Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

6)x = y + sin y в точке (0;0);

7)ye y - ex x = y(x -1) в точке (1;1);

8)exy + x2 + y3 = 2 в точке (1;0).

3.7.Дифференцирование функций, заданных параметрически

Определение. Функция, заданная параметрически - это функция y = f (x) , заданная уравнениями:

x = j(t) , y = y (t) , где t – параметр.

Производную функции, заданной параметрически, можно найти по формуле:

c sin t

Ответ: yx' = - a(cost + b)

61

Контрольные задания

Найти производные функций, заданных параметрически:

ì 1

1)ïíx = x + 1 ;

62

S¢( t0 ) =Vмгн .

В механике производная от пройденного пути S по времени t есть скорость движения V в данный момент времени t0 .

Если слово «скорость» понимать в более общем смысле, то

f ¢(x0 ) = lim Dy = V .

Dt®0 Dx

Механический (физический) смысл производной: производная f ' (x0 ) есть скорость изменения функции f (x) в точке x0 .

Пример 1. Уравнение движения точки

S (t) = t × ln t ( t - в секундах, S - в метрах).

Найти скорость движения точки в конце второй секунды.

63

Решение.

x = t t ( t - в секундах, x - в метрах). Найти скорость изменения ординаты в точке М(1,7).

64

Решение.

1) Найдем уравнение изменения ординаты. Так как

x= t t , то y = x(8 - x) = t t (8 - t t ) = 8t t - t 3 .

2)Найдем скорость изменения ординаты

V (t) = y' (t) = 12 t - 3t 2 .

3) Для точки М(1,7) t = 1, тогда скорость изменения ординаты в точке М(1,7) равна

V (1) = y'(1) = 12 - 3 = 9 (м/с).

Ответ: V = 9 м/с.

3.9. Геометрический смысл производной

Пусть дана кривая y = f (x) . M 0 (x0 , f (x0 )) и M (x, f (x)) – точки кривой. Касательной АВ в кривой y = f (x) в точке M 0

называется предельное положение секущей MM 0 , когда точка М по кривой стремится к M 0 (рис. 19).

a – угол наклона касательной АВ к оси OX .

tga – угловой коэффициент касательной АВ в точке M 0 .

Геометрический смысл производной. Производная f '(x0 ) есть угловой коэффициент tga касательной к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 , f (x0 )) , то есть

f '(x0 ) = tga

65

Рис. 19

Уравнение касательной к кривойy = f (x) в точке

M 0 (x0 , f (x0 )) имеет вид:

y = f ' (x0 ) × (x - x0 ) + f (x0 )

или

y - y0 = f ' (x0 ) × (x - x0 ) .

Пример 1. Найти уравнение касательной к кривой

f (x) = x 2 - 3x + 5 в точке М(2,3).

Решение.

1)x0 = 2 ,

2)f (x0 ) = ( x0 ) 2 - 3x0 + 5 = 4 - 6 + 5 = 3 ,

3)f ' (x) = 2x - 3, f ' (x0 ) = f (2) = 4 - 3 = 1 ,

4)y = 1×( x - 2) + 3 = x +1 .

Ответ: Уравнение касательной y = x +1 или x - y + 1 = 0 .

66

Пример 2. В какой точке кривой y = x 2 - 7x + 3 касательная к ней параллельна прямой y = -5x + 3 ?

Решение.

1) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Касательная параллельна прямой y = -5x + 3 , поэтому их

угловые коэффициенты равны:

kкас = y¢( x0 ) = kпрям

или

y' (x0 ) = 2x0 - 7 = -5 ; x0 = 1.

2) Точка (x0 , y0 ) принадлежит кривой y = x 2 - 7x + 3 , поэтому

y = x02 - 7x0 + 3 = 1 - 7 + 3 = -3.

Ответ: (x0 , y0 ) = (1,-3) .

Пример 3. Под каким углом синусоида y = sin3x пересека-

3

ет ось OX в начале координат? Решение.

1) Угол, под которым синусоида

y = sin 3x

3

пересекает ось OX в начале координат, равен углу наклона касательной к синусоиде в точке (0,0). Угловой коэффициент касательной к синусоиде в точке (0,0) равен tgay = y¢(0) , где a – угол наклона касательной к оси OX.

и

y'(0) = 33 .

67

Тогда

tga = 3 = 3

3

и

a = arctg 3 = p . 3

p

Ответ: a = 3 .

Пример 4. Найти уравнение касательной к кривойx = t 2 ; y = t 3 в точке t0 = 2 .

Решение.

1)x(t0 ) = 4 .

2)y(t0 ) = 8 .

Ответ: Уравнение касательной y = 3x - 4 или 3x - y - 4 = 0 .

Контрольные задания

1) Найти уравнение касательной к кривой y = (x +1) ×3 3 - x

в точках:

а) A(–1;0); б) B(2;3); в) C(3;0).

2) В каких точках кривой y = 2 + x - x2 касательная к ней: а) параллельна оси OX;

б) параллельна биссектрисе первого координатного угла? 3) Найти уравнение касательных к окружности x2 + y 2 = 25 ,

которые параллельны прямой 2x - y +1 = 0 .

68

ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

КИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

4.1.Возрастание и убывание функции

интервалу ]a; b[и таких, что х1<х2, имеет место неравенство f(x1)<f(x2). Короче, функция f(x), x Î ]a; b[, называется возрастающей на интервале ]a;b[, если она удовлетворяет условию:

("x1 Î ]a;b[)("x2 Î ]a;b[) (x1 < x2 => f (x1 )< f (x2 )).

Сформулируем теорему о необходимом условии возрастания функции на интервале.

Теорема 1. Если дифференцируемая функцияf(x), x Î ]a;b[, возрастает на интервале ]a;b[, то f’(x0)≥0 для любого х0 из интервала ]a; b[. Короче, возрастающая и дифференцируемая на интервале ]a; b[ функция f удовлетворяет условию

("x0 Î ]a;b[) f’(x0)≥0.

Доказат ель ств о. Согласно определению возрастающей на ]a; b[ функции, имеем

("x0 Î ]a;b[)("x Î ]a; b[) (x0 < x => f (x )- f (x0 ) < 0)

или

("x0 Î ]a;b[)("x Î ]a; b[) (x < x0 => f (x)- f (x0 )< 0).

Следовательно,

69

Так как f дифференцируема на ]a;b[, то, переходя к пределу в последнем неравенстве при х→ х0, получим

Итак, теорема доказана.

Определение 2. Функция f(x), x Î ]a;b[ называется неубывающей на интервале ]a;b[, если для любых х1 и х2, принадлежащих интервалу ]a; b[и таких что х1<х2, имеет место неравенство f(x1 )≤ f(x2). Для неубывающей функции имеет место теорема, аналогичная теореме 1.

Определение 3. Функция f(x), x Î ]a;b[ называется убывающей на интервале ]a;b[, если для любых х1 и х2, принадлежащих интервалу ]a; b[ и таких, что х1<х2 имеет место неравенство f(x1)>f(x2). Короче, функция f(x), x Î ]a;b[ называется убывающей на интервале ]a;b[, если она удовлетворяет условию

("x1 Î ]a;b[)("x2 Î ]a; b[) (x1 < x2 => f (x1 )> f (x2 )).

Рассмотрим теперь теорему о необходимом условии убывания функции на интервале.

Теорема 2. Если дифференцируемая функцияf(x), x Î ]a;b[, убывает на интервале]a;b[, то f’(х0)≤0 для любого х0 из интервала ]a; b[. Короче, убывающая и дифференцируемая на интервале ]a;b[, функция f удовлетворяет условию

("x1 Î ]a; b[) f (x0 )£ 0.

Доказат ель ств о. Так как функцияf(x) убывающая, то функция F(x)=−f(x) возрастающая, и поэтому в силу теоремы 1, F’(x0)=−f’(x0)≥0 для любого x0 Î ]a;b[. Отсюда следует, что

f’(x0) ≤0 для любого x0 Î ]a;b[.

Функции возрастающая, невозрастающая, убывающая и неубывающая носят название монотонных функций, а возрастающая и убывающая функции получили название также строго монотонных функций.

70