Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

+ |А1 IA2 IA3| + … + |А1 IA2 IA3| + … + |А1 IA2 IAn| + … +

|Аn-2 IAn-1 IAn| + (-1)n-1 |А1 IA2 IA3 I … IAn|.

имеет мощность k, если оно равномощно

.

Если множество А конечно, |А| = k, то элементы А всегда можно перенумеровать, то есть поставить в соответствие элементам номера из отрезка 1..k с помощью некоторой процедуры. Наличие такой процедуры подразумевается, когда употребляется запись А = {а1,...,аk}.

По определению ← →def = 0 .

Мощность множества М это число его элементов, обозначает-

ся как M . Здесь |М| - количество элементов конечного множества М, в дальнейшем называемое мощностью множества

Пример 7

Множество натуральных чисел бесконечно, N = ∞ |, посколь-

ку оно равномощно своему собственному подмножеству чётных чисел.

ТЕОРЕМА 1. Любое непустое конечное множество равномощно некоторому отрезку натурального ряда:

A A ≠ A < ∞ k N |А| = |1...k|.

Доказательство

Рассмотрим следующую программу. i = 0 { счётчик элементов }

wihle A ≠ do

select x A { выбираем элемент } i = i + 1 { увеличиваем счётчик }

x ai { ставим элементу в соответствие номер } А: = А - x { и удаляем элемент из множества } end while

Если эта процедура не заканчивает работу, то она даёт соответствие А ~ N. что невозможно ввиду конечности А. Значит,

21

процедура заканчивает работу при i = k. Но в этом случае построено взаимно-однозначное соответствие А~1..k.

ТЕОРЕМА 2. Любой отрезок натурального ряда конечен:

n N 1...n < ∞.

Доказательство

От противного. Пусть существуют бесконечные отрезки натурального ряда. Рассмотрим наименьшее п такое, что |1..п| = ∞. Тогда отрезок 1..п, равномощен некоторому своему собственному подмножеству А, |1..п| = |А|, то есть существует взаимнооднозначное соответствие f из отрезка 1..п в подмножество А. I:

Обозначим i := f (n). Рассмотрим соответствие из отрезка 1..n-1 в его собственное множество А - i, задаваемое следующим правилом:

x ai if f(x) < i then f(x) else f(x) -1 end if.

Это соответствие является взаимно однозначным, а значит, отрезок 1..n-1 является бесконечным, что противоречит выбору n.

СЛЕДСТВИЕ. Различные отрезки натурального ряда неравномощны:

n ≠ т => \1..п\ ≠ |1..т|.

Доказательство

Пусть для определённости п > т. Тогда 1..m 1..n &1..m ≠1..n . Если |1..п| = |1..т|, то |1..т| = ∞, что противоречит теореме.

Условия равенства (неравенства) множеств

Множества Ма и Мb совпадают (равны), если у них одни и те же элементы. Символически это запишется следующим образом:

Ма = Мb Ма Мb и Мb Ма

Если множество Ма - подмножество множества Мb и множество Мb - подмножество множества Ма, то оба этих множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются

равными: Ма = Мb.

Подмножество, собственное подмножество

A B означает, что A B и А не равно В ( A ≠ B ). Если

A B , то множество А называется собственным подмножеством множества В, а множество В — собственным надмножеством множества А.

22

Покажем, что пустое множество является подмножеством лю-

бого множества А. Допустим, что утверждение A ложно, т.е. существует хотя бы один элемент х, который принадлежит

множеству , который не является элементом множества А. Но

множество не имеет элементов. Значит, утверждение A истинно.

Пример.

1.Множество А = {а, b, с} является собственным подмножеством множества B = {а,b,с,d,е}.

2.Множество студентов юридического факультета — подмножество множества всех студентов университета.

3.Множество четных натуральных чисел является собственным подмножеством множества всех натуральных чисел.

4.Множество натуральных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество целых чисел — подмножеством множества всех рациональных чисел.

Пусть U – некоторое множество, тогда В(U) – множество всех подмножеств множества V. В этом случае множество U называют универсальным, а множество В(U) – множеством-степенью или булеаном множества U. Например, если [U = {1,3, 5}, то В((U) =

{, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3,5},{1,3,5}}.

Множество М', каждый элемент, которого является элементом другого множества М, называется подмножеством данного множества М. Таким образом, множество М' называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда любой элемент множества М' принадлежит множеству М:

Множества М' и М могут совпадать. Невключение подмноже-

ства М' в множество М обозначается так: M ′ M .

Для выделения подмножества Ма Мb можно использовать какое-либо свойство присущее только элементам из Ма.

23

Символическая запись А М (здесь - символ отношения включения всех элементов А в М).

Графической интерпретацией этого отношения между множеством может быть диаграмма, или индикатором (характеристической функцией):

( ) 1,if x A

fA x = 0,if x A

x A, x M, A M f: M → {0,1}.

Логическая экспликация понятия подмножества А множества

здесь метасимволы ~ и → следует считать соответственно как "эквивалентность" и "если…то".

Замечание:

1) Говорят что индикатор fA(х) множества А, определенный на множестве М, задает четкое подмножество А множества М (индикатор множества условно записывают fA(х): М → {0,1}).

Пусть M = {x1,x2,x3,x4,x5}, A = {x2,x3,x5}. Так как A ‹‹не строго содержится ›› в M, то, используя понятия характеристической функции множества A, имеем:

A={‹x1,0›, ‹x2,1›, ‹x3,1›, ‹x4,0›, ‹x5,1›}.

В этом выражении множество есть множество кортежей, первой компонентой которых являются элементы множества M, а второй компонентой – принадлежности элемента множества M множеству A.

2) Если степень принадлежности множества M множеству A есть субъективно множественная оценка

( ) 1,if x A

fA x = 0,if x A

то говорят о нечетком подмножестве A множества М (множество

Мвсегда четко!).

3)(A B) ~ (( xU):

Пример 8.

1)Такие понятия, как холодно-жарко, дорого-дешево, краси-

вый-уродливый, не могут выступать в качестве критериев четко-

24

го множества. Множество студенток-красавиц ИСТАС, есть нечеткое подмножество A всех студенток ИСТАС M, т.е. A ‹‹не строго содержится в›› M, (очевидно, что понятие "красавица" для каждого человека субъективно и, следовательно, степень его оценки той или иной студентки различна).

2) Пусть M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Привести подмножество

"большие цифры". Возможный вариант: A={‹0,0›,‹1,0›,‹2,1/1000›,‹3,1/100›,‹4,1/10›,‹5,0.5›,‹6,0.6›,‹7,0.7›,

‹8,0.9›,‹9,1›}. Здесь первая компонента каждого кортежа есть цифра множества M, а вторая компонента этих же кортежей есть степень принадлежности цифры к искомому подмножеству.

Кортеж

Определение. Пусть даны множества Х1 ,Х2, ...,Хn кортежем длины п, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность α = { х1 ,х2, ...,хn }, где для всех k,

1 ≤ k ≤ п, имеем хk Хk

Элемент хk называется k-й координатой или k -й компонентой кортежа α.

Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны, т.е. кортежи α = { х1 ,х2,

...,хm } и β = { y1 ,y2, ...,yn } равны только в том случае, когда т = п,

причем хk = уk для всех 1 < k < п.

Кортежи длины два называют упорядоченными парами, длины три – упорядоченными тройками, длины n — упорядоченными n-ками. Для краткости речи слово «упорядоченные» часто опускают.

Кортеж, не содержащий ни одной координаты, т.е. кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества следующие: а) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае,

когда они имеют одинаковый состав; б) в множестве все элементы различны, а в кортеже координа-

ты могут повторяться.

В дальнейшем, чтобы различать множества и кортежи, будем элементы множества заключать в фигурные скобки, а координаты кортежа – в угловые.

25

Пусть А1, А2, ..., Аn – некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из кортежей вида

<а1, а2,..., an>, где а1 A1, а2 A2; а3 A3,; ...; аn An,. Декарто-

во произведение обозначается так:А1 × А2 × ... × Аn. Произведение А × А × ... × А ( п раз) сокращенно обозначается

как Аn и называется декартовой n-й степенью множества А. Таким образом, подводя итог выше сказанному, можем дать

следующее определение.

Конечная последовательность, допускающая повторения элементов данного множества (или данных множеств), называется кортежом (n-кой, вектором, набором, упорядоченным множеством).

Условно кортеж записывают в угловых скобках ‹a,b,c›.

Пример 9.

1.Слово в алфавите A есть кортеж.

2.Команда в программе для ЭВМ есть последовательность символов из алфавита языка программирования.

3.Алфавит русского языка есть кортеж.

4.Программа для ЭВМ есть кортеж команд.

5.Координаты точки в n-мерном пространстве образуют кор-

теж.

Отметим следующее:

1.В условной записи кортежа элементы, его образующие, называются компонентами (координатами).

2.Число компонент кортежа называется его длиной. Так принято кортеж длиной два ‹a1,a2› называть парой (или упорядочен-

ной парой), кортеж длины три ‹x1,x2,x3› - тройкой. В общем слу-

чае ‹a1,a2› ≠ ‹a2,a1›.

3.Кортеж длины n можно интерпретировать как n-мерный вектор, или как точку в n-мерном пространстве, а каждую компоненты кортежа можно рассматривать в этом случае как проекцию вектора на соответствующую ось.

Символический язык содержательных теорий множеств

В процессе изучения курса будем различать объектный язык теории множеств и метаязык, средствами которого изучается объектный язык.

Под языком теории множеств будем понимать реляционную систему, основным множеством которой являются символы ал-

26

фавита A, а отношения позволяют получать синтаксически правильные языковые выражения, среди которых выделяют формулы F.

ственным подмножеством в Мb. Таким образом, если множество М' - подмножество множества М, а множество М не является подмножеством множества М', то множество М' называется собственным подмножеством множества М.

Для обозначения этого факта будем использовать двойной

знак включения подмножеств , т.е. писать M ′ M . ТЕОРЕМА. Множество, имеющее бесконечное подмножество,

бесконечно:

(B A& B = ∞) ( A = ∞).

Доказательство

Множество В бесконечно, значит, C C B & C = B & C ≠ B ,

причем C A& C ≠ A . Далее, |В| = |С|, то есть существует вза- имно-однозначное соответствие В ~ С из множества В в его собственное подмножество С. Обозначим это соответствие х → х'. Построим соответствие из множества А в его собственное подмножество:

x B then х' else х end if .

Другими словами, на элементах из В мы пользуемся заданным соответствием, а остальным элементам сопоставляем их самих. Это взаимно-однозначное соответствие из множества А в его собственное подмножество, и значит |А| = ∞.

СЛЕДСТВИЕ. Все подмножества конечного множества конечны.

Добавление и удаление элементов

Если А — множество, а х — элемент, причем x A, то элемент х можно добавить в А:

A + x →def { y y A y = x} .

27

Аналогично, если А – множество, а x - элемент, причем x A, то элемент х можно удалить из А:

A− x →def { y y A y ≠ x} .

При удалении и добавлении конечного числа элементов конечные множества остаются конечными, а бесконечные – бесконечными.

Операции добавления и удаления элементов являются частными случаями операций объединения и разности, и потому, строго говоря, излишни. В стандартных учебниках по теории множеств такие операции не рассматриваются и не упоминаются. Здесь они введены для упрощения обозначений. Такой подход акцентирует «программистское» отношение к математике: мы сводим новые операции, если это практически удобно, даже если это теоретически излишне.

Булеан и универсумом

Для каждого множества М существует множество, элементами которого являются подмножества множества М и только они. Такое множество будем называть семейством множества М или булеаном этого множества и обозначать В(М), а множество М — универсальным, универсумом или пространством и обозначать 1.

Пример 10.

Образовать булеан В(1) от универсума 1 = {у, х, а}.

Решение. Первым множеством является пустое множество , не содержащее ни одного элемента. Затем образуем множества, содержащие по одному элементу – их будет равно числу сочета-

ний C11 , затем множества, содержащих по два элемента, которых

будет C12 , и, наконец, множество, содержащее все элементы

множества 1. В рассматриваемом случае В(1)= { ,{у}, {х}, {а}, {у,х}, {а,х}, {а, у}, {у, х, а}}.

Мощность |В(М)\ булеана от универсумома М равна 2|M|, т.е. \В(М)\ = 2\М\.

Диаграммы Венна (круги Эйлера)

Джон Венн (1834-1923) Леонард Эйлер (1707-1783).

28

Множество также часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера. Например, задание множества {{а, b, с}, {b, d, е}} в

пространстве 1 = {а, b, с, d, е} приведено на рисунке, где замкнутая линия, называемая кругом Эйлера, соответствует одному из рассматриваемых множеств и ограничивает его элементы, при этом

рамка, в верхнем правом углу которой стоит 1, ограничивает элементы пространства. Другие способы задания множеств будут рассмотрены по мере необходимости.

На рисунке приведены диаграммы Венна (называемые также иногда кругами Эйлера), иллюстрирующие операции над множествами. Сами исходные множества изображаются фигурами (в данном случае овалами), а результат графически выделяется (в данном случае для выделения использована штриховка).

Ограниченные множества. Границы множеств

Пусть на некотором множестве X задана числовая функция f(х). Верхней гранью (границей) функции f(х) называется такое число С, что для любого элемента x X С≥f(х). Нижней гранью (границей) функции f(х) называется такое число d, что для любого элемента x X d≤f(х).

Границы С, d оценивают значение функции f(х) сверху и снизу. Или пусть X – частично упорядоченное множество. Е – под-

множество множества X, то есть E X .

Элемент y X является верхней (нижней) границей множе-

ства Е, если для любого x E справедливо неравенство x ≤ y (x ≥ y). Совокупность всех верхних границ Е будем обозначать Еs, а всех нижних границ – через Еi. В случае, когда Еs (Еi) не пусто то, говоря, что Е ограничено сверху (снизу).

Пусть X - частично упорядоченное множество, Е — подмножество множества X.

Элемент y X есть верхняя {нижняя} граница множества Е,

если для любого x X справедливо неравенство х ≤ у (соответственно, х ≥ у).

29

Точная верхняя (нижняя) граница

Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Еs, всех нижних границ - через Еi. В случае, когда Еs (Еi) непусто, говорят, что Е ограничено сверху {снизу). Если элемент z при-

надлежит пересечению E IEs (соответственно, E IEi ), то он

является наибольшим {наименьшим} элементом множества Е. Выражение типа (Еs)i эквивалентно Еsi. Непустота пересечения

Es IEsi { Ei IEis } означает, что среди верхних (нижних) границ Е имеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной верхней {нижней) границей, или верхней {нижней) гранью множества Е.

Утверждение. Пересечения Es IEsi { Ei IEis } не могут содержать более одного элемента

Доказательство.

Пусть x, y Es IEsi . Тогда х ≤ у, поскольку y Es x Esi . Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x А тогда х = у.

Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна. Точная верхняя граница (supremum) множества Е обозначается символом sup Е, точная нижняя граница (infimum)

— символом inf Е.

Если элементы Е занумерованы с помощью некоторого мно-

Если Е состоит из конечного числа элементов х1, х2, ..., хn, то пишут

sup Е = x1 x2 ... xn или sup Е = kn=1xk

n

inf Е = x1 x2 ... xn или inf Е = i=1xk .

Основные свойства верхних и нижних границ в произвольном частично упорядоченном множестве X.

1. Если E1 E2 то E1s E2s , E1i E2i .

30