СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Булевы функции одной переменной:

3. Основные равносильности:

Закон двойного отрицания x x

Идемпотентность

x x x x , x x x x

Коммутативность x y y x , x y y x

Ассоциативность

x ( y z) (x y) z , x ( y z) (x y) z

Дистрибутивность

x( y z) x y x z , x y z (x y)(x z)

27

Законы де Моргана x y x y , x y x y

Формулы с константами

4.Дополнительные равносильности:

xy x y ,

x~ y x y x y ,

x~ y (x y)( y x) ,

xy x y x y ,

x1 x ,

xy x y x y ,

xy x y ,

x | y x y x y ,

x y x y x , (x y)(x y) x (законы склеивания), x x y x (закон поглощения),

x y x z x y x z y z (закон обобщенного склеивания)

5. Кванторы

К в а н т о р о б щ н о с т и

Известно, что для превращения одноместного предиката в высказывание нужно подставить вместо его переменной ка- кой-нибудь конкретный предмет из области определения предиката. Имеется еще один способ для такого превращения – это

28

применение к предикату операций связывания квантором общности или квантором существования. Каждая из этих операций ставит в соответствие одноместному предикату некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката.

Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве А, сопоставляется высказывание, обозначаемое

x P(x)

(читается: «для всякого [значения] х Р(х) [истинное высказывание]»), которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противоположном случае.

Символ происходит от первой буквы английского слова All – все. Сам символ x также называют квантором общно-

сти по переменной х.

Рассмотрим два одноместных предиката на множестве N: 1 х и х | 30

Первый предикат тождественно истинный, поэтому применение к нему операции связывания квантором общности дает истинное высказывание:

Второй предикат – опровержимый, поэтому операция связывания квантором общности, примененная к нему, дает ложное высказывание:

x x|30 − «для любого х число х является делителем числа 30».

В выражении x P(x) переменная х уже перестает быть

переменной в обычном смысле этого слова, т.е. вместо нее невозможно подставлять какие бы то ни было конкретные значения.

Говорят, что переменная х – связанная, кажущаяся или немая.

29

Можно подметить еще одну особенность операции связывания квантором общности по сравнению с операциями отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации двух предикатов. Те операции ставили в соответствие одному или двум предикатам новый предикат, а операция связывания квантором общности сопоставляет предикату высказывание. По этому поводу можно отметить следующее.

Во-первых, каждое высказывание для достижения большей общности можно рассматривать как предикат, содержащий 0 предметных переменных.

Во-вторых, мы пока применяли квантор общности лишь к одноместным предикатам. При рассмотрении вопроса о применении операции связывания квантором общности к предикатам с любым числом переменных, такая операция станет операцией в полном смысле слова: предикатам она будет сопоставлять предикаты.

Операцией связывания квантором общности по перемен-

ной х1 называется правило, по которому каждому n-местному предикату (n ≥ 2) P x1 , x2 ,. . . , xn , определенному на множестве

А1 А2 . . . Аn, сопоставляется новый (n – 1)-местный предикат, обозначаемый

x1 P x1 , x2 ,. . . xn

Рассмотрим двухместный предикат y x ,

определенный на множестве N. Применим к нему квантор общности по переменной х. Получим одноместный предикат

x y x ,

зависящий от переменной у. Этот предикат может превратиться как в истинное высказывание (например, при у = 1), так и в ложное (при подстановке вместо у любых натуральных чисел, кроме 1).

30

Двухместный предикат

x y 2 x2 2xy y2 ,

определенный на R2, тождественно истинен, поэтому применение к нему квантора общности по любой переменной, например по у, дает одноместный предикат

y x y 2 x2 2xy y2 ,

который будет тождественно истинным. Применив к одноместному предикату

x y x

квантор общности по переменной у, получим нульместный предикат (т.е. высказывание)

y x y x

Очевидно, что полученное высказывание ложно, потому что предикат

x y x

опровержим.

К в а н т о р с у щ е с т в о в а н и я

Операцией связывания квантором существования называ-

ется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве А, сопоставляется высказывание, обозначаемое

x P(x)

(читается: «существует [значение] х такое, что Р(х) [истинное высказывание]»), которое ложно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно ложен, и истинно в противоположном случае.

31

Символ происходит от первой буквы английского слова Exist – существовать. Сам символ x также называют кван-

тором существования по переменной х.

Рассмотрим два одноместных предиката, определенных на множестве N:

х = х + 1 и х | 30

Первый предикат тождественно ложный, поэтому применение к нему операции связывания квантором существования дает ложное высказывание:

x x x 1 − «существует натуральное число, равное

самому себе плюс 1».

Второй предикат выполним, поэтому операция связывания квантором существования, примененная к нему, дает истинное высказывание:

x x|30 − «существует натуральное число, являющееся

делителем числа 30».

Подобно выражению x P(x) , в выражении x P(x)

переменная х также перестает быть переменной в обычном смысле слова: это связанная переменная.

Рассмотрим вопрос о применении операции связывания квантором существования к предикатам с любым (конечным) числом переменных.

Операцией связывания квантором существования по пере-

менной х1 называется правило, по которому каждому n-мест- ному предикату (n ≥ 2) P x1 , x2 ,. . . , xn , определенному на

множестве А1 А2 ... Аn, сопоставляется новый (n – 1)-мест- ный предикат, обозначаемый

x1 P x1 , x2 ,. . . xn

Рассмотрим двухместный предикат y x ,

32

определенный на множестве R2. Применим к нему квантор существования по переменной х. Получим одноместный предикат

x ( y x) ,

зависящий от переменной у. Этот предикат всегда превращается в истинное высказывание, если вместо у подставлять конкретные числа, т.е. является тождественно истинным предикатом.

33