Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

Пусть x, y Es IEsi . Тогда х ≤ у, поскольку y Es x Esi . Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x А тогда х = у.

Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна. Точная верхняя граница (supremum) множества Е обозначается символом sup Е, точная нижняя граница (infimum)

— символом inf Е.

Если элементы Е занумерованы с помощью некоторого множества индексов Ξ = {ξ}, то применяются обозначения

Если Е состоит из конечного числа элементов х1, х2, ..., хn, то пишут

sup Е = x1 x2 ... xn или sup Е = kn=1xk

n

inf Е = x1 x2 ... xn или inf Е = i=1xk .

Основные свойства верхних и нижних границ в произвольном частично упорядоченном множестве X.

1.Если E1 E2 то E1s E2s , E1i E2i .

2.Если E1 E2 и существуют sup Е1, и sup Е2 (inf Е1 и inf Е2 ), то

sup Е1 ≤ sup Е2 inf Е1 ≥ inf Е2

=x y , y = x y равносильны.3. Соотношения х ≤ у,

4. Пусть E = {Е}—непустой класс подмножеств X, каждое из которых имеет верхнюю {нижнюю) грань. Предположим далее, что совокупность этих граней в свою очередь имеет supremum (соответственно infimum). Тогда этот последний представляет

Это свойство называется свойством ассоциативности граней. Его можно выразить формулами

61

предполагая, что фигурирующие в правых частях грани существуют.

Свойства 1-3 очевидны.

Остановимся на доказательстве ассоциативности, ограничившись, случаем верхних граней. Обозначим

Для произвольного элемента x F можно указать множество E E , которому он принадлежит. Поэтому x ≤ yE ≤ y ,

y Fs Теперь, взяв произвольно z Fs , замечаем, что в силу 1 будет z Fs для каждого E E , то есть z ≥ yE Видим, что элемент я есть верхняя граница для множества всех yE , и поэто-

му z ≥ yE = y . Доказали, что элемент y есть наименьшая из

E E

верхних границ множества F, то есть точная верхняя граница.

Cвойства, связанные с преобразованием границ при изоморфизмах и дуальных изоморфизмах.

5.Если φ - изоморфизм, то всегда

ϕ(Es ) = ϕ(E) s ,

ϕ(Ei ) = ϕ(E) i .

6.Если φ - изоморфизм, то всегда

ϕ(sup E) = supϕ(E) ,

ϕ(inf E) = inf ϕ(E).

при условии, что хотя бы одна из граней, фигурирующих в равенстве, существует.

7.Если φ - дуальный изоморфизм, то всегда

ϕ(Es ) = ϕ(E) i ,

ϕ(Ei ) = ϕ(E) s .

8.Если φ - дуальный изоморфизм то всегда

62

ϕ(sup E) =inf ϕ(E) ,

ϕ(inf E) = supϕ(E) .

стой же оговоркой, что и в 6.

Отметим в заключение очевидную изотонность операций и .

Принцип двойственности Пусть К - некоторой класс частично упорядоченных мно-

жеств, содержащий вместе с каждым входящим в него частично упорядоченным множеством X также некоторое ему дуально изоморфное. На основании упомянутых свойств 7, 8

10.Если φ - дуальный изоморфизм, то всегда

ϕ(Es ) = ϕ(E) i , ϕ(Ei ) = ϕ(E) s .

11.Если φ - дуальный изоморфизм то всегда

ϕ(sup E) = inf ϕ(E), ϕ(inf E) = supϕ(E).

можно утверждать, что всякое утверждение, относящееся к свойствам порядка и справедливое для любого X K , перейдет после замены содержащихся в его формулировке неравенств противоположными, верхних границ нижними, а нижних — верхними в утверждение, также справедливое для всех X K .

Сформулированный принцип называется общим принципом двойственности для частично упорядоченных множеств.

Парадокс Рассела (Бертран Рассел (1872-1970).

Возможность задания множеств характеристическим предикатом зависит от предиката. Использование некоторых предикатов для этой цели может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество Y всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:

Y ← →def {X X X} .

Если множество Y существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: Y Y ? Пусть Y Y , тогда

63

Y Y . Пусть Y Y , тогда Y Y . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Бытовая формулировка парадокса Рассела. В полку имеется полковой Брадобрей, который работает по следующему приказу. Брить бороды только у тех, которые сами себя не бреют.

Вопрос: может ли Брадобрей брить себе бороду?

Ответ: а) если он не бреет себе бороду, то он должен себя брить. Как только он начинает себя брить, то по приказу он не должен себя брить.

Избежать парадоксов удается только в рамках аксиоматической теории множеств, т.е. теории, которая ограничивает способы задания множеств специальной аксиоматикой.

Вот три способа избежать этого конкретного парадокса.

1. Ограничить используемые характеристические предикаты видом

P(x) = x A& Q(x),

где А — известное, заведомо существующее множество (универ-

сум). Обычно при этом используют обозначение {x A Q(x)} . Для Y универсум не указан, а потому Y множеством не является.

2.Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества элементов типа 0 имеют тип 1, множества элементов типа 0 и 1 — тип 2 и т. д. Y не имеет типа и множеством не является.

3.Явный запрет принадлежности множества самому себе:

X X — недопустимый предикат. Соответствующая аксиома называется аксиомой регулярности.

Замечание

Существование и анализ парадоксов в теории множеств способствовали развитию так называемого конструктивизма – направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения те понятия и методы классической математики, которые не заданы алгоритмически

Метрические пространства

64

Первым и важнейшим математическим пространством является трехмерное эвклидово пространство, представляющее собой приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате обобщений и изменений понятий геометрии эвклидова пространства.

Всовременной математике пространство — это множество объектов, называемых точками, введенными отношениями между точками и теми или иными операциями над элементами множеств.

Примерами пространств могут служить метрическое пространство, нормированное пространство, пространство событий, пространство состояний и целый ряд других пространств. Метрическое пространство — это множество точек Х с расстоянием между ними d>0, удовлетворяющем трем аксиомам:

1)d(х, у) =0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);

2)d(х, у) = d(у, х) (аксиома симметрии);

3)d(х, у) = d(х, z) + d(y,z) + d(y,z), где х,у,z Х (аксиома тре-

угольника).

Расстояние d(х, у) называется метрикой, а пара (х, d) — метрическим пространством. Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел Х с расстоянием между ними d = \х - у\.

Вдвумерном эвклидовом пространстве Е2 (плоскости) рас-

стояние между двумя точками М1(х1,y1), М2(х2 ,у2) определяется по выражению d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2. Эта же формула распространяется на трехмерное эвклидово пространство d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2 + (z1 - z2)2 и на многомерное его обобщение Еn, в котором элементами множества Х являются упорядоченные наборы

<х1, х2, ..., хi ..., хn> действительных чисел: расстояние между двумя точками этого пространства определяется по выраже-

нию d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2 + (z1 - z2)2

Линейные пространства – это такие множества, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:

1) для каждой пары элементов х,у Х определен третий элемента z Х, называемый их суммой и обозначаемой как х+у. При этой сумма удовлетворяет следующим условиям: х+у=у+х,

65

x+(у+v) = (x+у)+v;

2)во множестве Х существует такой элемент 0, что х+0 = х для всех х X;

3)для всех х Х существует такой элемент -х, что х+(-х) = 0;

4)для любого числа а и любого элемента х X определен элемент а такой, что (а+β)х = ах+βx, а(х+у) = ах + ау.

Очевидным примером линейного пространства является множество действительных чисел с обычными правилами их сложениям умножения. Если n-мерном эвклидовом пространстве E*

упорядоченные наборы чисел <х1, ..., хi, ..., хn> Х считать координатами векторов с условием, что нулевой вектор – это вектор с

нулевыми значениями <х1, ..., хi, ..., хn>, то такое векторное пространство линейное, потому что операции действия с вектором отвечают перечисленным выше аксиомам.

Дальнейшим расширением понятия линейного пространства является линейное нормированное пространство. Это такое пространство, в котором для каждого элемента х X существует неотрицательное число ||х||, называемое его нормой и удовлетворяющее следующим условиям:

||х|| = 0, тогда и только тогда, когда х = 0; ||ах|| = а||х||, где а — некоторое число; ||х+y|| ≤ ||х|| + ||y||

Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с нормой d = ||х - y||, так как эта норма удовлетворяет аксиомам метрического пространства:

||х - y|| = 0, если х = у; ||х - y|| = ||y-х||; ||х - y|| ≤ ||х - z|| + ||z - y||

Нормой ||х|| в одномерном векторном пространстве Е1 является абсолютная величина х. Нормой двумерного пространства (плоскости) Е2 является длина вектора, вычисляемая по выраже-

норма ||х|| определяется по аналогии с двухмерным пространством

В заключение следует сказать, что в терминах линейных векторных пространств формулируются задачи математического

66

программирования, и в частности, дискретного программирования, которое относят к задачам дискретной математики.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Чему в математике служат отношения?

2.Как классифицируются отношения в зависимости от числа связей между элементами множества?

3.Дайте определение бинарного отношения.

4.Что представляет собой декартово произведение множеств?

5.Выпишите декартовы произведения множеств А = {а, b}, В

={1, 3}; декартового квадрата А = {1, а}.

6.Сколько элементов включает декартовый квадрат множест-

ва A = {1, 2,...,i, ...,n}?

7.Дайте определение бинарного, тернарного и n-арного отношения в терминах множеств.

8.Что понимают под рефлексивными и антирефлексивными отношениями?

9.Как характеризуются симметричные, асимметричные

иантисимметричные отношения?

10.Дайте определение транзитивного отношения.

11.Дайте определение отношения эквивалентности и приведите примеры.

12.Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Является ли отношение ≤ на множестве А = {1, 2, 3} отношением нестрогого порядка?

13.Какое отношение называется отношением строгого поряд-

ка?

14.Какое множество называется упорядоченным, полностью упорядоченным?

15.Что такое линейный порядок?

16.Дайте определение функции.

17.Является ли отношение R = {<1,а>, <1,b>, <2,а>}, определенное на декартовом произведении множеств А = {1,2}, B = {а, b}, функцией?

18.Является ли функция f(х) = х2 инъективной?

19.Что представляет собой функционал?

20.Как в математике определяется пространство?

67

21.Какое пространство называется метрическим?

22.Что представляет собой линейное пространство?

23.Дайте определение линейного нормированного простран-

ства.

68

«Структуры» являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями научной проблемы.

Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. Из эссе Ю.А. Данилова «Нелинейность» М.:Едиториал УРСС, 2004. – 240 с.

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова (прямого) произведения множеств.

Декартовым (прямым) произведением M = M1 M2 …Mn мно-

жеств Mi (i = 1…n) называется множество, элементами которого являются кортежи длиной n такие, что каждая j-ая компонента есть элемент множества Mj.

Формально: M = {‹x1, x2,...xn› xj Mj, j = 1,…,n}

Функция

Воснове всех разделов дискретной математики лежит понятие функции.

Пусть Х — некоторое множество на числовой оси. Говорят,

что на этом множестве определена функция f, если каждому числу х Х поставлено в соответствие определенное число у=f(х). При этом множество Х называется областью определения (задания) функции f, а совокупность значений у=f(х) — множество Y — областью ее значений. Для наглядности функцию у=f(х) представляют ее графиком в координатных осях хОу.

Вкачестве примера можно привести функцию у=|х|. Область определения этой функции — интервал (-∞, ∞). Область значений

—интервал (0, ∞).

69

Переменную х называют аргументом функции, а у — ее значением. Значок f интерпретируется, как правило, преобразования аргумента х в значение у, т.е. представляет собой способ реализации соответствия. Этот способ может быть задан аналитически (формулой), в виде таблицы, графика или специальной вычислительной процедурой. Важно только то, что для каждого значения х Х он должен давать одно и только одно значение у=f(х).

Функция многих переменных у=f(х1, х2, …, хn) вводится аналогично. Пусть задано множество Х1 ×Х2 × ... ×Хn. Тогда, если любому упорядоченному набору <х1, х2,..., xn> Х1 ×Х2 × ... ×Хn по определенному правилу f поставлено в соответствие число у=f(х1, х2, …, хn), то говорят, что на множестве Х1 ×Х2 × ... ×Хn определена функция многих переменных f(х1, х2, …, хn).

Рассматривая вместо числовых множеств Х1 ×Х2 × ... ×Хn множества любой природы, приходим к самому общему определению функции. Пусть М и N — два произвольных множества.

Если каждому элементу х М по некоторому правилу поставлен в соответствие один и только один элемент у N, то на множестве М определена функция f, принимающая значения из множества N.

Вместо термина «функция» часто употребляют термин «отображение», понимая под ним отображение одного множества в другое. В данном случае имеем отображения одного множества

Подмножество F Mx ×M y , называется функцией, если для каждого элемента x, x Mx , найдется не более одного элемента y, y M y вида (x, y) F ; при этом если для каждого элемента

х имеется один элемент у вида (x, y) F , то функция называется всюду (полностью) определенной, в противном случае — частично определенной (недоопределенной).

Множество Мx образует область определения функции F, множество Му — область значений функции F. Часто вместо за-

70