Дискретные алгоритмы текущей идентификации с инструментальными переменными
.pdfФедеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова
Решетняк Е.П.
ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ТЕКУЩЕЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ С ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Саратов 2011
1
УДК 66.0:621
ББК 30
Решетняк Е.П.
Дискретные алгоритмы текущей идентификации с инструментальными переменными / Решетняк Е.П. – Саратов: Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова, 2011. – 6 с. — опубл. 15.06.2012. — Электрон. версия печ. публ. — Доступ с сайта ЭБС IPRbooks.
2
ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ТЕКУЩЕЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ С ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Одним из эффективных является алгоритм текущей идентфикации с инструментальными переменными [1]. Математическая модель объекта
управления (ММОУ) в этом случае имеет вид:
|
|
x( t ) A x( t ) B u( t ) D x ( t ), |
(1) |
где вектор управления u(t) Rk, а вектор состояния x(t) Rn и неизмеряемый шум x(t) коррелированны. Вектор y(t) Rn+k инструментальных переменных определяется из решения следующей системы дифференциальных уравнений:
|
T |
|
|
|
|
|
y ( t ) yT ( t ) LT , |
y(0) 0 , |
|
(2) |
|
где L - квадратная гурвицева матрица размерности (n+k). |
|
|
|||
|
Алгоритм идентификации определяется следующей формулой: |
|
|||
|
|
|
T |
1 , |
|
|
[ A,B ] [( x yT )t T ( x yT )t 0 |
x yT d LT ] P |
(3) |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
где |
P x p ( ) yT ( ) d 0 , |
xТp [ xT uT ] |
|
(4) |
|
0
Недостатки алгоритма связаны с необходимостью обращения матрицы P, а
также со сложностью перестройки алгоритма при увеличении времени T для
увеличения точности идентификации. Эти недостатки преодолеваются при использовании дискретных алгоритмов.
Введем дискретное время: T = r h, где h – шаг численного интегрирования в уравнениях (3), (4). Тогда в дискретной форме уравнения (3), (4) можно
представить так:
|
|
ˆ |
ˆ |
T |
|
T |
r |
T |
T |
|
|
|
|
) ( x0 |
|
] Pr ; |
(5) |
||||||
|
|
[ Ar ,Br ] [( xr yr |
y0 |
) h xk yk |
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pr 1 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h x pk ykT , |
|
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
где |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ar ,Br - оценки матриц A, B на r –ом шаге. Выполним следующие |
|
||||||||||
преобразования. Запишем уравнение (5) для (r-1)-го шага:
3
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
1 |
|
|
|
T |
|
T |
r 1 |
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
[ Ar |
1 ,Br 1 ] Pr 1 ( xr |
1 yr 1 ) |
( x0 y0 ) |
h xk yk |
L |
или |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
T |
|
|
|
T |
) h |
T T |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
||||||
|
[ Ar 1 |
,Br |
1 ] Pr 1 ( xr 1 yr 1 ) ( x0 y0 |
xk yk |
L |
|
[ Ar |
,Br ] |
Pr |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
1 |
|
|
T |
|
|
|
T |
|
r 1 |
T T |
|
|
ˆ |
ˆ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( xr 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
[ Ar ,Br |
] Pr |
yr 1 ) |
( x0 y0 |
) h xk yk L |
[ Ar ,Br |
] Pr |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( xr yrT |
) ( x0 y0T |
) |
h xk ykT LT h xr yrT LT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
1 |
( xr 1 |
T |
|
|
|
T |
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ Ar ,Br |
] Pr |
yr 1 ) |
( xr yr |
) h xr yr |
L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Так как |
P 1 P 1 |
h x |
Рr |
yT , то последнее равенство можно записать |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r 1 |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
1 |
ˆ |
ˆ |
|
1 |
|
|
T |
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
T T |
|||
[ Ar |
,Br ] Pr |
[ Ar |
1 ,Br 1 |
] ( Pr |
|
|
h x pr yr ) ( xr 1 |
yr 1 ) ( xr |
yr |
) h xr yr |
L . |
|||||||||||||
|
|
Умножив результат на матрицу Pr слева, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ˆ |
ˆ |
|
] |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
T |
|
|
|
T |
|
|
T |
) |
|
|
[ Ar ,Br |
[ Ar 1 |
,Br 1 ] {[ Ar 1 ,Br 1 ] |
( h x pr yr |
) ( xr 1 yr 1 ) ( xr yr |
|
|||||||||||||||||||
h ( x |
r |
yT |
) LT } P . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как шаг интегрирования обычно выбирается малым, можно положить h 0, тогда рекуррентные формулы оценки параметров матриц A, B принимают вид:
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
T |
T |
(7) |
||||
[ Ar ,Br |
] [ Ar 1 |
,Br 1 ] (( xr |
yr ) ( xr 1 |
yr 1 )) Pr , |
||||||
|
Pr 1 |
Pr 11 h x pr yrT . |
|
|
|
|
(8) |
|||
Выражение (8) требует обращения матрицы |
Pr . Должно быть также |
|||||||||
известно начальное значение матрицы P0 . Для упрощения рекуррентного |
|
|||||||||
вычисления матрицы P 1 |
воспользуемся леммой об обращении матриц [2]. |
|||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого введем векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
H1r hx pr ; H2r h yr , |
|
|||||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1r H2Tr h x pr yrT . |
|
(9) |
|||||
4
Умножая обе части уравнения (8) на Pr слева, получим:
E P |
P 1 |
P |
H |
1r |
H T |
, |
(10) |
r |
r 1 |
r |
|
2r |
|
|
где Е – единичная матрица. Далее умножение уравнения (10) на Pr 1 справа дает:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
P H |
1r |
H T |
|
P |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если умножить последнее уравнение на |
|
|
|
H1r |
|
справа, то получим: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
H |
1r |
P H |
1r |
P H |
1r |
H T |
|
|
P |
|
|
H |
1r |
P H |
1r |
( 1 H T |
P |
|
|
H |
1r |
). (12) |
||||||||||||||||||||||||||||||
r 1 |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
2r |
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
r 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Умножение уравнения (12) на |
|
( 1 H T |
|
|
P |
|
|
H |
1r |
) 1 H T |
|
P |
|
|
справа дает: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
2r |
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
P |
H |
1r |
( 1 H T |
P |
|
|
H |
1r |
) 1 H T |
|
P |
1 |
P H |
1r |
H T |
|
P |
1 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
2r |
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
2r |
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||
или с учетом уравнения (11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
H |
1r |
( 1 H T |
|
P |
|
|
|
H |
1r |
|
) 1 H T |
|
P |
|
P |
|
|
P . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
2r |
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
r 1 |
|
r 1 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, рекуррентное соотношение (8) принимает вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
P P |
|
P |
|
H |
1r |
|
( 1 H T |
|
|
P |
|
|
H |
1r |
) 1 H T |
|
P |
1 |
. |
|
|
|
|
|
(13) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
r 1 |
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
2r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поскольку |
( 1 H 2Tr Pr 1 H1r ) |
|
|
|
- скаляр, |
то в формуле (13) обращения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы не требуется. Начальное значение матрицы |
|
P0 |
|
можно |
задать в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствие с рекомендациями работы [2]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
1 |
E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5
Список литературы
1.Вычислительный алгоритм идентификации с моделью. Научнотех-
нический сборник, вып.2 / Е.П. Решетняк., С.В.,Пантелеев. - Иркутск: Иркут-
ское ВВАИУ, 1979 .- C.73 - 79.
2.Методы идентификации систем / Д.Гроп. –М.: Мир, 1979. - 302 с.
6