Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Таким образом, односторонние пределы функции f (x) в точке x0 = 3 бесконечны, а это согласно определению, означает что в точке x0 = 3 функция f (x) имеет разрыв второго рода.

При построении графиков функций, имеющих точки разрыва следует иметь в виду следующее: если x0 – точка разрыва пер-

функции f (x), то по крайней мере один из пределов справа или слева в точке x0 не существует или равен бесконечности. Так, в примере 1 график функции f (x) делает в точке x0 = 0 скачок:

f (+ 0)- f (- 0) =1 - (-1) = 2.

В примере 4 пределы слева и справа для функции f (x )= 1 в 3 - x

точке x0 = 0 равны бесконечности.

21

1.7. Асимптоты графиков функций

Определение. Прямая y=kx+b называется асимптотой графика функции f(x) при x→ +∞, если

lim [f (x)- kx - b]= 0.

x®+¥

Таким образом, если прямая y=kx+b является асимптотой графика функции f(x) при x→+∞, то функция

a(x)= f (x)- kx - b

является бесконечно малой при x→ +∞. Отсюда следует, что

k= f (x) - b + a(x), x x

и поэтому

так как

b + a(x) lim x = 0.

x®+¥

Далее

b = f (x)- kx - a(x),

и поэтому

b = lim [f (x)- kx].

x®+¥

Аналогично определяется и находится асимптота графика

22

то прямая y=2x−1 является асимптотой графика данной функции при x→ −∞ и при x→ +∞. График функции изображен на рис. 13.

Рис. 13

Итак, прямая y=x является асимптотой графика данной функции при x→ +∞.

Пример 3. Пусть дана функция

f (x )= 1 ( x 2 + x +1 + x 2 - x +1). 2

24

Вычислим пределы:

+2x = 0.

Следовательно, прямая y=−x является асимптотой для графика данной функции при x→−∞. Изображение графика дано на рис. 14.

Рис. 14

25

Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если

lim f (x)= ¥ или lim x®a+0 f (x)= ¥.

x®a-0

Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот графика функции f (x) в качестве точки a, через которую может проходить вертикальная асимптота, следует рассматривать точки

Рис. 15

26

Пример 5. Пусть дана функция

Рассмотрим точки x=0 и x=1, где эта функция не определена. В этих точках

Следовательно, прямые x=0 и x=1 являются вертикальными асимптотами графика данной функции. Кроме того, прямая y=0 является асимптотой графика функции при x ® ±¥.

Изображение графика дано на рис. 16.

Рис. 16

27

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.1. Понятие предела функции в точке

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть f (x) = x 2 , x Î]- ¥;+¥[. Найдем значения этой функции f для некоторых x из d - окрестности точки x=3

(то есть из интервала ]- ¥;+¥[, где d > 0 ).

Из приведенных данных легко можно увидеть, что чем ближе x к 3, тем ближе к числу 9 значение f(x), соответствующее этому x. Покажем, что для каждого e > 0 функция при-

нимает значения из d - окрестности точки 9, если значения аргумента x брать из некоторой d - окрестности точки 3, где d находится по e .

Действительно, рассматривая значения x, удовлетворяющие неравенству

x - 3 < d ,

а значит и неравенству

x + 3 < d + 6 ,

получаем

x 2 - 9 = x - 3x + 3 < d(6 + d) .

28

В этом случае говорят, что функция f(x) имеет своим пре-

делом число 9 в точке x=3 (или при x ® 3 ), и пишут lim x 2 = 9 .

x®3

Пример 2. Рассмотрим функцию f (x) = x 2 - 4 , заданную x - 2

на всей числовой оси, кроме точки x=2. Рассмотрим значения, которые принимает данная функция, если аргумент принимает значения из некоторой окрестности точки 2, исключая саму точку 2:

функции f(x) мало отличаются от числа 4, если x находится вблизи точки 2. Покажем, что для каждого e > 0 значения функции находятся в e -окрестности точки 4, если x принадлежит некоторой d -окрестности точки 2 и x ¹ 2 , где d находится по e .

В самом деле,

щего неравенство 0 < x - 2 < d .

В этом случае говорят, что функция f(x) имеет своим пределом в точке x = 2 (или при x ® 2 ) число 4, то есть

Сформулируем теперь определение предела функции в точке. Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой

окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a. Число B

называется пределом функции f(x) в точке a (или при x стремя-

щемся к a), если для каждого e > 0 найдется такое число d > 0 ,

29

при x ® a.

Замечание 1. Отметим, что точка a, в которой рассматривается предел функции f(x), может принадлежать области определения функции f(x), а может и не принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке.

Замечание 2. При рассмотрении понятия предела функции в точке важно иметь в виду, что выбор d зависит от точки и от e и от точки a, в которой рассматривается предел.

2.2. Теорема о единственности предела

Теорема. Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Доказат ель ств о. Доказательство проведем методом от противного. Пусть в точке x = a функция f (x) имеет два раз-

30