Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

писи (x, y) F используют запись у = F(х); при этом элемент х называют аргументом или переменной, а у — значением функции

F.

Пусть X, Y - некоторые множества. Говорят, что задана функция (отображения), действующая из множества X во множество Y, если задан закон или правило f, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный эле-

мент y из Y: y = f(x).

Пример. Пусть X = R (все вещественные числа) и Y = [-1; 1]. Рассмотрим функцию y = sin x. Каждому элементу из X поставлен в соответствие элемент из Y: пусть x = р/2, тогда y = sin р/2 = 1.

Множество Y называется множеством значений функции f. Элемент y = f(x) Y называют образом элемента x при отображении f. Элемент x - прообраз элемента y под действием отображения f. Множество X называется множеством прообразов отображения f.

Пример. Для функции y = sin x: x = R - множество прообразов; Y:=[-1; 1] - множество значений функции; y = 1 - образ x = π/2 при данном отображении (y = sin π/2 = 1 ), x = π/2 - прообраз элемента y = 1 при данном отображении.

Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения. Подмножество декартова произведения на рисунках будем отмечать штриховкой соответствующих элементов.

Количество аргументов определяет местность функции. Выше были рассмотрены одноместные функции. Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определим декартово произведение п множеств.

Если множество Мx в определении функции у = F(х) является декартовым произведением множеств Мx1, Мx2, . . . , Мxn, то получаем определение п-местной функции

у = F(х1, х2, . . . , хn).

Две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции и область ее значений задается так же, как и для бинарных отношений. Если область

71

определения дf = Х и область значений сf Y, то говорят, что функция f задана на множестве Х со значениями во множестве Y, при этом f отображает множество Х во множество Y. Это отображение обозначается как f: Х → Y.

Если f — функция, то вместо < x, y > f пишут y = f(х) и го-

ворят, что y — значение, соответствующее аргументу х, или у — образ элемента х при отображении f. При этом х называют прообразом элемента у.

Назовем f — n-местной функцией из Х в Y, если f: Х→Y. То-

гда записываем y = f(х1, … хn) и говорим, что у — значение функции при значении аргументов х1, … хn.

Если функция (отображение) f сопоставляет каждому элементу x X элемент f (x) Y , то будем писать f: Х→Y (такая функция может трактоваться как отношение с тем свойством, что для каждого x X существует в R точно одна пара вида <х,y>, y Y ; для наших же целей достаточно интуитивного по-

нятия функции).

Отношение R Х×Y, т.е. множество упорядоченных пар

<х,у>, х X, у Y называется функцией тогда и только тогда, когда первые элементы этих пар не повторяются.

Пример.

Отношение не является функцией, так как оно представлено следующими парами: <1,2>, <1,3>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,2>, <4,3>. Примером функции на том же декартовом произведении является отношение <1,2>, <2,4>, <3,4>, <4,3>.

Требование неповторяемости первых элементов упорядоченных пар, представляющих отношение, гарантирует однозначность отображения, т.е. функцию f: Х→Y.

В зависимости от того, какой характер имеют множества задания функций Х и множества ее значений Y, выделяют функции числовые (Х и Y — числовые множества), функционалы (множество Х — любой природы, а множество Y — числовое), операторы (множества X, Y — любой природы).

Примеры.

72

1.Числовых функций являются все элементарные функции, например, у = х2, у = logх, у = sinх и т.д., а также их суперпозиции.

2.Функционал. Пусть в некотором городе N между двумя

пунктами А и В имеется множество дорог X, каждой из которой поставлено в соответствие время t Т передвижения по ней автомобиля. Тогда множество пар <х,t>, х X, t T — функционал от t, определенный на множестве X.

3.Примером оператора может быть телефонная книга, в которой каждой фамилии абонента поставлен в соответствие один и только один номер его телефона.

Инъекция, сюръекция, биекция

При использовании термина «отображение» различают отображение Х в Y и отображение Х на Y.

Втом случае, когда Х отображается на некоторое собственное подмножество Yс Y, — это отображение Х в Y.

Впротивном случае, т.е. когда Yс=Y, — это отображение Х на Y. Оно называется сюръекцией.

Если для любых двух различных х1, и х2 функции f(x1) и f(x2) также различны, такая функция f называется инъективной.

Функция называется биективной или взаимно однозначной, если она съюрсктивна и инъективна.

Пусть f: Х → Y. Функция f называется инъективной, если для

любых х1, х2, y, из у = f(x1) и у = f(x2) следует, что x1 = x2. Функция f называется сюръективной, если для любого элемен-

там y Y существует элемент x X такой, что у = f(х).

Функция f называется биективной, если f одновременно сюръективна и инъективна.

Если существует биективная функция f: Х→Y, то говорят, что f осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множествами Х и Y.

Суперпозиция бинарных отношений

Если f: Х→Y, а g: Y →Z, то функция F: X →Z, определенная для каждого x X формулой F(х) = g(f(х)), называется компози-

цией (суперпозицией) функции f и g, или сложной функцией.

Обратная функция

73

Для произвольных A X , B Y определим f(А) = { y Y :

существует такое x А, что у = f(х)} f -1(В) = { x X : f (x) B }.

Если f(А) = Y, то будем говорить о функции из Х на Y. Функ-

ция f:Х→Y называется обратимой (взаимно однозначной), если для произвольных a,b X

а ≠ b → f(а) ≠ f(b).Пусть задана функция f: Х → Y и сf — множество ее значений. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида <y, f-1(y)>, y ρ f образует функцию, которая

называется обратной функцией для функции f: и обозначается f-1. Обратная функция f-1 ставит в соответствие каждому элементу y ρ f его прообраз f-1(y), т.е. некоторое множество элементов.

Заметим, что для того, чтобы f-1 являлась функцией, достаточно, чтобы функция f была инъективной.

Классификация отображений

Пусть X и Y - два частично упорядоченных множества. Отображение ζ множеств X на Y есть изоморфизм (или изо-

морфное отображение), если оно взаимно однозначно и сохраняет порядок, то есть неравенства х ≤ у и ζ (х) ≤ ζ (у) равносильны.

Обратное отображение ζ-1 есть также изоморфизм.

В случае существования изоморфизма частично упорядоченные множества называются изоморфными. Изоморфные частично упорядоченные множества обычно отождествляют, поскольку с точки зрения свойств, связанных с порядком, они неразличимы.

Отображение ц называется изотопным, если неравенство х ≤ у влечет ζ (х) ≤ ζ (у). Изоморфное отображение всегда изотонно (но не наоборот!).

Взаимно однозначное отображение ω множества X на Y называется дуальным изоморфизмом, если равносильны неравенства х ≤ у и ζ (х) ≥ ζ (у). Если такое отображение существует, то говорят,

что X и Y дуально изоморфны.

Операция

Частным случаем п-местной функции у = F(х1, х2, . . . , хn) яв-

ляется п-местная операция. Под п-местной операцией On в мно-

жестве М понимается п-местная функция у = F(х1, х2, . . . , хn), у которой области определения аргументов и область значений

74

функции совпадают:М1 = М2 = ... = Мn = Му. Таким образом, п- местная операция по п элементам множества М определяет (п + 1)-й элемент этого же множества.

Алгебраической n-арной (n-местной) операцией на множестве

M называется n-местная функция у = f(x1,x2,...,xn), у которой область определения аргументов xi и область значений функции совпадают (n N).

Пояснение.

1.Тот факт, что алгебраическая операция является частным

случаем бинарного однозначного соответствия, отражается в её формальной записи f: Mn → M., т.е.:

2.Поскольку алгебраическая операция по n элементам множества M определяет (n+1) элемент этого же множества M, то n- местную алгебраическую операцию можно рассматривать и как (n+1)-арное однозначное отношение на множестве M.

3.Если f: M → M, то говорят об унарной (одноместной) ал-

гебраической операции; если f: M2 → M, то имеют в виду бинарную (двухместную) алгебраическую операцию.

Минимизации представления множества

Используя эти законы, рассмотрим задачу минимизации представления множества М с помощью операций U, I, не.

Под сложностью представления множества М будем пони-

мать число символов Мi, неМi, в задающем его выражении. Пусть в пространстве 1 = {М1, М2, М3} задано множество вида

М1 IМ2 I неМ3 UМ1 IМ2 IМ3 сложность которого равна 18. На основании законов идемпотентности, коммутативности и

Используя законы коммутативности пересечения и склеивания, имеем

75

M (M1, M2 , M3 ) = M1 IM 2 UM1 IM 3 UM 2 IM 3 UM1 IM 3 UM1 IM2

. Сложность представления уменьшилась до 10.

Согласно законам коммутативности объединения и пересечения и закону склеивания получаем M (M1, M2 , M3 ) = M1 IM 2 UM 3 UM 2 IM 3 UM1 IM2 Сложность представления уменьшилась до 7.

Согласно законам коммутативности пересечения и поглощения, имеем M (M1, M2 , M3 ) = M1 IM 2 UM 3 UM 1 IM2 Сложность представления заданного множества уменьшилась от 18 до 5.

Последовательность применения законов будем называть стратегией преобразований. Сложность представления множества, получаемого в результате применения этих законов (каждый из которых определяет эквивалентное преобразование), зависит от используемой стратегии. Найдем стратегию, всегда порождающую минимальное выражение заданного множества.

Рассмотрим алгебру AB(1),U,I, и определим множества,

которые могут быть порождены (образованы) из произвольных подмножеств М1, М2,...,Мn, называемых порождающими или об-

разующими пространства 1 с помощью операций U,I, .

i=1

вем конституентой.

Общее число различных конституент не превышает 2n. Каждой конституенте можно сопоставить двоичный набор длины п, число этих наборов равно 2n. Если некоторые конституенты равны , то общее количество конституент меньше 2n, при этом среди подмножеств найдутся хотя бы два такие, которые можно выразить одно через другое, т. е. зависимые. Например, если п =

76

Лемма 1.2. Объединение всех конституент равно 1. Представим 1 в виде

n

1 = I(Mi0 UMi1 )

i=1

и, раскрыв скобки, в правой части равенства получим объединение всех конституент.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое: декартово произведение множеств; декартова степень некоторого множества А; бинарное отношение, заданное на множестве А?

2.Что такое унарное отношение, приведите примеры.

3.Что такое бинарное отношение, приведите примеры.

4.Назовите основные свойства бинарных отношений.

5.Какое отношение называется рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

6.Какое отношение называется отношением эквивалентности?

7.Дайте определение отображения множества А во множество В. Поясните термин «мощность множества».

8.Что такое сюръекция, инъекция, биекция?

9.Дайте определение функции.

10.Чему в математике служат отношения?

77

11.Как классифицируются отношения в зависимости от числа связей между элементами множества?

12.Дайте определение бинарного отношения.

13.Что представляет собой декартово произведение мно-

жеств?

14.Выпишите декартовы произведения множеств А = {а, b}, В

={1, 3}; декартового квадрата А = {1, а}.

15.Сколько элементов включает декартовый квадрат множе-

ства A = {1, 2,...,i, ...,n}?

16.Дайте определение бинарного, тернарного и n-арного отношения в терминах множеств.

17.Что понимают под рефлексивными и антирефлексивными отношениями?

18.Как характеризуются симметричные, асимметричные и антисимметричные отношения?

19.Дайте определение транзитивного отношения.

20.Дайте определение отношения эквивалентности и приведите примеры.

21.Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Является ли отношение ≤ на множестве А = {1, 2, 3} отношением нестрогого порядка?

22.Какое отношение называется отношением строгого порядка?

23.Какое множество называется упорядоченным, полностью упорядоченным?

24.Что такое линейный порядок?

25.Дайте определение функции.

26.Является ли отношение R = {<1,а>, <1,b>, <2,а>}, определенное на декартовом произведении множеств А = {1,2}, B = {а, b}, функцией?

27.Является ли функция f(х) = х2 инъективной?

28.Что представляет собой функционал?

78

В самой математике главные средства достигнуть истину – индукция и аналогия.

Лаплас, Опыт философии теории вероятностей, М., 1908, стр.7.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторную математику часто называют комбинаторным анализом или комбинаторикой. Комбинаторика – это раздел математики, изучающий свойства объектов, составленных из конечного множества, так как комбинаторика имеет дело с конечными множествами, поэтому ее и называют иногда теорией конечных множеств.

Типичными задачами комбинаторики являются такие разделы как подсчет комбинаторных конфигураций: перестановки, разбиения множеств и чисел, биномиальные коэффициенты, производящие функции и т.д., а также алгоритмы генерирования упомянутых комбинаторных объектов, решение экстремальных комбинаторных задач (оптимизация). Классической задачей комби-

наторики является задача определения числа способов размещения в каком-то количестве «ящиков» так, чтобы были выполнены некоторые условия. Задачи подсчета числа комбинаторных комбинаций часто применяются в приложениях и составляют пред-

мет перечислительной комбинаторики. Алгоритмические про-

блемы комбинаторики изучаются также во многих прикладных дисциплинах: теории графов, теории автоматов, теории информации, теории кодирования и других.

Основные правила комбинаторики

Исходя из практики решения комбинаторных задач, можно сформулировать два основных правила, которые определяют наиболее мощные средства решения комбинаторных задач.

1. Правило сумм.

Число способов, которыми можно выбрать элементы множества A мощностью n и элементы множества B мощностью m при условии, что эти множества не пересекаются

( A I B = ), равно n+m

79

Таким образом, если элемент x может быть выбран m способами, а элемент y - n способами, то выбор, либо x, либо y может осуществляться m + n способами.

Пример. 1.

Лекции по дискретной математике посещает 30 студентов, а лекции по теории информации - 40. Сколько студентов посещают указанные лекции, если они проводятся в одно и то же время?

Решение.

Множество студентов присутствующих на лекции по дискретной математике как A = 30, а множество студентов присутствующих на лекции по теории информации как B = 40. Так как лекции происходят одновременно, то один и тот же студент не может присутствовать сразу на двух лекциях, т.е. эти множества не пересекаются, т.е. A I B = . Тогда по правилу сумм нахо-

дим, что лекции посещают 30 + 40 = 70 студентов. 2. Правило произведения.

Число способов выбора элементов множества A ×B равно n ×m, при условии, что мощность множества A равна n, а мощность множества B равна m.

Пусть имеем декартово произведение двух множеств {a,b,c}×{1,2,3,4}. Число элементов, которого равно произведению числа элементов первого множества на число элементов второго множества, в дано случае это будет 3×4 = 12. В общем случае можно сформулировать правило произведения:

Если требуется выполнить последовательно k независимых операций, и каждая может быть выполнена ni (i =1,2, ,k) способами, то общее число исходов равно их произведению n = n1 n2 ... nk.

Это правило можно обобщить и на любое число множеств.

Число элементов декартова произведения (мощность) n сомножителей равно произведению числа элементов (мощности) каждого из этих сомножителей.

Пример. 2.

Имеем 7 стульев и группу из 6 студентов. Сколькими способами можно рассадить группу?

Решение.

Согласно правилу произведения 6×7 = 42 способами.

Определение выборки

80