Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

4.Когда множество считается заданным?

5.Какое множество называется пустым?

6.Когда множества равны?

7.Равны ли множества А = {а, b, с, d}, В = {а, b, с, d}?

8.Что такое семейство множеств?

9.Из скольких множеств состоит семейство А = {{0}, {1,2}, {1,2},{0}}?

10.Принадлежит ли элемент 2 множеству A={{1,2}, {1,2,

3}}?

11.Дайте определение включения множеств.

12.Является ли множество A = {х |0 ≤ х ≤ 1} подмножеством

В= {х| 1≤ х≤ 3}, подмножеством С = {х |-3 ≤.х ≤2}?

13.Какое минимальное число подмножеств имеет не пустое множство?

14.Запишите все подмножества множества А = {1, 4}.

15.Перечислите все элементы индексированного множества Z = {zi|1≤i≤3}. Запишите индексное множество.

16.Какие множества называются конечными? Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

17.Дайте определение разбиения множества. Приведите все разбиения для множества А = {a, b, с}.

18.Какие множества называются эквивалентными? В каких случаях эквивалентны конечные и бесконечные множества?

19.Дайте определение счетного множества.

20.Что такое мощность множества? Дать определение.

21.Как можно представить строительную машину методами дискретной математики?

22.Что такое изоморфизм и его функции в дискретной математике?

23.Как можно представить строительный процесс методами дискретной математики?

24.Назовите основные аксиомы теории множеств.

32

Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным.

Н. И. Лобачевский

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

После того как введено понятие множества, возникает задача конструирования новых множеств из уже имеющихся, то есть определить операции над множествами.

Рассмотрим пространство 1 и определим в нем четыре опера-

ции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение.

Объединение

Объединением Ma UMb , двух множеств Мa и Мь является

множество М, состоящее из элементов множества Мa и из элементов множества Мь:

М = Ma UMb = .{ mi mi Ma или Mb }

Объединением множеств А и В называется множество, в состав которого входят те и только те элементы, которые входят в состав

Пример 1.

1. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {1, 3, 4, 6}, тогда A U B = {1, 2, 3, 4,

6}.

2. Пусть Ч – множество всех четных натуральных чисел, а H – множество всех нечетных натуральных чисел, тогда Ч U Н = N, где N – множество всех натуральных чисел.

Пересечение

Пересечением Ma IMb двух множеств Мa и Мь является,

множество М, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству Мa, так и множеству Мb.

М = Ma IMb = { mi mi Ma и Mb }

Часто союз «и» заменяют знаком &:

33

М = Ma IMb = { mi mi Ma & Mb }

Пересечением множеств A I B называется множество, которое состоит из элементов, входящих в состав как множества А, так и множества В. Полученное множество обозначается A I B , т.е.

A I B = {a a A и a B}.

Если A I B = , то множества А и В называются непересе-

кающимися. Пример 2.

Пусть А, В, Ч, Н означают множества из предыдущего примера, тогда:

•A I B = {1,3};

•Ч I Н = ;

•Ч I Н =Ч ;

•N IЧ =Ч .

Пример 2.

Пусть А — множество прямых, которые проходят через точку а некоторой плоскости, а В — множество прямых, которые проходят через точку b этой же плоскости. Тогда

прямая, которая проходит через точки а и b.

Операции пересечения и объединения допускают следующее

обобщение. Пусть задано семейство множеств { Ai}i I . Тогда

UAi ={x i Ix Ai }

i I

IAi ={x i Ix Ai }

i I

Если пересечение пустое множество М = Ma IMb = , то

такие множества называются непересекающимися.

Разность

Разностью Мa\Мb множеств Мa и Мb является множество М, состоящее из элементов, принадлежащих множеству Мa и не принадлежащих множеству Мa:

М = Ma \ Mb = { mi mi Ma & mi Mb }

34

В данном случае Ма не обязательно должно являться подмножеством Ма, но если оно является подмножеством, то разность

Мa\Мb означает дополнение к Мb в Мa.

Разностью множеств А и В называется множество B\А = {a | а В и а А}. Очевидно, что В \ А = В\ ( A I B ). Если A B , то

В \ А называется дополнением множества А в множестве В и обозначается А'B или просто А', когда В можно определить по контексту.

Симметрическая разность:

Симметричной разностью множеств А и В называется мно-

жество

A ÷ B = (A \ B)U(B \ A).

Дополнение:

M ={x x M} ;

Операция дополнения подразумевает, что задан некоторый

универсум U (1): M =U \ M . В противном случае операция дополнения не определена.

Двуместные операции

Введенные операции объединение, пересечение, разность, являются двуместными.

Рассмотрим операцию дополнения, являющуюся одноместной.

Рис.2

35

Дополнением (разность) М ={mi mi M} множества М яв-

ляется множество

М ={mi mi M}

Операции объединения, пересечения, разности и дополнения проиллюстрированы на рис. 2, а, б, в, г соответственно; результирующее множество каждой операции, изображено заштрихованной областью.

Порядок выполнения операций

Используя эти операции, можно выражать одни множества че-

рез другие, при этом сначала выполняется одноместная опера-

ция дополнения, затем пересечения и только затем операция объединения (разности). Для изменения этого порядка в выражении используют скобки.

Пример

Рассмотрим операцию дополнения множества, являющегося пересечением множеств Мa и Мb. Ее результат совпадает с объединением дополнений этих множеств М = Ma IMb = Ma UMb ; в

этом можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера.

Таким образом, множество можно задать выражением, в которое входят идентификаторы (указатели) множеств, операции и, быть может, скобки. Такой способ задания множества называется

аналитическим.

универсум U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, то A ={0,4,5,6,7,8,9},

B ={0,1,2,6,7,8,9}.

Теоретико-множественные тождества

Законы операций над множествами

Законы для объединения и пересечение:

1.АUA = А

2.АIA = А

36

3.АUВ = ВUА

4.АIВ = ВIА

5.АU(B UC) = (A UВ) UC

6.АI(B IC) = (A IВ) IC

7.АI(B UC) = (A IВ) U(A IC)

8.АU(B IC) = (A UВ) I(A UC)

9.АUU = U

10.АI =

11.АIU = А

12.АU = А

Законы для дополнений:

1.ненеА = А;

2.АUнеА = U

3.АIнеА=

4.не(АUВ) = неАIнеВ

5.не(АIВ) = неАUнеВ

6.неU =

Законы для разностей множеств:

1.А\В = АIВ

2.U\А = неА

3.А\U =

4.А\ = А

5.\А =

6.А\А =

7.((А\В)\С) = А\(ВUС)

8.А\(В\С) = (А\В) U(АIС)

9.АU(В\С)=(АUВ)\(С\А)

10.АI(В\С)=(АIВ)\(АIС)

Каждое из написанных выше равенств, верно для любых входящих в них множеств, называют теоретико-множественными тождествами.

Существует три метода их доказательств: - метод двух включений

37

-метод эквивалентных преобразований

-метод характеристической функции.

Метод двух включений является универсальным и наиболее часто применяемым методом доказательства теоретикомножественных тождеств.

Ниже приведены примеры доказательств этими методами.

Пример 1. (метод двух включений)

Докажем один из законов для дополнений:

не(АUВ) = неАIнеВ.

Доказательство. (метод двух включений)

Пусть х не(АUВ). По определению операции дополнения это означает, что х АUВ, но х U. Следовательно, х А и одновременно х В. Таким образом, х неА и х неВ. Из определения операции пересечения получаем, что х (неАIнеВ). Поэтому, учитывая произвольность элемента х не(АUВ), имеем

не(АUВ) неАIнеВ.

Пусть теперь х неАIнеВ. Это значит, что х неА и х неВ. Таким образом, х А и х В. Поэтому х АUВ. Следовательно, х U\ (АUВ)= не(АUВ). Поскольку х — произвольный элемент из неАIнеВ, то окончательно получаем неАIнеВ не(АUВ).

Приходим к выводу, неАIнеВ=не(АUВ), что требовалось до-

казать.

Пример 2. (метод эквивалентных преобразований)

Докажем один из теоретико-множественного тождество:

AI(B C)= (AIB) (AIC)

Доказательство (метод эквивалентных преобразований)

Доказательство каждого из остальных перечисленных законов произвести самостоятельно используя определения операций над множествами определение равенства множеств т.е. множество А равно множеству В, если они состоят из одних и тех же элементов.

Задание

1. Записать множество целых чисел при помощи характеристического предиката от т до п.

Ответ: m...n = {k N m ≤ k k ≤ n}

38

2.Записать множество натуральных чисел N при помощи порождающей процедуры

Ответ: М := {i|i := 0; for i from 0 to 9 do i := i + 1; yield i end for},

3.Доказать R I(S UT ) = (R IS )U(R IT )

4.Доказать R U(S IT ) = (R US )I(R UT )

5.Дано: множества - А: = {1,2,3}, В: = {3,4,5} и универсум U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Определить объединение, пересечение, разность, симметрическую разность множеств А и В, а также дополнение к этим множествам.

Покрытие и разбиение множеств

Разбиением множества А называется семейство Аi i I непус-

ются классами разбиения.

Пример. Разбиения множества А = {1, 2, 3. 4}. {1, 2}, {3, 4} и {1}, {2, 4}, {3}. Все объединения разбиений дают множество А, а все их пересечения пусты.

Если множество А представляет собой объединение подмножеств А1, А2, ..., Аn ..., то совокупность подмножеств {А1, А2, ..., Ап,

...} называется покрытием множества А.

множества M, если каждый элемент его принадлежит хотя бы одному из E i :

M UEi x M i I x Ei

i=1

Семейство Е называется дизъюнктным если элементы этого семейства попарно не пересекаются, т.е. каждый элемент множе-

ства M принадлежит не более чем одному из множеств Ei :

i, j I i ≠ j Ei IEj =

39

Дизъюнктное покрытие Ε называется разбиением множества M. Если же совокупность подмножеств покрытия множества

А такова, что Ai I Aj =

Ап, ...} называется разбиением множества А, а подмножества Аi

— классами этого разбиения, (i = 1, 2, ... ,n, ...).

Пример

Пусть А — множество всех студентов МГСУ, которые его закончили, а Аi — подмножество тех студентов МГСУ, которые закончили i-й факультет этого вуза.

Поскольку не исключена возможность, что некто из множества студентов А закончил несколько факультетов данного вуза, и такой человек попадает в несколько соответствующих подмножеств совокупности, то ясно, что совокупность подмножеств А1, А2, …,Ak, является покрытием множества А.

Если же взять совокупность всех студентов МГСУ, которые учатся в данное время, то совокупность студентов А1, А2, …,Ak` является, очевидно, разбиением множества всех студентов данного вуза, которые учатся в данное время.

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называют уни-

версальным множеством. Пример.

Для арифметики универсальным множеством служит множество действительных чисел, так как натуральные, целые и рациональнее числа являются его подмножествами.

Рассмотрим два конечных множества А и В с числом элементов т и п. Между этими числами возможно одно из трех соотношений: т = п; т < п; т > п. Вопрос о том, какое из них имеет место, решается просто: подсчетом количества элементов А и В. Однако можно поступить иначе, не считая эти элементы. Для этого между элементами множеств А, В необходимо попытаться установить взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В соответствует один и только один элемент множества А.

Иными словами, каждому элементу множества А необходимо «поставить в пару» элемент множества В. Такое соответствие

40