Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Для функций, определённых на некотором промежутке, также вводится понятие монотонности функций. Например, функция f(x), x Î I называется возрастающей на промежуткеI, если для любых х1и х2,принадлежащих промежутку I и таких, что х1<х2 имеет место неравенствоf(x1)<f(x2). Если же для указанных х1 и х2 выполняется неравенство f(x1)>f(x2), то функцию f называют убывающей на промежуткеI. Для функций, монотонных на промежутке, имеют место теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.

Перейдем теперь к рассмотрению достаточных условий возрастания и убывания функций. При доказательстве теорем, устанавливающих достаточные условия монотонности функций, существенно используется одна из важнейших теорем дифференциального исчисления – теорема Лагранжа.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Мы приводим теорему Лагранжа без доказательства, поясним лишь геометрический смысл этой теоремы (рис. 20).

Рис. 20

71

На рис. 20 функции f рассмотрим точки А(a;f(a)) и В(b;f(b)). Легко видеть, что угловой коэффициент секущей(АВ), проходя-

щей через очки А и В, равен f (b)- f (a). Запишем формулу в сле- b - a

дующем виде:

Вспоминая геометрический смысл производной, можно сказать, что формула (2), а следовательно, и формула (1) означает следующее: на интервале ]a;b[ найдется точка с такая, что угловой

коэффициент касательной к графику функцииf в точке С с абсциссой, равной с, совпадает с угловым коэффициентом секущей (АВ), то есть существует касательная к графику данной функции, которая параллельна секущей (АВ).

Теорема 3. Достаточное условие возрастания функции. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала ]a;b[, то функция f возрастает на интервале ]a; b[.

Короче, дифференцируемая на интервале ]a;b[ функция f возрастает на интервале ]a;b[, если выполняется условие

("x Î ]a; b[) f (x ) > 0 .

Дока зат ель ств о. Пусть х1 и х2 − две произвольные точки интервала ]a;b[, удовлетворяющие условию х1 < х2. Тогда по

теореме Лагранжа существует точка C Î ]x1 ; x2 [ такая, что f(x2)−f(x2) = f’(c)(x2−x1).

Так как по условию теоремыf’(x)>0 и х2−х1>0, то из последней формулы следует, что f(x2)>f(x1).

Итак, ("x1 Î ]a;b[)("x2 Î ]a; b[) (x1 < x2 => f (x2 )> f (x1 )).

Последнее согласно определению 1 возрастающей функции и означает, что функция f возрастает на интервале ]a;b[. Теорема 3 доказана. Аналогично доказывается и следующая теорема.

72

Теорема 4 Достаточное условие убывания функции. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала ]a;b[, то функция f убывает на интервале ]a;b[. Коро-

че, дифференцируемая на интервале ]a;b[ функция f убывает на интервале ]a;b[, если выполняется условие

("x Î ]a; b[) f ¢(x ) < 0 .

Интервалами монотонности функции называются интервалы, в которых функция монотонна.

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции

f (x )= 2 x3 - 2x +1. 3

Решение. Данная функция определена и дифференцируе-

ция убывает на интервале ]- 1;1[.

Пример 2. Найти интервалы монотонности функции

f (x )= 3x + 3 + 5. x

Решение. Область определения функциився числовая прямая, кроме точки х = 0, то есть состоит из интервалов ]−∞;0[ и ]0;+∞[. Найдем производную

Производная представляет собой дробь, знак который будет определяться знаком числителя, так как знаменатель положителен. Таким образом, f’(x)<0 для всех х из интервалов ]-1;0[ и ]0;+1[, значит согласно теореме4 на интервалах ]-1;0[ и ]0;+1[ данная

73

функция убывает. Так как f’(x)>0 для всех х из интервалов ]-∞;-1[ и ]+1;+∞[, то согласно теореме 3 функция f(x) на этих интервалах возрастает. Итак, функция f(x) возрастает на интервалах ]-∞;-1[ и ]+1;+∞[ и убывает на интервалах ]-1;0[ и ]0;+1[.

4.2. Правило нахождения интервалов монотонности

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции.

1.Вычисляем производную f’(x) данной функции f(x), а затем находим точки, в которых f’(x) равна нулю или не существует. Эти точки называют критическими для функции f(x).

2.Критическими точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f’(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

3. Исследуем знак f’(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f’(x)>0, то на этом интервале f(x) возрастает, если же f’(x)<0, то на таком интервале f(x) убывает.

Пример. Найти интервалы монотонности функции f (x)= x ln x + 3x.

Решение. 1) Заданная функция определена и имеет производную во всех точках интервала ]0;∞[. Вычисляем производную данной функции:

f ¢(x)= 1 + ln x + 3 = 4 + ln x.

Из уравнения

f ¢(x)= 4 + ln x = 0

следует, что x = e-4 − единственная критическая точка.

2) Так как x = e-4 − критическая точка, то, следовательно, интервалы ]0; e-4 [ и ] e-4 ;+∞[ являются интервалами монотонности.

3) Исследуем знак f’(x) на каждом из этих интервалов ln x + 4 < 0 и ln x + 4 > 0.

74

Так как

("x Î ]0; e -4 [) f ¢(x ) < 0 ,

то на интервале ]0; e -4 [ данная функция убывает.

Так как ("x Î ]e -4 ;+¥ [) f ¢(x ) > 0 , то на интервале ]e - 4 ; +¥ [

данная функция возрастает.

Контрольные задания

Определите интервалы монотонности следующих функций:

1)f(x) = 5x−2;

2)f(x) = 4−9x;

3)f (x )= 1 ;

5)f (x)= x2 + x -1;

6)f (x)= (x +1)3 ;

7)f (x)= 7x2 +14x +1;

8)f (x)= 3x4 - 6x2 + 4;

9)f (x)= x(x2 - 3);

10)f (x)= x3 (1 - x);

4.3.Исследование экстремумов функции

4.3.1.О понятии экстремума функции

75

ции f называется точкой максимума этой функции, если сущест-

x ¹ x0 из d - окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0).

Точки максимума и минимума функцииf называют точками экстремума данной функции, а значения функции f(x) в точках максимума и минимума называют максимумом и минимумом функции или экстремумами функции.

Рассмотрим функцию f(x),определенную на отрезке [a;b] (рис. 21). Точки x1, x3 и x5 – точки максимума, x2, x4 и x7 − точки минимума. Из графика данной функции видно, что минимум функции в точке x = x4 больше максимума этой функции в точке

x = x1. Последнее обстоятельство не вступает в противоречие с определениями экстремумов функции, так как в определениях экстремумов сравнивают значения функции в точке со значениями функции из некоторой окрестности этой точки. Таким образом, понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью данной точки (определенным местом) из области определения функции, а не со всей областью.

Рис. 21

76

4.3.2. Условия существования экстремума

функции y=f(x), определенной в некоторой окрестности точкиx0, и в этой точке существует производнаяf’(x), то она равна нулю: f’(x) = 0.

Доказат ель ств о. Для определённости будем считать, что экстремальная точка x0 − точка максимума. Согласно определению это значит, что существует d − окрестность точкиx0 такая, что для всех х=x0 из d − окрестности выполняется неравен-

ство f(x)<f(x0).

По условию теоремы функцияf имеет в точкеx0 произ-

Найдем теперь правую и левую производные данной функции в точке x0:

так как x−x0>0 и f(x)−f(x0)<0 для всех x Î ]x0 ; x0 +d [.

Сравнивая соотношения (4) и (5), с учетом равенства (3) получим f’(x0)=0. Доказательство для случая точки минимума проводится аналогично.

Мы рассмотрели те критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует.

77

Пример 1. Пусть f(x)= x (рис. 22). Ранее было установлено, что в точке x=0 производной данной функции не существует. Следовательно, точка x = 0 − критическая точка. Так как f(x)>0

Рис. 22

Пример 2. Пусть дана функцияy=x2−x−2. Ранее было установлено, что в точках x=−1 и x=2 эта функция не имеет производной. Последнее означает, что точки x=−1 и x=2 − критические точки данной функции. Так как f(x)>0 для всех x ¹ -1 и x ¹ 2 , а f(−1)=0 и f(2)=0, то, следовательно, беря, например,

ская точка данной функции. Так как для всехx<0 f(x)<f(0), а для всех x>0 f(x)>0, то в точке x = 0 данная функция не имеет экстремума.

78

Рассмотрим теперь вопрос о достаточных условиях существования экстремума. Условимся о следующей терминологии: будем говорить, что некоторая функция j(x) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x0, если существует такая d −окрестность ]x0 -d; x0 +d [ точки x0, что слева от точки x0,

навливаются в терминологии о перемене знака функции с минуса на плюс при переходе через точку x0.

Рис. 23

Теорема 2. Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 и в её d − окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки x0.

Тогда:

а) если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума функции f(x);

б) если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 является точкой минимума функции f(x);

79

в) если существует окрестность ]x0 -d; x0 +d [ точки x0, в

которой производная f’(x) сохраняет свой знак, то в точке x0 данная функция f(x) не имеет экстремума.

Рис. 24

Доказат ель ств о. Пусть производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус. Это значит, что существует число d > 0 такое, что f’(x)>0 для всех x из интервала

]x0 -d ; x0 [и f’(x)<0 для всех x из интервала ]x0 ; x0 + d [. Так как f’(x)>0 для x Î]x0 -d; x0 [, то по теореме 3 следует, что на интер-

вале ]x0 -d; x0 [ функция f(x) возрастает. Следовательно, согласно определению возрастающей функции имеем f(x)<f(x0) для всех

нию 2, точка x0 есть точка максимума функции f(x).

80