Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФГБОУ ВО

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Г.В. КАЛАШНИКОВ, С.В. МАКЕЕВ

АЛГЕБРА

Часть 2

(ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ИНОСТРАНЦЕВ)

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2022

1

УДК 51 (075.5)

ББК Г1я7

К36

Научный редактор профессор Г.В. КАЛАШНИКОВ

Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой прикладной математики и механики Воронежского государственного технического университета проф. В.И. РЯЖСКИХ;

д-р физ.-мат. наук В.П. ШАЦКИЙ (Воронежский государственный аграрный университет)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

Калашников, Г.В.

Алгебра. В 2 ч. Ч. 2. (Для студентов-иностранцев): учеб. пособие / Г.В. Калашников, С.В. Макеев; Воронежский государственный университет инженерных технологий. – Воронеж : ВГУИТ, 2022. – 103 с.

– Текст: непосредственный.

ISBN 978-5-00032-595-7

Учебное пособие написано для иностранных учащихся подготовительного - фа культета. Оно предназначено для закрепления теоретического материала раздела«Алгебра» и овладения практическими навыками решения задач. Пособие включает тематический текстовый материал, таблицы, рисунки, контрольные вопросы и задания.

1701000000-14

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

2

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Понятие функции

Понятие функциональной зависимости – одно из основных понятий математики. Нас окружает множество изменяющихся величин, их многообразие огромно. Некоторые из этих величин связаны между собой, а другие совсем не связаны.

Переменная – это общий термин для обозначения различных меняющихся величин. Мы будем изучать такие переменные величины, между которыми существуют зависимости, позволяющие определить единственное значение одной из них, если известно значение другой переменной.

Пусть X и Y – заданные множества.

Определение. Функция f : X ® Y – это соответствие меж-

ду множествами X и Y, при котором каждому элементу x Î X соответствует единственный элемент y ÎY.

Переменная x называется аргументом функции или независимой переменной. Элемент y ÎY , соответствующий фиксиро-

ванному значению аргумента x, называют значением функции и обозначают через f (x). При изменении аргументаx значения функции y = f (x), как правило, тоже изменяются, поэтому y часто

называют зависимой переменной.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f ). Множество всех значений функции f, кото-

рые она принимает на элементах множестваX, называется областью значений функции и обозначается E(f ).

Понятие функции – это очень общее понятие, с которым мы сталкиваемся на каждом шагу и не всегда отдаем себе в этом отчет.

Пример 1. Каждому положительному числуx поставим в соответствие число f (x)= x 3 - объем куба с ребром x, получим

функцию f, для которой множества X и Y – множества положительных чисел.

3

Пример 2. Пусть множество X – множество слов русского языка, а множество Y – русский алфавит. Каждому слову русского языка x Î X поставим в соответствие его первую букву f (x)ÎY . Так поступают при составлении словарей.

Пример 3. Пусть X – множество людей, живущих на Земле, Y – множество, состоящее из четырех элементов: I, II, III, IV – группы крови. Каждому человеку x Î X поставим в соответствие его группу крови. В дальнейшем будем считать, что X и Y – числовые множества. Если какое-либо из этих множеств не является числовым, то такие функции в математике чаще называют отображениями. Таковы функции в примерах 2 и 3.

1.2. Способы задания функции

Для того чтобы определить переменнуюy как функцию от переменной x, нужно задать множество значений аргументаx и указать правило вычисления y в зависимости от x. Задать это правило можно различными способами.

1. Табличный способ.

Функцию можно задать таблицей, где перечисляются значения аргумента и соответствующие им значения функции, но сделать это возможно лишь для конечного множества значений аргумента. Этот способ задания функций широко распространен, так как результаты наблюдений за какой-либо характеристикой природного процесса приводят к табличному заданию величин.

2. Графический способ.

Часто функцию задают с помощью графика.

Определение. График функции – это множество точек плоскости с координатами (x; f (x)), где x – это значения аргумента, f (x) - соответствующие значения функции.

4

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции. Кардиограммы, сейсмограммы, осциллограммы представляют примеры графического задания функций.

Заметим, что далеко не каждая кривая на плоскости является графиком некоторой функции. Если какому-нибудь значению

x на оси абсцисс соответствует две или больше двух точек на кривой, то эта кривая не может быть графиком функции, так как

не выполнено условие единственности значения y для каждого x. На рис. 1. изображен график функции, а на рис. 2 кривая – не график функции.

4

3

2

1

0

3. Аналитический способ.

Это задание функции с помощью формулы.

Пример 1. f (x) = 5. Эта функция определена для любого действительного x. D(f ) = R; E(f ) = {5}.

Пример 2. f (x) = x 2 .

D(f )= R; E(f ) = [0;+¥).

5

Пример 3. f (x )= 2 . x - 4

D(f )= (- ¥;4)È (4;+¥);

E(f ) = (- ¥;0)È (0;+¥).

Пример 4. Функция sgnx (функция знака).

Символ sgnx читается: сигнум икс, обозначает знак числа (от латинского слова signum – знак). Этим символом обозначается и функция:

ì-1, если x < 0,

ï

sgnx = í0, если x = 0,

ïî1, если x > 0.

Таким образом,

D(f ) = (- ¥;+¥); E(f ) = {-1;0;1}.

Например, sgn (3698) = 1, sgn (-496) = 1.

График этой функции имеет вид (рис. 3):

Рис. 3

Пример 5. Функция Дирихле:

ì-1, если x ÎQ, f (x )= í

î0, если x ÎR / Q.

Здесь D(f )= R; E( f ) = {1;0}.

6

Над функциями можно производить арифметические действия и умножать их на действительные числа. Если заданы две функции f и p с областями определения D(f ) и D(p), то на множестве D(f )Ç D(p) определены сумма, разность, произведение

этих функций:

(f ± p)(x)= f (x)± p(x);

(f × p)(x)= f (x)× p(x);

атакже частное функций, если p(x) ¹ 0 :

Две функции считаются равными, если они имеют одну и ту же область определенияD и для любого x Î D их значения совпадают: f (x) = g (x).

Пример 6. Рассмотрим функции:

f (x )= 1 и p(x) = 7 - x. x - 4

Запишем их области определения:

D(f )= (4;+¥); D(f )= (- ¥;7];

D(f )Ç D(p)= (4;7].

На этом множестве можно рассматривать новые функции:

(f + p)(x )= f x( +)p x =( ) 1 + 7 - x;

x - 4

( f × p)(x )= f (x )× p x( =) 7 - x

x - 4

для любого x Î(4;7).

7

Контрольные задания

1)Дана функция: f (x )= x 2 +1 .

x3 - 2x

а) найдите ее область определения; б) найдите f (-1); f (2); f (0,3).

2) Найдите область определения функции:

3) Вычислите sgn (x2 - 4x + 3).

1.3. Четные и нечетные функции

Определение. Функция f называется четной, если для любого x Î D(f ) верно равенство:

f (- x)= f (x).

Функция f называется нечетной, если для любого x Î D(f )

верно равенство:

f (- x)= - f (x).

Выполнение этих равенств означает, что если x0 Î D(f ), то и - x0 Î D( f ). Это значит, что область определения функции есть

множество, симметричное относительно нуля.

Если область определения некоторой функции не является множеством, симметричным относительно нуля, то эта функция не может быть четной или нечетной.

8

Чтобы доказать, что данная функция f является четной или

венств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной. Определить, что функция не является ни четной, ни нечетной можно и иначе. Для этого достаточно показать, что ее область определения есть множество, несимметричное относительно нуля.

Пример 1. Выяснить, является ли четной функция:

f(x )= x4 - 2x2 .

x2 + 5

Решение. Область определения данной функции– множество (- ¥;+¥), симметричное относительно нуля:

Следовательно, функция является четной.

Пример 2. Функция f (x)= x3 нечетная, так как для любого

x Î (- ¥;+¥)... f (- x)= (- x)3 = -x3 = - f (x).

симметрично относительно оси ординат(рис. 4). Отсюда следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

9

Пусть теперь функция f нечетная. Точка (x0 ; f (x0 )) симметрична точке (- x0 ;- f (x0 )) относительно начала координат, поэто-

му график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

10