), является неупорядоченная совокупность строго различимых (дискретных) объектов (агрегатов) для каждого из которых можно установить принадлежность его данному множеству.

Дискретная математика базируется на понятии множества. Мир является единым гармоничным целым, но для его анализа и исследования целесообразно его представлять как совокупность объектов. Выделение объектов производится мысленно или интуитивно по определенным признакам.

Пример 1.

А. По признаку принадлежности к МГСУ можно сформировать множество M – коллектив МГСУ.

Б. По признаку студент факультета ИСТАС создать множество S - студенты факультета ИСТАС.

В. Совокупности вершин и диагоналей в многоугольнике. Г. Множество зайцев в лесу Московской области и т.д. и т.п.

16

Д. Решение квадратного уравнения есть множество, элементами которого являются корни заданного уравнения (алгоритмом установления принадлежности элемента множеству решений является его подстановка в квадратное уравнение).

Е. Все натуральные числа образуют бесконечное множество N: N = {1, 2, 3, 4, 5…….}

Ж. Все точки вещественной оси равномощно множеству всех действительных чисел R.

З. Множество, не содержащее элементов, есть пустое множе-

ство = {}.

Таким образом, объекты, объединенные по определенному признаку, образуют множество.

Как правило, множество обозначается большой буквой, часто, латинского алфавита (M, S и т.п.), а элементы, составляющие этого множества одноименными прописными буквами (m, s и т.п.).

Понятие множества

Объекты, обладающие схожими свойствами (характеристиками) можно объединить в группы.

Множество - это любое объединение или совокупность объектов, объединенных по определенным признакам (характеристикам). Или можно сказать, что множество - это совокупность вполне определенных и различимых между собой объектов любой природы, мыслимых как единое целое. Это определение полезно сопоставить с определением системы, поскольку в дальнейшем придется много заниматься с системы.

Пример 2.

Общепринятые стандартные обозначения наиболее важных множеств:

N - Множество целых положительных (натуральных) чисел - (1, 2, 3, 4, . . . ).

Z - Множество всех целых чисел - ( ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, . . . ). Q - Множество рациональных чисел.

R - Множество вещественных чисел.

C - Множество комплексных чисел.

P - Множество простых чисел (2, 5, 7, 11,. . . , . . . ). E2 - Множество, состоящее из нуля и единицы (0, 1). Pn - Множество булевых функций n аргументов.

17

На протяжении изучения всего курса будем стараться придерживаться этих обозначений.

Замечание:

Элементами множества могут быть множества.

Термин "множество" есть экспликация интуитивно явных понятий "класс", "семейство", "ансамбль", ets.

Термин "элемент" множества есть экспликация интуитивно явных понятий "участие", "член", "представитель".

Не следует связывать понятие множество с обыденным представлением о множестве, как о большом количестве. Так множество {х} есть синглетон, а пустое множество не содержит элементов.

На практике элементы множества не обязательно должны существовать одновременно.

Пример 3.

Так, следующие три объекта пространства-времени:

-студент, вчера сдавший зачет,

-он же, сегодня защитивший курсовой проект,

-он же, намеревающийся завтра сдать экзамен образуют множество из трех элементов. Предостережение:

Понятие множества и его элемента включает в себя понятие

дискретности.

Пример 4.

Можно говорить о множестве снежинок/дождинок при снегопаде/дожде, но нельзя говорить о множестве снежинок/дождинок в сугробе/луже, так как в этом случае нет дискретности.

Конечные и бесконечные множества

То, из чего состоит множество, т.е. объекты, образующие множество, называется его элементами. Элементы множества различны и отличаются друг от друга.

Как видно из приведенных примеров, число элементов, образующих множество, может быть конечно или бесконечно. В первом случае множество называется конечным, так как оно содержит конечное число элементов, а во втором случае бесконечным.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

Принято его обозначать символом . Пустое множество по определению входит в число подмножеств любого множества.

18

Если элемент т принадлежит множеству М, то используется запись включение m M ,которое указывает, что т является эле-

ментом множества М. В противном случае - запись m M указывает на то, что т не является элементом множества М.

Пример 5.

Множество степеней 2, заключенных между 1 и 10 – {1, 2, 4, 8} Множество адресуемых ячеек памяти компьютера. Множество программ исполнимых компьютером. Множество тактов работы процессора.

В компьютере все множества реальных объектов конечны.

Задание множества

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае - не принадлежит.

Множество может быть задано различными способами: Перечисление элементов. Перечисление элементов применимо

только для конечного множества. Для задания множеств используются фигурные скобки { }, в которые записывают обозначения элементов множества и разделяют их запятой.

Характеристический предикат. Множество задается указанием свойств элементов Р(х), которые записываются в фигурных скобках { }, т.е при помощи характеристического предиката: М : = {m| Р(х)}. Характеристический предикат — это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение, и позволяющее проверить, принадлежит ли любой данный элемент множеству. Вообще предикат – это высказывание, содержащее одно или несколько переменных, т.е повествовательное предложение, которое может быть только истинным или ложным.

Порождающая процедура. При задании множества порождающей процедурой множество имеет вид: М: = {х | х: = f}. Порождающая процедура - это процедура, которая в процессе работы порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества.

Пример 6.

19

А. Множество М цифр десятичного алфавита можно задать в виде М = {0, 1,...,9} - перечисление элементов.

Б. М = {i|i - целое, 0 ≤ i ≤ 9 }, где справа от наклонной черты указано свойство элементов этого множества – характеристический предикат.

Множество М четных чисел можно записать в виде М = {т/т - четное число} . характеристический предикат.

В. М := {i|i := 0; for i from 0 to 9 do i := i + 1; yield i end for}, -

множество задано порождающей процедурой.

Перечислением можно задавать только конечные множества. Бесконечные множества задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.

Мощность множества

Мощность для конечного множества равна числу его элементов. Например, мощность универсума В(A) множества A мощностью n равна 2n.

Множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел, принадлежащих интервалу [0,1] имеют мощность континуума. Название «континуум» происходит от латинского слова continuum (непрерывное).

Мощность объединения множеств. Число элементов (мощность) конечного подмножества А через |А|, для мощности двух множеств А и В можем записать

|АUB| = |А| + |B| - |АIB|,

т.е. мощность объединения двух множеств равно сумме количеств их элементов за вычетом числа общих их элементов. По индукции можно вывести формулу для определения мощности объединения любого количества множеств. Для трех множеств А, В, С она имеет вид

|АUB UC| = |А| + |B| + |C| - |АIB| - |АIB| - |АIC| - |C IB| +

|АIB IC|. Для n множеств А1, ..., Аn мощность равна

|А1 UА2 U… UАn| = |А1| + |А2| + … + |Аn| -

- |А1 IА2| - … - |А1 IАn| - |А2 IА3| - … - |А2 IАn| - … - |Аn-1 IАn|

+

20