Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Пример 3. Найти производную функции y = x2 + 2 .

Решение. Пусть y = u , где u = x2 + 2 , тогда

Пример 4. Найти производную функции y = cos 5x .

Решение. Пусть y = cos u , где u = 5x , тогда

y'= (cos u)'×u' = (-sin u) ×(5x )'= -sin 5 x ×5x ln 5 .

Ответ: y' = -sin 5x ×5x ln 5.

Пример 5.

Найти производную функции y = log3 (x3 -1) .

Решение. Пусть y = log3 u , где u = x3 -1, тогда

51

Пример 7. Найти производную функции y = tg3 x .

Решение. Пусть y = u 3 , где u = tgx , тогда

y' = (u 3 )'×u' = 3tg2 x × 1 . cos2 x

Ответ: y'= 3tg2 x × 12 . cos x

Пример 8. Найти производную функции y = cos6 x .

Решение: y'= 6(cos x)5 ×(cos x)'= -6cos5 x ×sin x .

Ответ: y' = cos x . 2 sin x

Пример 9. Найти производную функции y = sin x .

Ответ: y' = cos x . 2 sin x

Контрольные задания

Найти производные функций:

1)y = (x2 +1)10 ;

2)y = 3 3x2 +5x +1 ;

3)y = e-x ;

4)y = sin 3x ;

52

5)y = tg5x ;

6)y = ln tgx ;

7)y = 4cos x ;

8)y = sin(x2 + 5x +1) ;

9)y = cos8 x ;

10)y = ln( x 2 + 8x + 4) ;

11) y = arctg x ;

12)y = (arcsin x)4 ;

13)y = e x ;

14)y = 4x3 ;

15)y = e-x (x8 +5x + 4) ;

16)y = sin 2 x2 ;

sin x

17)y = (x 2 +1)10 ;

18)y = 4 x ×cos4 x ;

19)y = x2 +1 ;

x+1

20)y = 1 tg 4 x - 1 tg 2 x - 1;

4 2

53

21)y = (arccos x)5 ;

22)y = sin(ln x) ;

sin x 23) y = 1+ ln sin x ;

x5

24) y = ln x5 + 2 ; 25) y = ln(2x3 +3x2 ) ; 26) y = esin x ;

27) y = x arcsin x + 1- x ;

28) y = ln( x + x 2 +1) ;

31+ x3

30)y = e x2 (x4 + 2) ;

31) y = arcsin 1 ; x

32)y = 3 ctgx ;

33)y = cos 2x - 2 cos x ;

34)y = log2 (x2 + 8) ;

35)y = (x2 + sin x)4 ;

36)y = 8-ctgx.

54

3.5. Логарифмическое дифференцирование

Пример 1. Найти производную показательно-степенной функции

y = uv (u > 0) ,

где u = u(x) , v = v(x) - функция, имеющие производные u' , v'

в данной точке. Решение.

1) Прологарифмируем функцию по основанию u' : ln y = v × ln u .

2) Продифференцируем обе части равенства по правилу дифференцирования сложной функции:

Такой метод вычисления производной называется -лога рифмическим дифференцированием.

Пример 2. Найти производную функции y = x x . Решение.

1)ln y = x ×ln x .

2)(ln y)' = x' ln x + x(ln x)' ,

3) y¢ = x x × (ln x +1). Ответ: y¢ = x x × (ln x +1).

55

Пример 2. Найти производную функции y = x x2 . Решение.

1) ln y = x 2 ×ln x .

y' = y × (2x ln x + x) = yx × (2 ln x + 1) . 3) y' = x x2 x × (2 ln x + 1) = x x2 +1 × (2 ln x + 1) .

Ответ: y¢ = x x2 +1 × (2 ln x +1) .

Пример 3. Найти производную функции y = (sin x) cos x .

Пример 4. Найти производную функции

y = (x + 5)2 (2x - 7)3 (x - 2)(x + 3) .

56

Пример 5. Найти производную функции

y= (2x - 1) 3 3x + 2 . (5x + 4) 2 × 3 1 - x

57

Контрольные задания

Найти производные следующих функций:

1)y = xsin x ;

2)y = ( cos )arctgx ;

3)y = (x 2 + 3) x ;

4)y = x arctgx ;

5) y = x6 (x2 +1)10 (x3 +1)5 ;

1

6)y = x ln x ;

7)y = x-x × 2x × x2 ;

13)y = logx 2 x ;

14)y = logcos x sin x .

58

3.6. Дифференцирование неявных функций

Определение. Неявная функция – это функция y = f (x) , которая задана уравнением

F( x, y) = 0 .

Например x 2 + y 2 = 4 – неявная функция.

Решение.

1) Продифференцируем по x данное уравнение, рассматривая y как функцию от x:

59

Контрольные задания

Найти производные неявных функций:

1)x2 + y2 = 5ex ;

2)y = x2 - 5 y 2 + 4xy -1 = 0 ;

3)y = sin(x + 2 y) ;

4) x + y = a ;

5) arctg y = ln x 2 + y 2 ; x

60