Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Возьмем e = A - B . 4

Тогда

A - B < 1 A - B , 2

но это неравенство невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, и поэтому A = B. Теорема доказана.

2.3. Теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах функций(о пределе суммы, произведении и частного), облегчающие вычисление пределов, аналогичны соответствующим теоремам о пределах последовательностей.

Теорема 1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разноси) их пределов, если последние существуют:

Теорема 2. Предел произведения функций равенпроизведению их пределов, если последние существуют:

Следстви е. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

lim[cf (x) ]= c lim f ( x),

если существует

lim f (x).

x®a

Теорема 3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя не равен нулю:

31

x®a

если

lim g( x) ¹ 0.

x®a

Пример 1. Найти

lim(9x2 - 6x + 8).

x®1

Решени е. Применив теоремы о пределах суммы, разности и произведения, получим:

lim(9x2 - 6x + 8) = lim(9x2 ) - lim(6x) + lim 8 =

x®1 x®1 x®1 x®1

= 9(lim x)× (lim x)- 6 ×1 + 8 =

x®1 x®1

= 9 ×1×1 - 6 ×1 + 8 =11.

Пример 2. Найти

lim x2 - 5x + 6 .

x®2 x - 2

Решени е. Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Разложим числитель на множители:

x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2).

Так как при нахождении предела в точке 2 рассматриваются лишь x ¹ 2 , то можно сократить на x - 2 , и поэтому:

32

Пример 3. Найти

lim x -1 .

x®1 x -1

Решени е. Прежде всего покажем, что

lim x = 1.

x®1

Для любого x > 0

x -1 = x -1 £ x -1, x +1

и поэтому для каждого e > 0 , полагая d = e, получаем

x -1 < e.

Для всех x > 0 , удовлетворяющих неравенству 0 < x -1 < d.

Контрольные задания

Найти следующие пределы:

33

5) lim x2 + x - 2 ;

x®1 x -1

6) lim x 2 - x ;

x®0 x -1

7) lim 2x2 - 7x + 3 ;

x®0,5 2x -1

8) lim x2 - 4 ; x®2 10 -5x

9) lim 5 - x - 2 . x®1 2 - x -1

2.4. О пределе функции при x ® ¥ .

Бесконечный предел функции

При изучении свойств функции в бесконечности(то есть при x ® ¥ ) рассматривается бесконечный предел функции в точке, а также бесконечный предел в бесконечности.

Остановимся подробнее на пределе функции в бесконечности, то есть при x ® ¥.

Рассмотрим функцию

Очевидно, что при увеличении x знаменатель дроби 4

x2 + 3

возрастет и, следовательно, значения этой дроби сколь угодно малы по абсолютной величине. Таким образом, значение функ-

ции f (x) при достаточно больших значениях x мало отличают-

ся от числа1. В этом случае говорят, что функция f (x) имеет своим пределом 1 при x ® ¥ и пишут

lim f (x)= 1.

x®¥

34

f(x)- B < e.

Вэтом случае пишут

lim f (x) = B.

x®¥

В ряде случае поведение функцииf (x) разное при x ® +¥ и при x ® -¥.

Например, для функции

f(x )= 9x2 +1 ,

x-1

определенной для всех x ¹1 , имеем

ся аналогично lim f (x), только в самой формулировке определе-

x®¥

ния предела условие x > M следует заменить соответственно на x > M , и x < -M .

Кроме рассмотренного случая конечного предела функции f (x) при x ® a (при x ® ¥ ), используется понятие бесконечного предела.

35

x ® 0 . В этом случае говорят, что функция в точке x = 0 имеет

своим пределом бесконечность, и пишут lim 1 = ¥.

x®0 x2

Рис.17

Сформулируем определение бесконечного предела: если для каждого числа M > 0 существует такое d < 0 , что для любо-

нить на условие a -d < x < a (или a < x < a + d ), то получим определение левого предела(соответственно правого предела) функции f (x) в точке a .

36

В математике пользуются также понятием бесконечного предела в бесконечности, то есть пределом вида

lim f (x)= ¥,

x®¥

которое определяется следующим образом: если для каждого

37

Если

lim f (x) = ¥,

x®a

то функция f (x) называется бесконечно большой при x ® a.

Если же

lim f (x)= 0,

x®a

то функция f (x) называется бесконечно малой при x ® a. Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при x ® ¥, x ® -¥, x ® +¥.

Заметим, что, так же как и для последовательностей, имеет место следующее утверждение: если функция f (x) бесконечно малая при x ® a и f (x)¹ 0 для x ¹ a из некоторой окрестности

но и обратное утверждение: если функция f (x) бесконечно боль-

Контрольные задания

Вычислите пределы:

38

ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

ИЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1.Определение производной функции

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть x0 и x принадлежат этой окрестности, f(x0) и f(x) – соответствующие им значения функции y = f (x) .

Пусть x - x0 = Dx – приращение независимой переменной,

откуда x = x0 + Dx ; а f (x) - f (x0 ) = f (x0 + Dx) - f (x0 ) = Dy –

приращение функции (рис.18).

Рис. 18

Определение. Производной функции y = f (x) по независимой переменной x в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению независимой переменной ∆x при ∆x, стремящемуся к нулю (∆x→0), если этот предел существует.

39

дифференцируемой в точке x0, если она имеет конечную производную в этой точке.

Чтобы найти производную функции y = f (x) в точке x0, нужно:

1)найти y = f (x0 ) ;

2)дать аргументу x0 приращение ∆x и найти новое значе-

ние функции x = x0 + Dx Þ y = f (x0 + Dx) = y0 + Dy ;

3)найти приращение функции Dy = f (x0 + Dx) - f (x0 ) ;

4)найти отношение приращения функции к приращению

Пример 1. Найти производную функции y=8x+5, в точке x0. Решение.

1)y0 = f (x0 ) = 8x0 + 5 , в точке x0 .

2)Пусть x = x0 + Dx , тогда

y= f (x0 + Dx) = 8(x0 + Dx) + 5 = 8x0 + 5 + 8Dx.

3)Dy = f (x0 + Dx) - f (x0 ) = (8x0 + 5 + 8Dx) - (8x0 + 5) = 8Dx.

40