Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА

Ю. И. Шевченко

СВЯЗНОСТИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ

СРАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОСКОСТЕЙ

ВПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Учебное пособие

Издательство Российского государственного университета им. Иммануила Канта

2009

1

Проблемы педагогики средней и высшей школы

УДК 514.75(08) ББК 22.151.61я43 Ш 379

Рецензент:

А. В. Вялова, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики КГТУ

Шевченко Ю. И.

Ш 379 Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве: учебное пособие.

—Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. — 83 с. ISBN 978-5-9971-0029-2

Вмногомерном проективном пространстве рассматривается распределение плоскостей; центропроективная связность в проективной группе, групповая связность и аффинные связности Столярова, ассоциированные с распределением. Осуществлена редукция центропроективной связности к групповой связности. Предложен способ задания плоскостной и нормальной аффинных связностей Столярова, выделены канонические связности.

Предназначается для студентов и аспирантов, специализирующихся в дифференциальной геометрии. Может представлять интерес для преподавателей и научных работников.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Российского государственного университета им. И. Канта

УДК 514.75(08) ББК 22.151.61я43

© Шевченко Ю. И., 2009

ISBN 978-5-9971-0029-2 © Издательство РГУ им. И. Канта, 2009

2

Проблемы педагогики средней и высшей школы

3.3.Редукция аффинного кручения центропроективной связности к кручению аффинно-групповой

4

Введение

зывается ее место нахождения, причем используются следующие сокращения:

(КБ) — кафедральная библиотека, (НА) — научный абонемент, (УБ) — учебная библиотека, (ЧЗ) — читальный зал.

Если указания нет, то работа находится в домашней библиотеке автора.

Нумерация формул, утверждений, теорем и определений для каждой главы своя (с предварительным указанием ее номера). В утверждениях сформулированы предложения, которые менее важны по сравнению с теоремами или носят технический характер.

Выражаю благодарность О. М. Омельян за помощь в оформлении работы.

Исторический обзор

Теория распределений (иначе говоря, неголономных пространств, неголономных поверхностей, неголономных многообразий, подрасслоений касательных расслоений, дифференциальных систем на многообразиях) зародилась в конце XIX в., но до сих пор не приобрела законченный вид. Истоки этой теории лежат в механике, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. В механике она проявилась при описании движений системы точек с неголономными связями (см., напр., [Г1; Ру]). В теории дифференциальных уравнений неголономная геометрия обнаружилась при геометризации решений (см., напр., [Иг; Си]). В дифференциальной геометрии понятие неголономного пространства систематически используется с 1926 г. (см. [CC], где приведена библиография до 1948 г. включительно) как обобщение понятия поверхности, рассматриваемой (см., напр., [П; Ш1]) как семейство касательных плоскостей.

6

Исторический обзор

В связи с большим объемом литературы по теории неголономных многообразий ограничимся наиболее близкими работами на русском языке. Развитие неголономной геометрии во многом

определилосьработами[Б-с1; Б-е; Ва; Ков; Ла4—5; ЛО; Лу1; Н2; Ос1; Ст]. Это развитие продолжается до сих пор, о чем свидетельству-

ютпубликации[Г2; ИП; Кор2; Ом; ОШ; Сл2; Ст; СГ; Ш7—9]. Неголономная геометрия пересекается с теорией связно-

стей [АГ; ЕЛОШ; Ив; ИБ; Ка; Ков1—2; Кор1; Ла1—3; Ле; Лу2;3;5; ОБ; ОРШ; Ра; Ры; Ст] — одной из главных теорий современ-

ной дифференциальной геометрии. Расширяя понятие неголономности, Картан [Ка1] называет пространства со связностями, в отличие от соответствующих однородных пространств, неголономными пространствами с фундаментальными группами. Аналогично риманово пространство называется [Ка2] неголономным евклидовым пространством. Современная неголономная геометрия развивается не только в направлении тео-

рии связностей [БВЛШ; БГ; Е; Ков5; Лу4;6—7; М; Ры; Ш5;6;8;13; Щ]. Например, Кованцов обосновывает важную идею: «Одной

из наиболее характерных особенностей современной локальной дифференциальной геометрии является переход от вполне интегрируемых систем уравнений к системам не вполне интегрируемым. На последние переносятся многие понятия, начало которым было положено геометриями соответствующих интегрируемых систем, в результате чего получается геометрия так называемых неголономных многообразий» [Ков3, с. 79].

Постановка проблем

Распределение плоскостей в проективном пространстве представляет собой особый случай распределения линейных элементов в пространстве проективной связности Картана, которое исследовали Г. Ф. Лаптев и Н. М. Остиану в работе [ЛО]. В ней на распределении введены обобщенные проективные связности Картана (проективные связности Лаптева — Остиану [Ш20]), которые непосредственно не являются связностями

7

Введение

в главном расслоении. Выделен класс таких связностей, названных связностями, индуцированными путем проектирования. Построена внутренняя связность распределения, принадлежащая этому классу. Другой класс проективных связностей Лаптева — Остиану определен в статье [Ш9].

Поставим проблему исследования связностей на распределении, не являющихся проективными связностями Лаптева — Остиану. К таким связностям относятся прежде всего фунда- ментально-групповые связности в узком смысле, т. е. связности в главных расслоениях, которые будем называть групповыми связностями. Для разрешения проблемы, используя метод ассоциированных расслоений [Ш1—3,6,8], сформулируем следующие задачи:

1)представление проективной группы проективного пространства в виде главного расслоения центропроективных реперов;

2)задание центропроективной связности в расслоении центропроективных реперов приемом Лумисте [Ш12];

3)для данного распределения плоскостей в проективном пространстве введение ассоциированного с ним главного расслоения;

4)задание групповой связности в главном расслоении, ассоциированном с распределением;

5)редукция [ОШ, Ш15,16] центропроективной связности к ассоциированной групповой связности.

В теории распределений А. В. Столяров [Ст; СГ] с 1975 г. пользуется обобщенными аффинными связностями, которые строятся внутренним образом. Перед нами встал вопрос о спо-

собе задания [Ш14,17—19,21,24,25] аффинных связностей Столярова, ассоциированных с распределением плоскостей в проек-

тивном пространстве. По мнению Н. М. Остиану и Т. Н. Балазюк их можно получать [ОБ] из соответствующих проективных связностей Лаптева — Остиану, но теория последних недостаточно развита. Отметим, что аффинная связность Столярова в пространстве аффинной связности Картана исследовались в статье [Ш11].

8

Описание работы

Описание работы

1.1.Рассмотрено многомерное проективное пространство, отнесенное к подвижному реперу. В деривационные формулы репера входят структурные формы, удовлетворяющие уравнениям Картана для проективной группы. Эти уравнения обобщают структурные уравнения аффинной группы. Проективная группа представлена в виде расслоения центропроективных реперов с факторрасслоением линейных реперов над проективным пространством.

1.2.С помощью теоремы Картана — Лаптева в главном расслоении центропроективных реперов задана центропроективная связность приемом Лумисте. Объект центропроективной связности является квазитензором, содержащим подквазитензор, задающий аффинную связность в факторрасслоении линейных реперов. В структурные уравнения форм центропроективной связности входят компоненты объекта центропроективной кривизны, определяемые полем объекта центропроективной связности.

1.3.Внесение форм аффинной связности в структурные уравнения базисных форм приводит к тензору аффинного кручения центропроективной связности. Задание связности в расслоении центропроективных реперов превращает его в пространство центропроективной связности, в структурные уравнения которого входят компоненты тензора аффинного кручения центропроективной связности. Введен более общий тензор центропроективного кручения.

1.4.В результате продолжения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют компоненты объекта центропроективной связности, получены дифференциальные сравнения для его пфаффовых производных. Эти сравнения позволили показать, что объект центропроективной кривизны образует тензор, содержащий подтензор аффинной кривизны.

2.1.В проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей — семейство центрированных плоскостей,

9

Введение

размерность которого совпадает с размерностью пространства. Подвижной репер проективного пространства адаптирован образующей центрированной плоскости распределения. Уравнения распределения записаны с помощью компонент фундаментального объекта 1-го порядка, который является квазитензором, содержащим тензор.

2.2.Альтернация фундаментального тензора есть тензор неголономности, обращение которого в нуль приводит к голономному распределению. Равенство нулю фундаментального тензора дает распределение, названное сверхголономным. Сверхголономное распределение интерпретируется с помощью двухъярусного расслоения Остиану с базой — конгруэнцией нецентрированных плоскостей, рассматриваемых как элементы многообразия Грассмана, расширенной базой — расслоением плоскостей конгруэнции, представляемых как семейства точек,

итиповым слоем над расширенной базой — центрированной плоскостью, рассматриваемой как элемент многообразия Беловой. Проще говоря, сверхголономное распределение формируется из конгруэнции плоскостей при всевозможных выборах центров в образующей плоскости конгруэнции.

2.3.Распределение позволяет редуцировать расслоение центропроективных реперов проективного пространства до главного расслоения с базой — проективным пространством и типовым слоем — подгруппой стационарности центрированной плоскости. Это ассоциированное с распределением расслоение имеет два простейших факторрасслоения плоскостных и нормальных линейных реперов и два простых: факторрасслоение центропроективных реперов и так называемое аффинное ассоциированное расслоение.

2.4.С помощью теоремы Картана — Лаптева в главном расслоении, ассоциированном с распределением, задана фун- даментально-групповая (короче — групповая) связность приемом Лумисте. Объект групповой связности содержит два простейших подобъекта плоскостной и нормальной линейных связностей, а также два простых подобъекта центропроективной связности и так называемой аффинно-групповой связности.

10