Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

4) Dy = 8Dx = 8. Dx Dx

5) y'= lim Dy = lim 8Dx = 8 .

Dx®0 Dx Dx®0 Dx

Следовательно, y' = f ' (x0 ) = 8 .

Пример 2. Найти производную функции

y = 1 , x ≠ 0 в точке x0 = 2. x

Решение.

1) y0 = f (2) = 1 .

2) Пусть x = 2 + Dx , тогда y = f (2 + Dx) =																		1
2) Пусть x = 2 + Dx , тогда y = f (2 + Dx) =																		2 + Dx
																		2 + Dx
3)	Dy = f (2 + Dx) - f (2) =								1			-		1	= 2 - 2 - Dx
3)	Dy = f (2 + Dx) - f (2) =											-			= 2 - 2 - Dx
									2 + Dx				2				2(2 + Dx)
= -		Dx		.
= -		2(2 + Dx)		.
4)	Dy = -			Dx			: Dx = -			1						.
4)	Dy = -						: Dx = -			+ Dx)						.
	Dx		2(2 + Dx)						2(2	+ Dx)
			Dy			æ			1	ö						1
5)	y' = lim				= lim ç			-			÷		= -				.
5)	y' = lim				= lim ç			-			÷		= -				.
		Dx®0 Dx				ç		2(2		÷						4
		Dx®0 Dx				Dx®0è		2(2	+ Dx) ø							4

Следовательно, y' = f ' (2) = - 1 .

Пример 3. Найти производную функции y = 1 при любом

x ≠ 0.

Решение.

1) Пусть x = x + Dx , тогда y(x + Dx) =

x + Dx

2) Dy = y(x + Dx) - y(x) =

x - (x + Dx)

x + Dx x

x(x + Dx)

;

x(x + Dx)

Dy = -

x(x + Dx)

y' = lim Dy

= lim

= -

Dx®0 Dx

x(x

Dx®0è

+ Dx) ø

æ 1

Следовательно,

y'= ç

= -

è x

Пример 4. Найти производную функции y = cos x . Решение.

1) Dy = y(x + Dx) - y(x) = cos(x + Dx) - cos x =

æ 2x + Dx ö

= -2 sinç

× sin

Dx ö

2) y' = lim Dy

2sinç x +

×sin

= lim

2 ø

Dx®0 Dx

Dx®0

Dx ö

- sin

= lim sinç x +

= -sin x.

Dx®0

Следовательно,

y' = (cos x)'= -sin x .

Контрольные задания

Найти производные функций:

1)y = x2 ;

2)y = x ;

3)y = x 2 -1 в точке x = 5 ;

4)y = sin x - x в точке x = p .

3.2. Формулы дифференцирования основных элементарных функций

1.(const )' = c'= 0 ;

2.(x)' =1 ;

3.(xm )' = m × x m-1 ;

4.	(	x )'=		1	;
			2	x
	æ	1	ö	1
5.	ç		÷'= -		;
5.	ç		÷'= -	x 2	;
	è x		ø	x 2

6.(a x )'= a x ×ln a ;

7.(e x )'= e x ;

8. (loga	x)'=	1	;
		x ln a

9. (ln x ')= 1 ; x

10.(sin x)' = cos x ;

11.(cos x)'= -sin x ;

12.	(tgx ')=			1		;
12.	(tgx ')=	cos 2 x				;
		cos 2 x
13.	(ctgx)' =			1				;
13.	(ctgx)' =		- sin 2			x		;
			- sin 2			x
14.	(arcsin x)'=						1			;
						1- x2
15.	(arccos x)'= -						1			;
				1				1- x2
16.	(arctgx)' =			1			;
16.	(arctgx)' =				1 + x2		;
17.	(arcctgx)' = -					1			.
17.	(arcctgx)' = -								.
					1 + x 2

3.3. Основные правила дифференцирования

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в некоторой точке x. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (если v(x) ¹ 0 ) дифференцируемы в этой точке.

I. (u ± v)' = u'±v'

II. (u × v)' = u' v + uv'

III. (cu )' = cu',

c = const

æ u

u' v - uv'

, v

¹ 0

IV. ç

÷'

è v

æ c ö

cv'

, v

÷'=

¹ 0

è v ø

Используя формулы (1)-(17) и правила дифференцирования I-V, найдем производные некоторых функций.

Пример 1.	y = x5 / 6		+ 4 .
Решение:			y'= (x5 / 6 )+ 4'=		5
					5	x-1/ 6 .
						x-1/ 6 .
	5			6
Ответ: y' =	5	x -1/ 6
Ответ: y' =	6	x -1/ 6
	6
Пример 2.	y = x4 / 3 + x-1/ 2 + 0,1x10 .
Решение:
y'= 4 x1/ 3 - 1 x-3 / 2 + x9 = 4 3 x - 1 + x9 .
	3		2	3		2x x
Ответ: y' = 4 3 x -			1	+ x9 .
	3		2x	x

Пример 3. y = (2x3 + 3)×7 x .

Решение:

y' = (2x3 + 3)'×7 x + (2x3 + 3)×(7 x )' =

=6x2 ×7 x + (2x3 + 3 )×7 x ×ln x =

=(6x 2 + (2x3 + 3 )ln 7)×7 x.

Ответ: y' = (6x2 + (2x3 + 3 )ln 7)× 7x.

Пример 4. y =	5	+	ln x	.
	sin x
			x2

Решение:


æ	5 ö		æ ln x ö			5 ×(sin
y' = ç		÷'+ç		x 2	÷' = -	sin 2

è sin x ø			è		ø

x)'	+	(ln x)' x 2 - ln x(x 2 )	=
x		(x 2 )2

1		× x2 - ln x ×2x
= - 5×cos x +	x		=	.

sin 2 x		x4

=-5cos x ×cos ec2 x + 1- 2ln x .

Ответ: y' = -5 cos x × cos ec2 x + 1 - 23ln x . x

Пример 5.

y = x3 log7 x .

Решение:

y' = (x3 ' )log7 x + x3 (log7 x )' = 3x2log7 x + x3

xln7

= x

3log7 x +

÷.

ln7

Ответ: y' = x

2 æ

x +

1 ö

ç3 log7

ln 7 ø

Пример 6.

y = x x (3ln x - 2) .

Решение.

Запишем

данную

функцию

ви

y = x3 / 2 (3ln x - 2) .

Тогда

y'= (x3 / 2 )'(3ln x - 2) + x3 / 2 (3ln x - 2)'=
= 3 x1/ 2 (3ln x - 2) + x3 / 2 ×3 1 =
2	x
= 9 x1/ 2 ln x - 3x1/ 2 + 3x1/ 2 = 9 x ln x.
2	2
Ответ: y' = 9	x ln x.
2
Пример 7. y = sin x - cos x .
	sin x + cos x
Решение:

y' = (sin x - cos x)'×(sin x + cos x) - (sin x - cos x) × (sin x + cos x)'							=
			(sin x + cos x)2
	(sin x + cos x)2	+ (sin x - cos x)2			2	.
=				=
=	(sin x	+ cos x)2		=	(sin x + cos x)2
	(sin x	+ cos x)2			(sin x + cos x)2

Ответ: y' =		2		.
Ответ: y' =	(sin x + cos x)2			.
	(sin x + cos x)2
Пример 8.		y =	arcsin x		.
Пример 8.		y =			.
Решение:			x
Решение:							1
						x ×	1		- arcsin x
		(arcsin x)'×x - arcsin(x)'				x ×			- arcsin x
y'=		(arcsin x)'×x - arcsin(x)'				=	1 - x 2			=
y'=			x 2			=		x 2		=
			x 2					x 2

=x - 1 - x 2 ×arcsin x .

x2 × 1 - x 2

Ответ: y' = x - 1 - x2 × arcsin x . x2 × 1 - x2

Пример 9. y = x × tgx + ctgx.

Решение:

y' = (x)'×tgx + x(tgx)'+(ctgx)' = tgx +					x	1		.
						-
					cos 2 x	-	sin 2 x
Ответ: y' = tgx +		x	-	1
Ответ: y' = tgx +	cos2 x		-	sin2 x
	cos2 x			sin2 x
Пример 10. Найти		f ' (0) , если f (x) = e x arcsin x + arctgx .
Решение.

1)f '( x ) = ( exarcsinx )' +( arctgx )' = ( ex )' arcsinx + +ex ( arcsinx )' + ( arctgx )' =

= e

arcsinx +

1 - x2

ex (

1 - x2 arcsinx +1 )

1 - x2

f '( 0 ) =1 +1 = 2.

Ответ:

f ' (0) = 2.

Контрольные задания

Используя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

1)y = 3 x × 3 x ;

2)y = (x2 - 2x +3) ×ex ;

3) y = 1 ;

x+1

4)y = x +1 ;

x-1


5)	y =	x		; найти	y'(1);
		x3 +1
6)	j(z) =			1	; найти j'(0);
			z 2	+ 2z + 3

7)s = t 2 + t +1 ;

8)y = 1+ x ;

1 - x

9) f (x) =	x ;
	x +1

10)y = x × (5 x - 5 2 ) ;

11)y = x2 sin x + 2x cos x - 2sin x ;

12)	y = 2 x3 ×	x + 2 x7 ×3 x ;
	7	15
13)	y = x4 (3	x + 8) ;

	y =	a - x 2
14)				;

		a + x 2
15)	y = x3 cos x +				ctgx	;

					x
		e x
16)	y =		;

arcsin x

17)y = 13x ; 13x +1

18)y = x ln x - x ;

19)y = e x (sin x + cos x) ;

20)y = x3ctgx ;

21)y = 3x arcsin x ;

22)y = (1 + x2 )arctgx ;

23)y = tgx ;

24)	y =		arctgx			;
24)	y =		1 + x 4			;
			1 + x 4
25)	y = arcsin x ;
				x + 4
26)	y =				tgx	;
26)	y =			x	8 +1	;
				x	8 +1
27)	y =			2x +1		;
27)	y =			3x - 2		;
				3x - 2
	y =		ln x + e x
28)								;
28)								;
				x 2 + 4
29)	y = 3				x sin x ;
30)	y = cos x ×(x3 + 4) ;
31)	y =				2		;
31)	y =	sin x + 2					;
		sin x + 2

32)y = arccos x ;

1- x 2

33)y = e x - ln x ; e x + ln x

34)y = 10x ln x ;

35)y = sin x × arcsin x ;

36)y = 1 tgx + 8ctgx.

3.4. Дифференцирование сложной функции

Пусть

функция u = g(x) имеет

точкеx0

производную

u'x = g' (x0 ),

а функция yè = f (u) имеет в соответствующей точ-

ке u0 = g(x0 )

производную u'u = f ' (u0 ) . Тогда сложная

функ-

ция y = f (g(x))

имеет в точке x0 производную

y'x = [f (g(x))]' = f ' (u0 ) × g' (x0 )

или

y'x = y'u ×u'x .

Пример 1.

Найти производную функции y = (1 + x2 )3 .

Решение. Пусть u =1+ x2 , тогда y = u3 .

По

правилу

дифференцирования

сложной

функции

получим:

= (u3 )' ×(1 + x2 )'

= 3u 2

× 2x = 6x × (1 + x2 )2 .

Ответ:

6x × (1 + x 2 ) 2 .

Пример 2.

æ x +1

ö2

Найти производную функции y =

÷ .

x +1

è x -1

Решение.

Пусть y = u 2 , где u =

, тогда

x -1

æ x +1 ö

y' = (u

)'×u'

= 2u ×ç

÷'= .

è x -

1 ø

= 2 ×

x +1

(x +1)'×(x -1) - (x +1) ×(x -1)'

x -1

(x -1)2

= 2 ×

x +1

(x -1) - (x +1)

= -

4 × (x +1)

x -1

(x -1)2

(x -1)3

Ответ:

y' = -

4 × (x +1)

(x -1)3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]