Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

лее конечного числа стационарных точек. Тогда для нахождения экстремумов функции надо:

1)найти критические точки функцииf(x), то есть точки, в которых или f’(x)=0 или f’(x) не существует;

2)исследовать знак производной f’(x) в некоторой d − ок-

рестности каждой критической точки. При этом если f’(x) меняет знак при переходе через такую точку, то функция f(x) в этой точке имеет экстремум. А именно, если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке минимум; если с плюса на минус, то в этой точке максимум. Если же знак f’(x) не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция f(x) не имеет экстремума

имеет экстремума.

Рассмотрим несколько примеров на закрепление сформулированного выше правила.

2

Пример 1. Пусть f (x )= x 3 (x - 3). Эта функция определена

на всей числовой прямой.

1) Вычислим производную данной функции:

f ¢(x )= 5x - 6 . 33 x

Найдем критические точки функции f(x):

а) пусть f ¢(x)= 0, тогда x = 6 ; 5

81

ности каждой критической точки. Результат исследования записываем в таблицу.

на всей числовой прямой, кроме точки x=0.

У данной функции одна критическая точкаx=0. Очевидно (рис. 23), что точка x=0 является точкой минимума данной функции. Сформулируем теперь достаточные условия существования экстремума в терминах значений производной второго порядка.

Рассмотрим пример на нахождение экстремума функции, используя данную теорему.

82

Пример. Найти экстремумы функции

ренной теореме точка x = 2 – точка максимума, а точка x = 3 – точка минимума данной функции.

f (x) обращаются в нуль, то рассмотренная теорема не дает отве-

та о экстремуме функции. Для решения вопроса о экстремуме функции необходимо обратиться к первому правилу. Например,

Правило 2. Чтобы найти экстремумы функции, надо:

1)найти стационарные точки xi , i =1, 2, . . . , n, функции f(x);

2)в каждой стационарной точке xi , i =1, 2, . . . , n, вычис-

лить вторую производную: если вторая производная положительна, то эта точка − точка минимума данной функции; если вторая производная отрицательна, то эта точка – точка максимума; если вторая производная равна нулю, то для установления экстремума необходимо использовать первое правило.

83

Пример. Найти экстремумы функции

f (x )= x4 - 2x2 + 5. 4

Решение.

1) Вычислим первую производную

f¢(x)= x3 - 4x = x(x2 - 4). .

2)Найдем стационарные точки:

(x(x 2 - 4)= 0)Û (x = 0 Ú (x2 - 4)= 0)Û (x = 0 Ú x = 2 Ú x = -2).

Итак, x1 = -2, x2 = 0 и x3 = 2 – стационарные точки данной функции.

3)Вычисляем вторую производную: f ¢¢(x)= 3x2 - 4.

4)Подсчитаем значение второй производной в стационарных точках:

f ¢¢(- 2) = 3 × (- 2)2 - 4 = 8 > 0, f ¢¢(0)= 3 × 02 - 4 = -4 < 0,

f¢¢(2) = 3 ×(2)2 - 4 = 8 > 0.

5)Следовательно, данная функция имеет:

а) в точке x = -2 минимум, так как f ¢¢(- 2)> 0, который равен

Контрольные задания

Исследовать на экстремум следующие функции:

1)f (x)=1 + 4x - x2 ;

2)f (x)= 3 + x2 - 6x;

84

3) f (x )= 1 x4 - x2 + 5; 4

4) f (x )= 1 x3 - x4 + 5; 3

5) f (x )= x + x ;

4x

6)f (x)= x;

7)f (x )= 3 x2 ;

8)f (x)= x2e-x ;

9)f (x)= ex + e-x ;

10)f (x) = x ln x;

11)f (x )= 1 + ln x.

x

4.4.Выпуклость графика функции

4.4.1.О понятии выпуклости графика функции

При построении графика функции, как правило, необходимо исследовать выпуклость (вверх или вниз) графика функции на отдельных участках из области определения данной функции. Действительно, например, на рис. 26 изображены графики функций, каждая из которых является возрастающей на отрезке [a; b],

однако хорошо видно различие в их поведении: случае (рис. 26, а) график функции обращен выпуклостью вниз; в случае (рис. 26, б) выпуклостью вверх; в случае (рис. 26, в) на интервале ]a; c[Ì [a; b] график функции обращен выпуклостью вверх, а на

интервале ]c; b[Ì [a; b] - выпуклостью вниз. С геометрической

точки зрения смысл выражения«обращен выпуклостью вниз» и «обращен выпуклостью вверх» вполне понятен. Придадим теперь этим выражениям точный математический смысл, дадим критерий для выяснения того, в какую сторону обращена выпуклость графика функции.

85

находится выше графика функции(рис. 25, а), так как угловой коэффициент касательной уменьшается с возрастанием x.

В этом случае легко видеть, что в каждой точке графика функции f (x), x Î ]a; b[, существует касательная и касательная

находится ниже графика функции(рис. 25, б), так как угловой коэффициент касательной увеличивается с возрастанием x.

4.4.2. Достаточное условие выпуклости графика функции

Теорема. Пусть функция f (x), x Î]a; b[ имеет первую и вторую производные. Тогда если f ¢¢(x)< 0 для всех x Î ]a; b[, то на интервале ]c; b[ график функции f (x) обращен выпуклостью вверх, если же f ¢¢(x) > 0 для всех x Î ]a; b[, то график функции f (x) обращен выпуклостью вниз на этом интервале ]c; b[.

86

Следовательно, согласно определению 1 график функции f (x) на интервале ]c; b[ обращен выпуклостью вверх.

Если же f ¢¢(x) > 0 для всех x Î ]a; b[, то согласно теореме 3 функция f ¢ возрастает на интервале]c; b[. Таким образом, согласно определению 2 график функции f (x) на интервале ]c; b[ обращен выпуклостью вниз.

y=f(x)

Рис. 26

Замечание. Условие знакопостоянства второй производной, являясь достаточным условием выпуклости (вверх или вниз) графика функции, не является вместе с тем необходимым условием. Так, например, функция f (x)= x4 + 3 имеет график, который об-

ращен выпуклостью вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная f ¢¢(x)=12x2 обращается в нуль в точке x = 0

(рис. 26).

87

Определение. Интервалами выпуклости графика функции называются интервалы, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз.

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов выпуклости графика функции.

Пусть функция y = f (x), x Î ]a; b[, имеет в интервале ]c; b[ производные до второго порядка включительно, кроме, быть может, конечного числа точек, и f ¢¢(x) имеет не более конечного числа нулей в интервале ]c; b[.

Тогда для нахождения интервалов выпуклости графика функции f (x) надо:

1) найти критические точки функции y = f (x) (по второй производной), принадлежащие интервалу ]a; b[, то есть точки, в которых или f ¢¢(x) = 0 или f ¢¢(x) не существует;

2) в каждом из интервалов, на которые разбивается интервал ]a; b[ критическими точками функции y = f (x), найденными в первом пункте данного правила, устанавливается знак f ¢¢(x).

Если в рассматриваемом интервале f ¢¢(x) > 0, то на этом интервале график функции y = f (x) обращен выпуклостью вниз, если же f ¢¢(x)< 0, то на этом интервале график функции y = f (x) обращен выпуклостью вверх (рис. 27).

y=x4 + 3

Рис. 27

88

Пример 1. Пусть f (x)= x3. Данная функция непрерывна на

всей числовой прямой, имеет производные до второго порядка включительно на всей числовой прямой:

f ¢(x)= 3x2 и f ¢¢(x)= 6x.

1) Найдем критические точки функции y = f (x) (по второй производной), то есть точки, в которых f ¢¢(x) = 0.

У данной функции одна критическая точка по второй производной – это x = 0. Точка x = 0. разбивает числовую прямую(область определения данной функции) на два интервала ]- ¥[ и ]0;+¥[.

Точка x = 2 разбивает интервал ]- ¥;+¥[ на два интервала ]- ¥;-2[ и ]2;+¥[. Так как f ¢¢(x)< 0 для всех x < 2 , то график данной функции обращен выпуклостью вверх на интервале ]- ¥;2[, а так как f ¢¢(x)> 0 для x > 2, то график обращен выпуклостью вниз на интервале ]2;+¥[ (рис. 29).

Контрольные задания

Для графиков следующих функций найти интервалы, в которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз:

89

y

y

y=x3 y=xe–x

x

x

предыдущем пункте, обладали тем свойством, что точки соответственно с абсциссами x = 0 и x = 2 разделяли интервалы выпуклости графика функции. Такие точки графика носят название точек перегиба.

Определение. Точкой перегиба графика функции f называется точка графика функции f, разделяющая интервалы выпуклости графика этой функции.

Очевидно, что в точке перегиба касательная к графику кривой должна с одной стороны находиться выше графика кривой, а с другой – ниже его, то есть пересекать кривую в этой точке

(см. рис. 26, в). Сформулируем условия существования точек перегиба графика функции.

Теорема 1. Необходимое условие. Пусть функция f(x) определена и имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале]a; b[. Тогда, если точка (x0 ; f (x0 )),

90