Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

Из элементарной математики хорошо известны формулы со-

кращенного умножения:

(а+b)2 =а2 +2аb+b2 и (а+b)з=аз+За2 b + Заb2 + bЗ.

Число всех k–элементных подмножеств n-элементного мно-

альным коэффициентом, исходя из следующей формулы для n-й степени бинома (x+y).

(x+y)n = У nk xk yn-k

Чтобы убедится в истинности этой формулы, достаточно заметить, что коэффициент при xk yn-k равен числу способов которыми из n сомножителей (x+y) можно выбрать k сомножителей.

С числами Cmn связано функциональное тождество, называе-

мое формулой бинома Ньютона. Из элементарной математики

хорошо известны формулы сокращенного умножения:'

(а + b)2 = а2+ 2аb +b2, (а + b)3 = а3 + За2 b + Заb2 + b3.

Эти формулы можно записать так:

(a + b)2 = (C02 a2 b0 + C12 аb + C02 а0 b2;

(а + b)3 = C02 a3 b0 + C13 а2 b1 + C23 а1 b2 + C33 а0 b3.

Имеет место и общая закономерность: справедливо равенство:

(а + b)n = C0n аn b0 + C1n аn-1 b1 + C2n аn-2 b2 + ... + Cnn а0 bn.

Это равенство и называется биномом Ньютона, а коэффициен-

ты C0n, C1n, C2n,..., Cnn называются биномиальными коэффициентами.

Если положить, а = b = 1, то из формулы бинома Ньютона вытекает следующее важное соотношение: (1 + 1)n = C0n + C1n + C2n + ... + Cnn = 2n - формула суммы биномиальных коэффициентов.

Если положить в биноме Ньютона а =1, b = -1,то

C0n - C1n + C2n - ... +(-1)n Cnn = 0 .

Поскольку Cmi = Cmm−i , то биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов в формуле бинома Ньютона, равны.

Все свойства хорошо просматриваются из треугольника Паскаля.

91

Доказательство.

Процесс построения всех разбиений множества M на k непустых частей, характеризуемых набором чисел (l1, l2, . . . ., ln), l1 + l2 + . . . . + ln = k, можно представить следующим образом.

Возьмем п упорядоченных ячеек и разобьем их на k; подмножеств, характеризуемых данным набором чисел (l1, l2, . . . ., ln). Эти подмножества занумеруем числами 0, 1, ..., k - 1. Разместим в этих ячейках элементы а1, ..., aп. Очевидно, что разбиение ячеек на подмножества структуры (l1, l2, . . . ., ln) порождает разбиение элементов а1, ..., aп на подмножества такой же структуры. Последнее задается набором (б1, б2, ..., бп), где бi — номер подмножества разбиения ячеек, которому принадлежит элемент бi Производя различные размещения элементов а1, ..., aп, по ячейкам, получим все разбиения множества M на k непустых частей данной структуры (l1, l2, . . . ., ln). При этом два размещения определяют одно и то же разбиение множества M тогда и только тогда, когда для соответствующих им наборов (б1, б2, ..., бп) и (б1, б2, ..., бп) выполнено условие

kn = ∑ k r!S (n, r) r=1 r

Если сравнить соответствующие слагаемые в (15) и (18), то можно увидеть, что они выражают одно и то же число. Отсюда получаем еще одно явное выражение для S(n,r) (n, r>0)

Эта формула не пригодна для практических вычислений S(n,k), так как она предполагает знание всех решений.

Эффективный способ вычисления чисел Стирлинга 2-го рода и изучение их свойств связаны с установлением ряда реккурентных соотношений для S(n,k).

Теорема. S(m,n) = S(m-1,n-1) + n S(m-1,n)

Комбинаторные числа можно изучать двумя способами: тео-

ретико-множественным и алгебраическим.

Числа Стирлинга 2-го рода (Джеймс Стирлинг (1699-1770))

93

Комбинаторные числа S(n,k) называются числа Стирлинга 2-го рода, а комбинаторные числа B(n) - числами Белла. Эти числа связаны соотношением:

n

B(n) = ∑S (n, k )

k=0

Число разбиений m-элементного множества на n блоков назы-

вается числом Стирлинга второго рода и обозначаются S(m,n)

Найдем явную формулу для определения чисел Стирлинга 2- го рода S(n,k).

По определению

Числа Стирлинга 1-го рода

Число сюръективных функций, то есть число размещений m предметов по n ящикам, таких, что все ящики заняты, называется

числом Стирлинга первого рода и обозначаются s(m,n).

Число Белла (Эрик Темпл Белл (1883-1960))

Число всех разбиений m-элементного множества называется числом Белла и обозначается B(m):

Числа Белла:

B(0) = 1

B(1) = 1

B(2) = 2

B(3) = 5

B(4) = 15

B(5) = 52

B(6) = 203

Также существуют число Белла B(n), которое означает число всевозможных вариантов разбиения множества M на непустые подмножества.

n

B(n) = ∑S (n, k ))

k=0

Утверждение 1. Для определения S (n,k) существует рекур-

рентная формула S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k).

94

Доказательство. M: card (M) = n M = {a1,a2,…,an}\

M {an}

Существует два способа присоединения {an} к M:

1)Пусть M было разбито на k-1 непустых подмножества, тогда

{an} можно было бы присоединить отдельным k-м подмножеством.

2)Множество M {an} было разбито на k непустых подмножества, тогда элемент {an} можно было бы присоединить к любому из уже существующих подмножеств. Всего k вариантов.

Метод производящих функций

Этот метод используется для перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств. Исходным пунктом являются последовательность {ai} комбинаторных чисел и последовательность функций {φi(x)} (i = 0, 1, …).

Рассмотрим ряд

∞

∑aiϕi (x),

i=0

который, в случае, когда последовательность {ai} конечна, т.е. 0 ≤ i ≤ n, будет многочленом.

При определенных ограничениях данный ряд будет сходящимся и тогда он в некоторой области будет задавать функцию

F(x):

∞

F(x)= ∑aiϕi (x)

i=0

Эта функция называется производящей функцией.

Пример 1.

В этом случае имеем

(1+ x)n = ∑i=n0 in xi

95

В качестве производящей функции здесь будет бином Ньюто-

на.

С помощью производящей функции установим тождество

Сравнивая коэффициенты при xn, получим

Пример 1.

Применение метода производящей функции, когда функция определяется степенным рядом.

Последовательность чисел fn называется числами Фибоначчи, задается рекуррентными соотношениями fn = fn-1+ fn-2 и f0 = f1 = 1 Возьмем φn(x) = xn (n = 0,1, 2, …). С этой последовательно-

стью связан ряд

∞

∑ fn xn

n=0

который в силу fn ≤ 2n (поскольку fn ≤ 2fn-1 ) сходится при │x│ < ½ и определяет производящую функцию F(x)

∞

F(x)= ∑ fn xn

n=0

Так как

∞

xF(x)= ∑ fn−1xn

n=1

и

96

∞

x2 F(x)= ∑ fn−2 xn

n=2

то

∞

xF(x)+ x2 F(x)= ∑(fn−1 + fn−2 )xn + x = F(x)−1

n=2

или

(1-x-x2)F(x) =1

Отсюда находим явный вид производящей функции F(x):

откуда

97

что дает явное выражение для чисел Фибоначчи.

Упражнения

1.На кафедре математики работает семь преподавателей. Сколькими способами можно составить комиссию из трех человек для приема "хвостов"?

2.В шахматном турнире принимали участие 30 человек. Каждые два шахматиста сыграли между собой только один раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

3.Сколько существует пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра:

•меньше предыдущей;

•больше предыдущей.

4.На плоскости проведено 10 прямых линий так, что никакие две из них не параллельны между собой и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Найти:

•число точек пересечения этих прямых;

•число треугольников, которые образуют эти прямые;

•на сколько частей делят плоскость эти прямые.

5.Сколько прямых можно провести через п точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой?

6.В корзине находится р белых и q черных мячей. Сколькими способами можно выложить эти мячи в ряд так, чтобы никакие два черных мяча не были рядом?

7.Сколькими способами можно:

•упорядочить множество {1, 2, ..., 2п} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

•разместить 8 тур на шахматной доске так, чтобы они не били одна другую?

•разместить 100 книжек на книжной полке (отсюда будет видно, насколько необходимы каталоги в библиотеках)?

8.В соревнованиях по метанию копья принимают участие четыре спортсмена (А, В, С, D). Сколькими способами их можно разместить в списке выходов в сектор для метания, если спортсмен В не может выходить раньше спортсмена А?

98

9.Сколько слов из пяти букв можно составить, если Х = {а, b, с, d} и буква а встречается в слове не больше двух раз, буква b — не больше одного раза и буква с — не больше трех раз?

10.Пусть Х = {а, b, с, d} — алфавит. Слово р = хуz…uv в алфавите Х называется палиндромом, если слово р = vu. . .zух равно р. Сколько палиндромов в алфавите Х существует среди слов из пяти букв?

11.Сколько разных слов можно составить перестановкой букв

вслове "чачача"?

12.Сколько целых положительных решений имеет урав-

нение

x1 + x2 + … +xт = п

Образец.

13. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение

x1 + x2 + … +xn = m

Решение. Решения данного уравнения можно интерпретировать так. Если имеем целые неотрицательные числа x1, x2, … , xn такие, что x1 + x2 + … +xn = m, то можно составить комбинацию из n элементов по m, взяв x1 элементов первого типа, x2 элементов второго типа, …., xn элементов n-го типа.

Наоборот, имея комбинацию из n элементов по m, получим решение уравнения x1 + x2 + … +xn = m (x1, x2, … , xn - число элементов первого, второго, и, соответственно n-го типа ), где все xi неотрицательные (i = 1, 2. …, n). Таким образом, между множеством всех неотрицательных решений уравнения x1 + x2 + … +xn = m и множеством всех комбинаций из n элементов по m устанавливается взаимно однозначное соответствие. Следовательно, число целых неотрицательных решений уравнения равно

Cn+−1 − = Cm+ − n m 1 n m 1

Например, если x1 + x2 + x3 +x4 =10, то это уравнение имеет

целых неотрицательных решений. 14. Вычислить:

•(а + b + с)2;

•(а + b + с)3.

99

15.Найти коэффициент при:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое комбинаторика и для чего она нужна?

2.Что называется:

—перестановкой п-элементного множества;

—размещением из п элементов по т элементов;

—сочетанием из п элементов по т элементов?

3.В чем отличие размещений от перестановок?

4.В чем отличие сочетаний от размещений?

5.Сколькими способами можно разместить три книги на книжной полке?

6.Запишите формулу для вычисления числа сочетаний элементов, используемую в формуле бинома Ньютона.

7.Как найти число перестановок с повторениями?

8.Сколько существует пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра:

—меньше предыдущей,

—больше предыдущей.

9.Сколько прямых можно провести через п точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой?

10.Сколько разных слов можно составить перестановкой букв

вслове «чачача»?

11.Вычислите: (а + b + с)2; (а + b + с)3.

100