Алгебра (Для студентов-иностранцев). В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Контрольные задания

в нуль приx = -5, x = 2. Существуют ли другие значения аргумента, при которых функция обращается в нуль?

1.4. Ограниченные и неограниченные функции

Определение. Функция f ограничена снизу, если существует число a такое, что для любого x Î D(f ) выполняется неравенство f (x)³ a.

Пример 1. Функция f (x)= x2 ограничена снизу, так как для любого x Î (- ¥;+¥)× x2 ³ 0.

11

Определение. Функция f ограничена сверху, если существует число b такое, что для любого x Î D(f ) выполняется нера-

венство f (x)£ b.

Пример 2. Функция f (x) = 5 - x2 ограничена сверху, так как для любого x Î (- ¥;+¥)××5 - x2 ³ 0.

Определение. Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху, то есть если существуют два числа a и b такие, что для любого x Î D(f ) выполняется неравенство

a £ f (x)£ b.

Пример 3. Функция f (x) = sgnx ограничена, так как для любого x Î (- ¥;+¥) выполняется неравенство -1 £ f (x)£ 1.

Если чисел, о которых говорится в определении ограниченной функции, не существует, то функция не является ограниченной. Можно сказать, что функция является неограниченной.

Пример 4. Функция f (x)= x является неограниченной, так как область значений есть множество (- ¥;+¥).

Контрольные задания

Выяснить, ограничена ли функция:

1)f (x) = x -17;

2)f (x) = 10 - x ;

3)f (x) = 5x + 2;

4)f (x) = x3 .

1.5.Непрерывные функции

1.5.1.Понятие непрерывной функции

Впервые с непрерывными функциями встретились и широко использовали их свойства при построении графиков простейших функций.

12

13

если

lim f (x)= f (x0 );

x®x0 -0

непрерывной справа в точке , если

lim f (x)= f (x0 ).

x®x0 +0

Например, функция

f (x)= {x},

где {x} – дробная часть числа х, непрерывна всюду, за исключе-

нием целочисленных значений аргумента х, в которых она непрерывна справа (рис. 6).

Рис. 6

Дадим другую формулировку определения непрерывности

Разность f (x)- f (x0 )= f (x0 + Dx)- f (x0 ) называется приращением функции f в точке x0 и обозначается Df .

14

Из последнего соотношения следует, что если f (x) непрерывна в точке x0 , то малому приращению аргумента соответст-

вует малое приращение функции, или, точнее, приращение функции f есть функция, бесконечно малая при Dx ® 0.

Следовательно, можно дать определение непрерывности функции в точке в следующем виде: функция f (x), x Î ]a;b[, на-

зывается непрерывной в точке x0 Î ]a; b[, если ее приращение в этой точке есть функция бесконечно малая при Dx ® 0.

1.5.2. Геометрический смысл непрерывности функции

Выясним геометрический смысл непрерывности функции в точке. Пусть f (x) непрерывна в точке x0 . Согласно определению

непрерывности для каждого e > 0 существует d > 0 такое, что < e, если x - x0 < d , или, что то же самое,

f (x0 )- e < f (x)< f (x0 )+ e,

если x0 - d < x < x0 + d.

Это соотношение означает, что значения f (x) попадают в ранее выбранную e – окрестность точки f (x0 ), если x. находится в d – окрестности точки x0 .

15

Следовательно, если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то существует на оси Ox такая d – окрестность точки x0 , что, какое бы значение x. мы не взяли изd – окрестности точки x0 , соответствующее значение функции f (x) в этой точке будет находиться в ранее выбранной e – окрестности точки f (x0 ) на оси Oy.

Рис. 7

Сказанное выше позволяет дать понятию непрерывности функции в точке геометрическую интерпретацию(рис. 7). Выби-

ции целиком располагается в вышеуказанной полосе. Таким образом, непрерывность функции f (x) в точке x0 геометрически

означает, что, какую бы узкую бы полосу ширины2e мы не выбрали, найдется такая d – окрестность точки x0 , что график

функции f (x) будет лежать в указанной полосе, если значение аргумента принадлежат d – окрестности точки x0 .

Пример 1. Исследуем на непрерывность в точке x0 = 0 функцию f (x)= sin gx (рис. 8).

16

Рис. 8

Из задания функции видно, что

f (- 0)= lim (-1)= -1,

x®-0

f (+ 0)= lim (1)= 1.

Рис. 9

17

Так как f (x)=1 для x ¹ 0,

то lim f (x) = 1.

x®x0

Таким образом, предел данной функции в точке x0 = 0 существует, но он не равен f (0), так как f (0)= 0 , и поэтому функция f (x)= singx не является непрерывно в точке x0 = 0 .

Пример 3. Пусть дана функция (рис. 10).

Рис. 10

ì1

f (x )= ïí x для x ³ 1,

ïîx для x <1.

Исследуем данную функцию на непрерывность в точке x0 =1. Так как

f (1 - 0)= lim (x)=1,

x®-0

f (1 + 0)= lim 1 = 1,

x®+0 x

то

lim f (x)= 1.

x®1

Таким образом, мы установили, что в точке x0 =1 предел

функции существует и равен значению функции, а это значит, что рассматриваемая функция непрерывна в точке x0 =1.

18

Из сказанного следует, что в точке разрыва функция может быть определена, но не является непрерывной в этой точке (рис. 8-9) и не определена в такой точке, хотя определена в некоторой «проколотой» окрестности этой точки, например, точка x0 = 3 в рассмотренном выше примере 4.

Впервом случае точка разрыва принадлежит области определения функции (рис. 8-9), во втором случае не принадлежит ей

(рис. 11).

Точки разрыва бывают двух видов: первого рода и второго рода. Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если функция в этой точке имеет конечные пределы справа

ислева. Во всех остальных случаях точка разрыва называется точкой разрыва второго рода.

Врассмотренных выше примерах точка x0 = 0 (примеры 1, 2)

есть точка разрыва первого рода, а точка x0 = 3 (пример 4) – точка разрыва второго рода. Действительно, если f (x)= singx , то

f (- 0) = -1, f (+ 0) = 1.

является точкой разрыва второго рода. Рассмотрим пределы сле-

20