Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

где	x0 Î]a; b[, является точкой	перегиба	графика функции
y = f (x), то f ¢¢(x0 )= 0.
	Доказат ель ств о. Доказательство будем проводить мето-
дом	от противного. Допусти, что	f ¢¢(x0 )< 0	(соответственно

f¢¢(x0 )< 0 ).

Всилу непрерывности второй производной найдетсяок-

рестность точки x0 такая, что f ¢¢(x0 )< 0 (соответственно f ¢¢(x0 )> 0 ) для всех x из этой окрестности, включая и точку x0 ,

то есть ("x Î ]x0 - d; x0 + d [) f ¢¢(x0 )< 0	или ("x Î ]x0 - d; x0 + d [)
f ¢¢(x0 )> 0. Получаем кривую вида y =	f (x).

На интервале]x0 -d ; x0 + d [ будет обращена выпуклостью вверх (соответственно вниз). Последнее противоречит тому, что x0 является точкой перегиба. Значит, f ¢¢(x0 )= 0 , что и требовалось доказать.

Замечание. Подобно тому, как все точки экстремума функции находятся среди критических точек этой функции по первой производной, так и все точки перегиба функции из рассматриваемого класса находятся среди критических точек функции по второй производной.

Теорема 2. Остаточное условие. Если функция f (x),

x Î]a; b[, имеет производные первого и второго порядка на интервале ]a; b[ и ее вторая производная меняет знак при переходе

аргумента через x0 Î]a; b[, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции y = f (x), x Î]a; b[.

Дока зат ель ств о. Пусть f ¢¢(x) при переходе через точку

x0 меняет знак с минуса на плюс. Тогда в силу теоремы точка x0

такова, что, с одной стороны, от точки x0 график функции y = f (x) обращен выпуклостью вверх, а с другой стороны, от

этой точки x0 обращен выпуклостью вниз. Последнее, согласно определению точки перегиба означает, что точка (x0 ; f (x0 )) –

точка перегиба графика функции f (x). Аналогично доказывает-

ся, что и в случае, когда f ¢¢(x) при переходе через точкуx0 ме-
няет знак с плюса на минус, точка (x0 ; f (x0 )) – точка перегиба
графика функции y = f (x).
Приведем теперь правило нахождения точек перегиба гра-
фика функции.
Пусть y = f (x) определена в интервале]a; b[, имеет в этом
интервале непрерывные производные до второго порядка вклю-
чительно и f ¢¢(x) имеет не более конечного числа нулей в интер-
вале ]a; b[. Тогда для нахождения точек перегиба графика функ-
ции y = f (x),	x Î]a; b[, нужно: найти критические точки функ-
ции y = f (x),	x Î]a; b[, принадлежащие интервалу ]a; b[ и иссле-
довать знак второй производной f ¢¢(x) в некоторой окрестности

каждой критической точки x0 (окрестность выбирается так, что-
бы в нее не попали другие критические точки). При этом, если
f ¢¢(x) меняет знак при переходе аргумента через такую точку x0 ,
то точка (x0 ; f (x0 )) есть			точка		перегиба	графика	функции
y = f (x), x Î]a; b[.
Пример.	Найти	точки			перегиба	графика	функции
f (x)= x 4 - 2x3 +1.
Решение. Данная функция f (x)					определена на всей число-
вой прямой.
1) Вычислим производные:
		¢		3	2
		¢			- 6x ,
		f (x)= 4x			- 6x ,
		¢¢
		f	(x)=12x(x -1).
Найдем критические		точки функцииy = f (x) (по второй
производной) из уравнения		f ¢¢(x)= 0 , то есть 12x(x -1)= 0.
Итак, x1 = 0 и x2	=1 – критические точки данной функции.

2) Выясним теперь знак f ¢¢(x) в окрестности точек x1 = 0 и

x2	=1. Если x Î ]-d ;0[то f ¢¢(x)> 0 ; если			x Î ]0;d [то	f ¢¢(x)< 0 . Та-
ким образом, точка (x1 ; f (x1 ))= (0;1) – точка перегиба.					x Î ]1;1 + d [
	3) Если	x Î ]1 -d ;1[,	то f ¢¢(x)< 0 ; если
то	f ¢¢(x)> 0 .	Следовательно,	точка	(x2 ; f (x2 ))= (1;0) – точка
перегиба.

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Способ построения графика функции «по точкам» не является совершенным. Использование аппарата производной при построении графика функции значительно облегчает эту задачу. При построении графиков функций можно использовать - сле дующую схему.

1) Найти область определения функции y = f (x) , если она заранее не указана.

2)Проверить функцию на четность и нечетность.

3)Исследовать функцию на периодичность.

4)Найти точки пересечения графика функции с осями ко-

ординат.

5)Найти критические точки функции, в которых f (x) = 0

или имеет разрыв, надо исследовать знак функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции критиче-

скими точками, то есть найти интервалы знакопостоянства функции y = f (x) .

6)Найти асимптоты графика функции.

7)Исследовать функцию на монотонность.

8)Найти точки экстремума функции.

9)Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции.

10)Построить график.

Пример 1. Построить график функции

f (x) =	x3
			.
	x2
		-1

Решение.

1)Область определения функции– вся числовая прямая,

кроме x = +1, x = –1.

2)f (x) – нечетная функция, так как f (-x) = - f (x) . По-

этому для построения графика y = f (x) достаточно исследовать

еедля x ³ 0 .

3)Функция непериодическая.

4)Найдем нули функции

æ	x3			ö
ç			= 0	÷	Û (x = 0) .
ç	2		= 0	÷	Û (x = 0) .
ç	2	-1		÷
è x		-1		ø

Далее найдем точки пересечения с осью ординат: полагая x = 0, получим f (0) = 0 . Таким образом, график функции прохо-

дит через начало координат.

5). Найдем критические точки функции

x1 = -1, x2 = 0, x3 = +1.

Эти точки x1 = -1,			x2 = 0 и	x3 = +1 разбивают числовую
прямую на четыре интервала:
	]- ¥;-1[, ]-1;0[,			]0;+1[ и ]+1;+ ¥[.
Так как	f (x) нечетная, найдем знак функции лишь в интер-
валах ]0;+1[	и ]+1;+ ¥[:

		x	0 < x <1		1 < x < +¥
		f (x)	–		+

В силу симметрии графика данной функции относительно начала координат (так как f (x) – нечетная функция) получим, что

на интервалах - ¥; -1		и - 1; 0		знак функции соответственно
]	[	]	[
«–» и «+».
6) Так как	f (x) = ±¥ и			lim f (x) = ±¥ ,
lim	f (x) = ±¥ и			lim f (x) = ±¥ ,
x®+1±0				x®-1±0

то прямые x = 1 и x = –1 являются вертикальными асимптотами.

Подсчитав	lim	f (x)	= lim	x3		= ±1, получим k = 1.
Подсчитав	lim		= lim			= ±1, получим k = 1.
	x®±1 x		x®±1 x(x 2 -1)
Далее рассмотрев
	lim [f (x) - kx]= lim				é x3		ù	= 0 ,
					ê		- xú
					ê		- xú
	x®±¥			x®±¥	ë x(x2 -1)		û

получим b = 0. Таким образом, график данной функции имеет асимптоту и уравнение этой асимптоты y = x.

7) Найдем производную:

			¢	x 2 (x2 - 3)
			f (x) =		,
			f (x) =	(x 2 -1)2	,
она существует во всех точках числовой прямой, кроме										x = ±1.
Поэтому критические точки функции f (x)					имеют вид
	x1 = - 3, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 3 .
	Изучим поведение		f ' (x) в окрестности					каждой		критиче-
ской	точки.	Вследствие	нечетности f (x)		[	достаточно				рассмот-
реть	знак	f ' (x) на		]	[	]		[	]	[	и
реть	знак	f ' (x) на	промежутках - 1; 0			,	0; 1 ,		1;	3	и
] 3; + ¥[. Результаты исследования запишем в табл.
	В точках x = –1 и x = 1 функция не имеет экстремума, так
как эти точки не принадлежат области определения											данной
функции.

В силу нечетности данной функции, можно утверждать, что при x = - 3 данная функция имеет максимум.

8) Чтобы исследовать график функции на выпуклость, найдем вторую производную:

f ' ' (x) =

2x(x 2 + 3)

(x2 - 1)3

Найдем критические точки данной функции по второй про-

изводной:

а)

f ' ' ( x) =

2x(x 2

+ 3)

= 0, x = 0 ;

2 -

1) 3

б)

f ' ' (x) не существует при x2,3 = ±1 . Однако эти точки

x = ±1 не принадлежат области определения функции,

поэтому

точка перегиба может быть только в точке с абсциссой x = 0

(табл. 1).

Таблица 1

-1 < x < 0

x = 0

0 < x < 1

1 < x < 3

x = 3

3 < x < +¥

f ¢(x)

Интервалы

монотон-

Нет

ности,

Убывает

экстре-

Убывает

Минимум

Возрастает

точки

мума

экстремума

Значение

3 =

экстре-

= 3 3

мума

Исследуем знак второй производной, результаты исследо-

вания запишем в табл. 2.

Таблица 2

- ¥ < x < -1

-1 < x < 0

x = 0

0 < x < +1

1 < x < +¥

f ¢¢(x)

Интервалы

монотонно-

Выпуклость

Точка

Выпуклость

сти, точки

вверх

вниз

перегиба

вверх

вниз

экстремума

9) По полученным данным исследования функции строим график этой функции (рис. 30).

Рис. 30

Пример 2. Построить график функции

x - 2 f (x) = 5 x2 .

Решение.

1)Область определения функции – вся числовая ось, кроме

x= 0, то есть x Î]- ¥;0[È ]0;+¥[ .


		2) Функция		не является ни	четной, ни	нечетной, так как
f (-x) ¹ - f (x) , f (-x) ¹ f (x) .
		3) Функция непериодическая.			f (x) = 0 .
		4) Найдем		нули функции:	f (x) = 0 .	Решив уравнение
	x - 2
5			= 0 , получим x = 2. Таким образом, график функции пе-
5	x 2		= 0 , получим x = 2. Таким образом, график функции пе-

ресекает ось абсцисс в точке x = 2. Далее так как x = 0 не входит в область определения функции, то делаем вывод о том, что график функции ось ординат не пересекает.

5) Используя результаты исследований шагов 1 и 4, найдем критические точки функции и установим интервалы знакопосто-

янства функции: x1

= 0 и x2

= 2 – критические точки функции,

]

[

]

[

они разбивают числовую ось на три интервала - ¥; 0 ,

0; 2

]

[

+ ¥

, в каждом из которых значения функции имеют посто-

янные знаки, представленные в табл. 3.

Таблица 3

- ¥ < x < 0

0 < x < 2

2 < x < +¥

f (x)

–

Выясним

вопрос

об

асимптотах

графика

функции.

Так как

5(x - 2)

lim f (x) = lim

= 0 ,

x ®±¥

lim

f (x)

= lim

5(x - 2)

= 0 ,

x®±¥

x 3

то

прямая y = 0, то есть ось абсцисс

является горизонтальной

асимптотой. А так

как

lim f ( x) = lim

5( x - 2)

= ¥ , то

прямая

x 2

x®±0

x = 0, то есть ось ординат, является вертикальной асимптотой.

Найдем производную
f '( x) =	5(4 - x)	,
f '( x) =	x 3	,
	x 3

она существует и конечна в области определения данной функции. Поэтому критическими точками функции f (x) (по первой производной) будут x1 = 0 и x2 = 4 .

Изучим поведение функции на промежутках на промежут-

]		[	] [		]	[	Результаты		исследования
ках	- ¥; 0 ,		0; 4	и	4;	+ ¥ .	Результаты		исследования
запишем в табл. 4.									Таблица 4
									Таблица 4
x		- ¥ < x < 0			0 < x < 4			x = 4	4 < x < +¥

f '(x)			–			+		0	–

Интервал.			Убывает		Возрастает			Максимум	Убывает

Значение								f(4)=0,6
экстр.								f(4)=0,6
экстр.

В точке x = 0 функция не имеет экстремума, так как эта точка не принадлежит области определения данной функции.

7) Чтобы исследовать график функции на выпуклость и определить точки перегиба, найдем вторую производную

f ' ' (x) =	10x( x - 6)	.

	x 4

Найдем критические точки данной функцииf (x) = 0 (по второй производной):

а)	10( x - 6)	= 0, x = 6 ;
	x 4

б)	f ' ' (x) не существует в точке x = 0 .

Так как точка x = 0 не принадлежат области определения данной функции, то в точке с абсциссойx = 0 не может быть точки перегиба графика, поэтому точкой перегиба может оказаться лишь только точка с абсциссойx = 6. Исследуем знак второй производной. Результаты исследования представлены в табл. 5.

				Таблица 5
x	- ¥ < x < 0	0 < x < 6	x = 6	4 < x < +¥

f”(x)	-	-	0	+
Интервалы
выпуклости	Выпуклость	Выпуклость	Точка	Выпуклость
и точки	вверх	вверх	перегиба	вниз
перегиба

По полученным данным исследования функции строим график этой функции (рис. 31).

Рис. 31

Контрольные задания

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

1)f ( x) = x 3 - 3x 2 - x + 3;

2)f ( x) = x 4 - 10x 2 + 9 ;

3)f (x) = -x 4 + 2x 2 + 3 ;

4) f (x) =	x -1	.
	(2x +1)(2 - x)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]