Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

шениях «брат х старше брата у», «операция х выполняется раньше операции у», хRх не выполняется, так как брат х не может быть старше себя, а операция х начаться раньше самой себя.

(б) транзитивно, если (xRy yRz) xRz произвольных x, y, z X ,

Отношение R на множестве Х является транзитивным, если для всех x, y, z X из соотношений хRу, уRz следует хRz. На-

пример, в отношении «операция х предшествует операции y, а операция у предшествует операции z из хRу и уRz следует хRz.

-город x связан с городом y шоссейной дорогой – между городом y и z

-студент x ровесник студенту y

-треугольник x подобен треугольнику y

-действительное число x больше действительного числа y

(в) симметрично, если xRy yRz для произвольных x, y X ,

Отношение R на множестве Х является симметричным, если для всех х,у Х из хRу следует уRх. Например, в отношениях «х похож на у», «операция х несовместима с операцией у» имеет место как хRу, так и уRх. Действительно, если х похож на у, то у похож на х, если операция х несовместима с у, то операция у несовместима с х.

-прямая х перпендикулярна у (не рефлексивно).

-студент х приходится соседом у (не рефлексивно) .

(в1) антисимметрично, если xRy yRz x = y для произ-

вольных x, y X .

Отношение R на множестве Х является антисиммитричным, если соотношения хRу и уRх выполняются тогда и только тогда,

когда х = у для всех x, y X . Например, в отношении «опера-

ция х является частью операции у» имеет место хRу и уRх только тогда, когда х = у.

- бинарное отношение включения множеств

(в2) асимметрично, если xRy yRz x = y для произвольных x, y X .

Отношение R на множестве Х является асимметричным, если из двух соотношений хRу, уRх одно не выполнено для всех

51

x, y X . Например, в отношениях «х подчиняется у», «операция

х выполнена раньше операции у» имеет место хRу, но не выполняется уRх.

Помимо этих свойств на практике используются еще следующие:

-отношением эквивалентности,

-отношение толерантности

-отношения порядка.

Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности – это произвольное бинарное

отношение R на множестве Х, обладающее свойствами:

-рефлексивности,

-транзитивности

-симметричности.

По смыслу отношение эквивалентности определяется как «элементы х и у одинаковы», «элементы х и у взаимозаменяемы».

В этом отношении каждый элемент эквивалентен самому себе (рефлексивность). Если элемент х эквивалентен элементу у, то и элемент у эквивалентен элементу х (симметричность). Если элемент х эквивалентен элементу у, а элемент у эквивалентен элементу z, то элемент х эквивалентен элементу z (транзитивность).

Лемма 1. Всякое разбиение множества А на классы задает на множестве А отношение эквивалентности.

Доказательство.

Пусть a,b A, положим aRb ↔ a и b лежат в одном классе разбиения. Покажем, что полученное бинарное отношение является отношением эквивалентности. Для этого необходимо доказать, что оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Действительно. Поскольку a лежит в некотором классе разбиения, то aRa, т.е. оно рефлексивно.

Пусть K – некоторый класс разбиения и a,b K тогда и b, a K т.е aRb → bRa, Симметричность доказана.

Из aRb → bRc следует a,b,c K , следовательно, aRc, что и требовалось даказать.

52

Лемма 2. Всякое отношение эквивалентности R, определенное на множестве А задает разбиение на классы.

Лемма 3.

Между разбиениями множества на классы и отношениями эквивалентности, заданными на этом множестве, существует взаимно однозначное соответствие.

Пример.

Отношение эквивалентности на множестве чисел является отношение равенства (=). Любое число а из множества действительных чисел равно самому себе a=a (рефлексивность). Если а=b, то b=а (симметричность). Если а=b, а b=с, то а=с (транзитивность).

Пример.

Отношения параллельности прямых в эвклидовой плоскости.

Пример

Отношения проживания в одном доме жителей города. Отношение эквивалентности разбивает любое множество на

непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). В предыдущем примере все жители города разбиваются на жителей, живущих в одних и тех же домах. В результате получим столько классов эквивалентности, сколько домов, в которых проживают люди.

Таким образом, если Мi, — i-й класс i I, а М — множество

жителей, тоUМi = M , Mi IMj= для всех i, j I , где I -

i I

множество классов.

Отношение толерантности

Отношение R на множестве Х называется отношением толе-

рантности, если оно

-рефлексивно

-симметрично.

Пример. Отношение «игрок х играет сам с собой в шахматы и с другом у» есть отношение толерантности, так как хRх, а хRу влечет уRх.

Отношения порядка А) Нестрогий порядок

53

Отношение R на множестве Х называется отношением нестрого порядка, если оно

-рефлексивно,

-антисимметрично

-транзитивно.

Отношения ≤, ≥ на множестве чисел Х являются отношениями нестрогого порядка, так как любое число х Х равно самому себе (рефлексивность).

Для любой пары чисел х,у Х при а≤b не выполняется b≤a, а при а≥b не выполняется b≥a (антисимметричность).

Для любой тройки чисел х,у,z X, если а≤b и b≤с, то а≤с или, если а ≥b, b≥с, то а ≥с (транзитивность).

Б) Отношение частичной упорядоченности

Отношение частичной упорядоченности - это произвольное бинарное отношение, обладающее свойствами:

-рефлексивности,

-транзитивности

-антисимметричности.

Отношение частичной упорядоченности обычно обозначается через « ≤ », а пара <Х, ≤ > называется частично упорядоченным множеством. Будем применять также очевидные обозначения,

такие как х ≥ у для у ≤ х, х <. у для x ≤ y x ≠ y и т. д. Примером частично упорядоченного множества может слу-

жить множество целых чисел с отношением делимости, множество целых (или вещественных) чисел с обычным отношением меньшевключенияили равно. « ≤ », а также множество Р(X) с отношением

В) Отношение строго порядка

Отношение R на множестве Х называется отношением строго порядка, если оно

-антирефлексивно,

-антисимметрично

-транзитивно.

Отношения <, > на множестве чисел Х являются отношениями строгого порядка, так как любое число х X не может быть меньше или больше самого себя (антирефлексивность).

54

Для любой пары чисел х, у X при х<у не может быть у<х, а при х>у не выполняется у>х (антисимметричность).

Для любой тройки чисел х,у,z X, если х<у, а у< z, то х< z, если х>у, а у> z, то х>z (транзитивность).

Множество Х с заданным на нем отношением нестрогого или строгого порядка R называется упорядоченным и обозначается парой <X, R>.

Если для каждой пары х, у X справедливо отношение строгого или нестрогого порядка, то множество <X, R> называется полностью упорядоченным. В противном случае множество <X, R>

называется частично упорядоченным.

Строгий или нестрогий порядок, заданный на полностью упорядоченном множестве <X, R>, называется линейным порядком.

Частично упорядоченные множества

Множество S называется частично упорядоченным (ЧУМ), ес-

ли на нем задано рефлексивное, транзитивной и антисимметричное бинарное отношение частичного порядка с.

Частичным упорядочением (частичным порядком) в непустом множестве X называется всякое подмножество множества

гда вместо знака ≤ могут применять и другие похожие символы например p. Тогда аксиомы можно записать в виде:

I. x ≤ x при всех справедливо x X - рефлексивность отношений.

II. Если x ≤ y и y ≤ x, то y = x - антисимметричность отно-

шений.

III. Если x ≤ y и y ≤ z, то x ≤ z - транзитивность отношений. Эти соотношения называются неравенствами.

55

Частично упорядоченное множество – это некоторое множе-

ство X вместе с заданным на нем частичным порядком P, то есть пара (X, P).

Пример

Все множества чисел линейно упорядочены, так как для любых чисел из этих множеств одно меньше другого или они равны.

Пример.

Множество букв русского или латинского алфавита линейно упорядочено отношением предшествования, или, что то же, отношением следования.

Пример.

Отношение подчиненности на некотором предприятии определяет строгий частичный порядок, так как в нем несравнимы сотрудники разных отделов.

Декартовым произведением X×Y×Z трех множеств X,Y,Z на-

зывается множество всех упорядоченных троек <х,у,z>, составленных из элементов этих множеств так, что X×Y×Z = {<х,у,z>| х Х, у Y, z Z}. Любое непустое подмножество T декартова произведения X×Y×Z множеств X, Y, Z называется тернарным

отношением между X, Y и Z и записывается так: Т X×Y×Z.

Пример.

Трехместными отношениями Т X×Y×Z могут быть такие: 1) из х видов сырья у предприятий выпускают z видов продукции; 2) х покупателей покупают отоварен по z ценам; 3) но х бомбардировщикам у ракетно-зенитных комплексов дали залп z ракетами.

n-арные отношения

По аналогии с декартовым произведением двух множеств X,Y можно построить декартово произведение X×Y×Z трех множеств X,Y,Z и вообще декартово произведение Х1 ×Х2 × ... ×Хn п множеств Х1,Х2, ... ,Хn.

Декартовым произведением Х1 ×Х2 × ... ×Хn п множеств Х1,Х2, ... ,Хn называется множество всех упорядоченных п-ок <х1, х2,..., xn>, составленных из элементов этих множеств так, что

Х1 ×Х2 × ... ×Хn = {<х1, х2,..., xn>|x1 X1, x2 X2, …, xn Xn}. Лю-

бое непустое подмножество N декартова произведения Х1 ×Х2 ×

56

... ×Хn п множеств Х1, Х2, ... ,Хn называется n-арным отношением

между Х1, Х2, ... ,Хn и записывается так: N Х1 ×Х2 × ... ×Хn.

В том случае, если M1 = M2 =…= Mn, то пишут Mn. Часто Mn

называют универсальным отношением. Точка на плоскости мо-

жет рассматриваться как упорядоченная пара, а в пространстве - упорядоченная тройка. Координатное представление впервые ввел Рене Декарт (1596-1650), поэтому оно и называется «декар-

тово произведение». Декартовым произведением

n

M= M1 ×M2 ×M ×...×Mn = ∏Mi

i=1

множеств М1, М2, М3, . . . , Мп называется множество

M ={(mi1 , mi2 ,..., min ) mi1 M1, mi2 M2..., min Mn} .

Элементами декартова произведения M1 ×M2 ×M ×...×Mn

являются всевозможные последовательности, каждая из которых состоит из п элементов, причем первый элемент принадлежит множеству М1, второй — множеству М2,..., п-й элемент — множе-

ству Мn.

Теорема

Для конечных множеств A и B, мощность декартова произведения равна произведению мощностей множеств декартового произведения, т.е. |AxB| = |A| |B|

Доказательство.

Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |A| способами, второй |B| способами. Всего упорядоченных пар

<aibj> будет |A| |B| ч.т.д.

Пример 1.

Сколько вариантов окраски квадрантов круга возможно, если допускается пять цветов краски.

Решение:

Кортеж длины 4, каждая компонента которого есть цвет крас-

ки, есть элемент декартового произведения. Пусть цвета краски образуют множество M = {к,б,з,с,ф}. Тогда М4 = М x М x М x М и М4 = 54 = 625.

Отображения

57

Отображения – это некоторые связи между элементами множеств. Простейшими примерами отношений являются отношения принадлежности х Х элемента х множеству Х и отношения

включения А В, А В подмножества А в подмножество В.

По количеству элементов, между которыми определены связи, отношения делятся на унарные (одноместные), бинарные (двухместные), тернарные (трехместные) и n-арные (n-местные). В унарном отношении участвует один элемент. Эти отношения называются свойствами и отождествляются с подмножеством элементов, которые этим свойством обладают. Так, например, в множестве всех положительных чисел отношение или свойство «быть четным» отождествляется с подмножеством чисел 2, 4, 6, ....

В бинарных отношениях участвуют пары элементов множеств, так называемые упорядоченные пары <х1,у1>, <х2, у2>, х1, х2, …

Х, у1, у2, … Y. Упорядоченность понимается как то, что в записи <х, у> на первом месте всегда стоит х X, а на втором у

Y. Иными словами, х предшествует у.

Соответствие

Подмножество S декартового произведения называется n-

арным соответствиeм элементов множеств Mi.

Формально S M. Частные случаи.

1.Если n = 2, то говорят о бинарном соответствии S M1 ×M2.

2.Если говорят о подмножестве кортежей универсального отношения Mn, то имеют в виду n-арное отношение r, т.е. R Mn.

3.R M2 называют бинарным отношением на множестве M.

4.Однозначное n-арное отношение есть n-местная функция.

Пример. Пусть M = {х1,х2,х3} и R M2.

Рассматривая множество первых компонент отношения, как его область определения, а множество вторых координат, как область значений бинарного отношения, найдём функции во множестве отношений

{‹x1,x1›, ‹x2,x1›, ‹x3,x1› } {‹x1,x2›, ‹x2,x4›, ‹x3,x3› }

Замечание. Поскольку S является подмножеством, то можно говорить о нечётких соответствиях, отношениях, функциях.

Определения

58

Функция natR : M → M / R называется отождествлением и определяется следующим образом:

natR(x) [x]R

Примеры на эквивалентность

1. R - отношение равенства (=).

Отношение равенства x = y является эквивалентностью на любом множестве A, так как оно

рефлексивно (x = x), y = x),

транзитивно (x = y & y = z x = z).

2. R - отношение подобия треугольников.

Отношение подобия на множестве треугольников является отношением эквивалентности.

рефлексивно (x = x), симметрично (x = y y = x),

транзитивно (x = y & y = z x = z).

3. R - отношение равномощности.

На любом множестве B(U) отношение равномощности |A| = |B| является отношением эквивалентности. Для любых множеств A, B, C выполняются следующие свойства:

рефлексивно: (A ~ A поскольку idA : A ↔ A),

симметрично: если A ~ B, то B ~ A (так как из f: A ↔ B следу-

ет f-1: B ↔ A),

транзитивно: если A ~ B и B ~ C, то A ~ C (так как из f: A ↔ B, g: B ↔ C следует f◦g: A ↔ C).

4. R - отношение принадлежности.

Отношение принадлежности к одной студенческой группе на множестве студентов МГСУ является отношением эквивалентности.

рефлексивно (x = x), симметрично (x = y y = x),

транзитивно (x = y & y = z x = z).

5. R - отношение вычисление одной и той же функции.

Пусть M – множество программ, вычисляющих одну и ту же функцию. Отношение E = {(x,y)| программы x и y вычисляют од-

59

ну и ту же функцию} на множестве M является отношением эквивалентности.

рефлексивно (x = x), симметрично (x = y y = x),

транзитивно (x = y & y = z x = z).

Фактор-множества

Если отношение R обладает свойствами: рефлексивное симметричное транзитивное, т.е. является отношением эквивалентности (~ или ≡ или Е) на множестве M, то множество классов эквивалентности называется фактор-множеством множества M

относительно эквивалентности R и обозначается M/R

MR {[x]R }x M

Здесь [x]≡ есть подмножество элементов множества M экви-

валентных x [x]≡ {y y M & y ≡ x}, называемых классом экви- валентности.

Из определения фактор-множества следует, что оно является

подмножеством булеана: MR 2M .

Свойства точной верхней (нижней) границ

Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Еs, всех нижних границ - через Еi. В случае, когда Еs (Еi) непусто, говорят, что Е ограничено сверху {снизу). Если элемент z при-

надлежит пересечению E IEs (соответственно, E IEi ), то он является наибольшим {наименьшим} элементом множества Е. Выражение типа (Еs)i эквивалентно Еsi. Непустота пересечения

Es IEsi { Ei IEis } означает, что среди верхних (нижних) границ Е имеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной верхней {нижней) границей, или верхней {нижней) гранью множества Е.

Утверждение. Пересечения Es IEsi { Ei IEis } не могут содержать более одного элемента

Доказательство.

60