Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика. Учебное пособие

можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в этих множествах одинаковое, т.е. т = п. Когда же после «постановки в пару» остались элементы множества В, то т < п. Если же полностью исчерпаны элементы В и остались лишние элементы множества А, то т > п.

Пример.

Проверить, одинаково ли число студентов в группе и стульев в аудитории, можно не пересчитывая тех и других, посадить каждого студента на определенный стул. Если мест хватит всем и не останется ни одного лишнего стула, то тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие и, следовательно, равенство элементов в множествах студентов и стульев.

Если между элементами двух различных множеств А и В можно установить взаимно однозначное соответствие по любому закону, то эти множества называются эквивалентными, или равномощными. Это записывается так: А = В.

Характерно, что установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств пригодно для сравнения не только конечных множеств, но и бесконечных.

Приведем примеры эквивалентных бесконечных множеств. Множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству всех четных чисел, так как каждому натуральному числу п соответствует одно и только одно четное число 2n, и каждому числу 2n соответствует его половина, являющаяся натуральным числом. Множество всех целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел. Соответствие между целыми и натуральными числами устанавливается по следующей схеме:

0, -1, 1. -2, 2...

1, 2, 3, 4, 5,..., т.е. неотрицательному числу п > 0 ставится в соответствие нечетное число 2n + 1, а отрицательному п < 0- четное число 2 ׀n׀ .

Счетным множеством называется всякое множество, элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми числами натурального ряда. Иначе говоря, счетное множество — это такое множество, элементы которого можно последовательно пронумеровать числами натурального ряда. Приведенные выше примеры множеств четных и целых чисел являются счетными множествами,

41

Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Если эквивалентны между собой два конечных множества, то, как указывалось выше, они состоят из одинакового числа элементов.

Эквивалентные между собой бесконечные множества называются множествами равной мощности.

Точная верхняя (нижняя) граница множества

Если элемент z принадлежит пересечению множества E и множеству всех его верхних границ Es (соответственно нижних

границ Ei), то есть E IEs (соответственно E IEi ), то это эле-

мент z является наибольшим (наименьшим) элементом множества

E. Es и Ei также являются множествами и для них можно ввести понятие верхней и нижней границ. Нижняя граница множества верхних границ (Es)i обозначается для простоты записи без ско-

бок Esi. Непустота пересечения Es IEsi ( Ei IEis ) означает, что

среди верхних (нижних) границ E имеется наименьшая (наи-

большая). Ее называют точной верхней (нижней) границей, или верхней (нижней) гранью множества E.

Утверждение.

Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна.

Доказательство.

Пусть x, y Es IEsi . Тогда x ≤ y, поскольку y Es , x Esi .

Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x, а это означает, что x = y. Ч.т.д.

Точная верхняя граница (supremum) множества E обозначается символом sup E, точная нижняя граница (infimum) - inf E.

Основные свойства верхних и нижних границ

Пусть X - частично упорядоченное множество.

1. Если E1 E2 , то

E1s E2s , E1i E2i

2. Если E1 E2 и существуют sup E1 и sup E2 (inf E1 и inf E2),

то

sup E1 ≤ sup E2

42

Частично упорядоченное множество X называется структурой, если в нем любое двухэлементное множество {x, y} имеет

точные границы x y и x y .

Лемма 1. В любой структуре всякое конечное множество элементов имеет точные границы.

Аксиомы теории множеств

Выше были введены операции и понятия теории множеств интуитивно, но аксиоматический подход позволяет формально на основании введенных шести аксиом определить эти операции и понятия теории множеств. Теоретико-множественный анализ базируется на основании следующих основных аксиом.

1.Аксиома существования. Существует по крайней мере одно множество.

2.Аксиома объемности (экстенциональности). Если множест-

ва Ма и Мb составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают (равны): Ма = Мb.

3.Аксиома объединения. Для произвольных множеств Ма и Мb существует множество, элементами которого являются все элементы множества Ма и все элементы множества Мb и которое никаких других элементов не содержит.

Утверждение. Из аксиом объемности и объединения следует,

что для произвольных множеств Ма и Мb множество, удовлетворяющее условиям аксиомы объединения, единственно.

Доказательство. От противного, если бы существовало два

таких множества Мс1 и Мс2 то они содержали бы одни и те же элементы, т.е. все элементы, принадлежащие множеству Ма, и все элементы множества Мb и поэтому, согласно аксиоме объемно-

сти, Мс1 = Мс2 = Мс. ЧТД Назовем это единственное множество Мс объединением мно-

жеств Ма и Мb и будем писать Мс = Ма UМь.

4. Аксиома разности. Для произвольных множеств Ма и Мb существует множество, элементами которого являются те и

43

только те элементы множества Ма, которые не являются элементами множества Мb.

Аналогично, из второй и четвертой аксиом заключаем, что для произвольных множеств Ма и Мb существует в точности одно множество, содержащее элементы множества Ма, не принадлежащие множеству Мb. Назовем это множество Мс разностью

множеств Ма и Мb:

Мс = Ма\Мb.

5.Аксиома степени. Для каждого множества М существует

семейство множеств В(М) (булеан), элементами которого являются все подмножества Мi, Мi М, и только они.

6.Аксиома существования пустого множества. Существует

такое множество , что ни один элемент ему не принадлежит.

Определим еще три операции на множествах с помощью введенных операций объединения и разности, используя выше введенные аксиомы.

А. Пересечение множеств Ма и Мb определяется формулой

Ма IМb = Ма\(Ма\Мb).

Утверждение. Элементами пересечения Ма IМb являются те,

и только те элементы, которые принадлежат как множеству Ма, так и множества Мb.

Б. Дополнение. неМ множества М определяется формулой

неМ = 1\М.

В. Симметрическая разность множеств Ма и Мb определяется формулой

Ма\яМb = (Ма\Мb) U(Мb\Мa).

Законы теории множеств

На основании введенной аксиоматики можно доказать справедливость как приведенных выше законов, определяющих свойства сигнатуры алгебры множеств (законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, действия с константами, двойного дополнения, законы де-Моргана), так и следующих законов:

- закон дистрибутивности пересечения относительно разности

Ма I\(Ма\Мc) = Ма IМb\Ма IМc;

44

-закон коммутативности симметрической разности Ма\¬Мb = Мb\¬Ма;

-закон ассоциативности симметрической разности

Ма\¬(Мb\¬Мc) = (Ма\¬Мb)\ ¬Мc;

- закон дистрибутивности пересечения относительно симметрической разности

( A \ B = A I B ).

4.Докажите, что A I B = A U B . Как называется этот за-

кон?

5.Докажите, что A U B = A I B . Как называется этот за-

кон?

6.Группа студентов насчитывает 25 человек. Из них 15 любят математику, 10 — физику, 8 — не любят ни математику, ни физику. Сколько студентов любят и математику, и физику?

7.На собрании студентов-отличников были как студенты второго курса, так и студенты третьего курса. Все они либо любители прозы, либо любители поэзии. Студентов-юношей было 16, а любителей прозы — 24. Студентов-девушек было ровно столько, сколько юношей любителей прозы. Сколько студентов было на собрании?

45

8.В группе из 100 студентов английским языком владеют 28 человек, немецким — 30, французским — 42, английским и немецким — 8, английским и французским— 10, немецким и французским— 5, а всеми тремя языками владеют 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из названых языков?

9.Докажите, что изоморфное отображение всегда изотонно,

аобратное утверждение неверно.

10.Запишите на языке множеств свою группу.

11.Запишите на языке множеств предметы, которые изучаете.

12.Выделите элемент в группе, изучаемых предметов.

13.Запишите множество арабских цифр.

14.Запишите множество натуральных чисел как объединение множеств четных и нечетных целых чисел.

15.Выпишите элементы объединения множеств А = {а,b}, В =

{1,b}, С = {1,d}.

16.Выпишите элементы пересечения множеств A = {{a,b},

{}, {a}}, B={{с},{a},{1}}.

17.Выпишите элементы множества М = А - В для множеств'

.4 ={1,3, 5}, В ={5, 6, 7}.

18.Выпишите элементы множества М = (А - В) U(АIВ) для

множеств А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {3, 4, 5}; для множеств А = {2, 4, 5}, B = {1, 4}; для множеств А = {1}, В = .

19. Дайте определение разбиения множества. Приведите все разбиения для множества А = {a, b, с}.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие основные операции выполняются над множествами?

2.Какое множество можно назвать универсальным?

3.Что такое диаграмма Эйлера-Венна? Проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трех множеств.

4.Каковы соотношения между множествами и составными высказываниями?

5.Сформулируйте и докажите основные тождества алгебры множеств.

46

6.Что называется кортежем, и какие кортежи называются равными?

7.Что такое счетное множество

8.Дайте определение мощности множества.

9.Чему равна мощность конечного множества

10.Какие операции можно совершать над множествами

11.Дайте определение объединения множеств.

47

Из внимательного исследования частного случая может возникнуть общее понимание.

А. Пойа Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975 с.

ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ

Отношения между объектами (элементами множества) приходится иметь дело повсеместно, в том числе и во всей математике и ее приложениях. Так, например, в быту – это отношения проживать (работать, учиться) в одном доме (городе, предприятии, университете), дружить (враждовать) и т.д. Числовые функции являются частным случаем отношений – пара аргумент (x) и функция (y). Отношения будем обозначать буквой R. Начнем изучение отношений с бинарных отношений.

Бинарные отношения

Бинарными отношениями называется совокупность упорядоченных пар, указывающих объекты, находящиеся в данном отношении (отношения между двумя объектами).

Последовательность длины п, члены которой суть а1, .... аn, будем обозначать через {а1, .... аn}. Последовательность {а1, а2}

Угловыми скобками < > обозначается последовательность, т. е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов, т.е кортеж.

Кортежем длины n, составленным из элементов множеств X1,

X2, …, Xn, называется конечная последовательность x1, x2 ,..., xn . Если отношение устанавливается между двумя множествами, то Прямым (декартовым) произведением множеств А и В, обо-

48

значаемым А×В, называется множество упорядоченных пар, такое, что первая координата каждой пары — элемент А, а вторая координата — элемент В, т.е. А×В = {<a,b>| а А и b В}.

В целях наглядного представления декартовых произведений удобно использовать язык геометрии. Для этого множества X, Y представляются осями координат. Элементы х X, у Y — соответственно абсциссами и ординатами. Само произведение Х×Y — точками плоскости ХОY.

Бинарное отношение R X×Y может отражать разный смысл.

Пример.

Значениями множества Х можно закодировать названия книжных издательств, а элементами множества Y — всех фирм некоторого региона, которые занимаются продажей этих книг. Тогда

отношению R X×Y можно придать смысл множества заключенных договоров между издательствами и торгующими фирмами. Пусть Х={1, 2, 3}, Y={1, 2} рассматриваются как три издательства и два магазина, продающие книги. Тогда отношение R = {<1,1>, <2,2>, <3,2>} означает, что издательство 1 заключило договор с магазином 1, издательство 2 – с магазином 2, издательство 3 – с этим же магазином 2.

Пример.

Пусть А = {1,2}, В = {а,b,с}.

Тогда А×В = {<1,а>, <1,b>, <1,с>, <2,а>, <2,b>, <2,с>}. Декартово произведение А×В = {<а,1>, <b,2>, <с,1>, <а,2>, <b,2>, <с,2>}. Декартово произведение А×А = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>} называется декартовым квадратом множества А.

Пример.

Если множество А включает т различных элементов, а множество В — п элементов, то произведения множеств А×В и В×А имеет т п элементов. Пусть А = {1}, а В ={1,2,3}. Тогда А×В ={<

А1,×1В=>,В×<1,2>,А=0. <1, 3 >}. Если А = 0, а В = {1, 2, 3}. Тогда

Пример.

49

Всё множество координат всех клеток шахматной доски можно записать декартовым произведением вида {a,b,c,d,e,f,g,h} × {1,2,3,4,5,6,7,8} = {‹a,1›, ..., ‹a,b›, ‹b,1›, ..., ‹b,b›, ..., ‹h,8› }

Любое непустое подмножество R декартова произведения Х×Y множеств X, Y называется бинарным отношением между Х

и Y. Записывается это так: R Х×Y, или так: хRу, или так: <х,у> R. Слово «бинарный» происходит от английского binary, что в переводе означает «двойной». Любое непустое подмножество Х×Y является бинарным отношением на X. В частности, множество Х×X называется универсальным отношением на X.

Пусть А и В два конечных множества. Напомним, что декартово произведение множеств А и В это множество А×В, состоя-

щее из всех упорядоченных пар <а, b>, где а A, b B. Бинарным отношением между элементами множеств А и В на-

зывается любое подмножество R. множества А×В,т.е. R А×В. Под бинарным отношением (с левой областью А и правой областью В) подразумевается произвольное подмножество

R A×B . Если А = В, то будем говорить о бинарном отноше-

нии на множестве А. Вместо a,b R часто пишут a R b.

Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение R на множестве Х обладает следующими свойствами:

(а) рефлексивно, если хRх для каждого x X ,

Отношение R на множестве Х является рефлексивным, если оно выполняется между самим элементом, т.е. хRх. Пример, в отношениях «х имеет общий признак с у», «х похож на у» имеет место хRх, так как элемент х похож на самого себя.

-прямая x параллельна прямой y в плоскости z - хRх

-студент x ровесник студенту y – каждый студент сам себе ровесник хRх.

(а1) иррефлексивно, если хRх не имеет смысла

-отношение строго порядка x <x на множестве действительных чисел – оно всегда ложно.

(а2) антирефлексивно, если хRх для каждого x X , Отношение R на множестве Х является антирефлексивным,

если хRх не выполняется ни для одного х X. Например, в отно-

50