Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

Описание работы

2.5.Задание групповой связности в ассоциированном расслоении превращает его в пространство групповой связности, которое имеет два простейших факторпространства плоскостной и нормальной линейных связностей, а также два простых факторпространства центропроективной связности и аффин- но-групповой связности. Получены выражения компонент объекта кривизны ассоциированного пространства групповой связности в виде альтернированных алгебраических сумм пфаффовых производных компонент объекта связности и сверток этих компонент.

2.6.В результате продолжения дифференциальных уравнений компонент объекта групповой связности найдены дифференциальные сравнения для пфаффовых производных этих компонент. С их помощью получены сравнения для компонент объекта кривизны групповой связности. Объект кривизны является тензором, содержащим два простейших тензора плоскостной и нормальной линейных кривизн, а также два простых тензора центропроективной и аффинно-групповой кривизн.

2.7.Даны определения симметрических плоскостной и нормальной линейных связностей, а также полувнутренней нормальной связности. Плоскостная линейная связность может быть симметрической, а нормальная линейная связность

—полувнутренней в двух случаях: 1) распределение голономно; 2) инвариантны нормали 1-го рода, натянутые на соответствующие базисные точки. Полувнутренняя нормальная линейная связность может быть симметрической.

3.1.Распределение дает возможность упростить дифференциальные уравнения объекта центропроективной связности, задающего связность в проективной группе, действующей в проективном пространстве. В результате этого часть компонент объекта центропроективной связности отождествляется с компонентами фундаментального квазитензора. Таким образом, объект центропроективной связности сокращается до объекта, который можно отождествить с объектом групповой связности, задающим связность в расслоении, ассоциирован-

11

Введение

ном с распределением. Так осуществляется редукция объекта центропроективной связности к объекту групповой связности.

3.2.Пусть сокращенный объект центропроективной связности отождествлен с объектом групповой связности. Произведена непосредственная редукция тензора центропроективной кривизны связности, ассоциированной с проективной группой, к тензору кривизны групповой связности, ассоциированной с распределением. Распределение позволяет выделить простейший подтензор центропроективной кривизны. Обращая подтензор в нуль, убеждаемся в возможности отождествления сокращенного тензора центропроективной кривизны и тензора кривизны групповой связности.

3.3.Введены понятия кручений аффинно-групповой и нормальной линейной связностей. Объект кручения аффинногрупповой связности образует тензор, содержащий подтензор кручения нормальной линейной связности. Распределение дает возможность редуцировать тензор аффинного кручения центропроективной связности к тензору кручения аффинногрупповой связности. Если в качестве структурных уравнений базы пространства групповой связности, ассоциированного с распределением, использовать структурные уравнения с тензором кручения аффинно-групповой связности, то структурные уравнения пространства групповой связности будут замкнуты в смысле Лаптева. Присоединение к структурным уравнениям пространства нормальной линейной связности структурных уравнений с тензором кручения нормальной линейной связности приводит к аффинной связности Столярова.

3.4.Тензор кручения аффинно-групповой связности содержит один простейший тензор неголономности и пять простых подтензоров. Обращение тензора кручения и его подтензоров в нуль позволяет выделить пять специальных аффинногрупповых связностей и их подсвязностей, ассоциированных с голономным распределением. В их числе определены две аф- финно-групповые связности: 1) приведенная, содержащая симметрическую плоскостную линейную связность и полув-

12

Описание работы

нутреннюю нормальную линейную связность; 2) симметрическая с полувнутренней нормальной линейной подсвязностью.

4.1.Нормальная аффинная связность Столярова, ассоциированная с распределением, задана с помощью объекта связности, состоящего из тензора связности и объекта нормальной линейной связности. Объект связности определяет формы аффинной связности Столярова, удовлетворяющие структурным уравнениям, в которые входят объекты кручения и кривизны. Поскольку объект кривизны есть тензор кривизны нормальной линейной связности, новым является объект кручения связности Столярова.

4.2.Основное внимание сосредоточено на объекте кручения, т. к. объект кривизны уже рассматривался. В результате продолжения дифференциальных уравнений тензора связности найдены дифференциальные сравнения для его пфаффовых производных. С помощью этих сравнений получены дифференциальные сравнения для компонент объекта кручения. Объекты кручения и кривизны нормальной аффинной связности Столярова являются тензорами, каждый из которых содержит простой и простейший подтензоры.

4.3.Тензор нормальной аффинной связности Столярова содержит подтензор. Рассмотрена полуканоническая связность, когда подтензор связности обращается в нуль. Тогда тензор связности сужается. Разность между тензором Кронекера и суженным тензором связности названа тензором невырожденности. Если последний обращается в нуль, то тензор связности совпадает с обобщенным символом Кронекера, а полуканоническая связность вырождается в нормальную линейную связность. При равенстве нулю линейных комбинаций компонент тензора неголономности распределение названо полуголономным. Полуканоническая нормальная аффинная связность Столярова без кручения, ассоциированная с распределением, характеризуется свойствами: распределение голономно (в особых случаях — полуголономно), плоскостные и альтернированные нормальные пфаффовы производные су-

13

Введение

женного тензора связности имеют специальное строение. Произведена непосредственная проверка инвариантности равенств, выделяющих эту связность.

4.4. Исследован канонический случай, когда тензор связности обращается в нуль. В этом случае тензоры кручения связности Столярова и нормальной линейной связности совпадают. Каноническая нормальная аффинная связность Столярова без кручения, ассоциированная с распределением, характеризуется последовательностью свойств: распределение голономно, нормальная связность полувнутренняя и симметрическая.

5.1.Плоскостная аффинная связность Столярова, ассоциированная с распределением, задана объектом, состоящим из квазитензора и объекта плоскостной линейной связности. Объект связности Столярова определяет формы связности, удовлетворяющие структурным уравнениям, в которые входят компоненты объекта кручения и тензора кривизны плоскостной линейной связности. Объект кручения делает плоскостную аффинную связность Столярова более информативной по сравнению с соответствующей линейной связностью.

5.2.В связи с тем, что тензор кривизны плоскостной линейной связности уже рассматривался, основное внимание уделено объекту кручения. В результате продолжения дифференциальных уравнений квазитензора связности найдены дифференциальные сравнения для его пфаффовых производных. С их помощью получены дифференциальные сравнения для компонент объекта кручения. Объекты кручения и кривизны плоскостной аффинной связности Столярова образуют тензоры, каждый из которых содержит простой и простейший подтензоры.

5.3.Дифференциальные сравнения для пфаффовых производных квазитензора связности записаны подробно, с учетом уравнений распределения. Продолженный квазитензор связности образует геометрический объект в совокупности с фундаментальным квазитензором. В нем выделено три простых

14

Описание работы

геометрических подобъекта. Оказывается, что квазитензор плоскостной аффинной связности Столярова содержит тензор. Найдены дифференциальные сравнения для преобразованных пфаффовых производных этого тензора.

5.4.Рассмотрена 1-я каноническая плоскостная аффинная связность Столярова, тензор в квазитензоре связности которой является символом Кронекера. В этом случае квазитензор связности превращается в тензор, распадающийся на символ Кронекера и подтензор связности. Первая каноническая плоскостная аффинная связность Столярова без кручения, ассоциированная с распределением, характеризуется следующими свойствами: распределение полуголономно, плоскостные и альтернированные нормальные пфаффовы производные подтензора связности имеют специальный вид. Осуществлена непосредственная проверка инвариантности равенств, выделяющих эту связность. В особом случае 1-й канонической связности подтензор связности равен нулю. Такая плоскостная аффинная связность Столярова с обобщенным символом Кронекера в качестве тензора связности вырождается в плоскостную линейную связность.

5.5.Исследована 2-я каноническая плоскостная аффинная связность Столярова, тензор в квазитензоре связности которой равен нулю. В этом случае квазитензор связности сужается. Задание поля суженного квазитензора связности эквивалентно нормализации 1-го рода распределения. Вторая каноническая плоскостная аффинная связность Столярова без кручения характеризуется тремя свойствами, инвариантность которых проверена непосредственно.

15

Глава 1. Центропроективная связность в проективной группе

Глава 1

ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ

ВПРОЕКТИВНОЙ ГРУППЕ

1.1.Проективная группа как расслоение

Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} (I, = 1, , n) с деривационными формулами

где форма играет роль множителя пропорциональности, а структурные формы I , IJ , I проективной группы GP(n), эф-

фективно действующей в пространстве Pn, удовлетворяют уравнениям Картана (см., напр., [Коб, с. 173])

Запишем структурные уравнения (1.4) в виде

Получили структурные уравнения (1.3, 1.5, 1.6) главного расслоения центропроективных реперов Cn(n 1) (Pn ) , базой которо-

го является проективное пространство Pn (точнее, область пространства Pn , описанная точкой А), а типовым слоем —

GP(n), действующая в любом центропроективном про-

16

1.1. Проективная группа как расслоение

странстве Pn0 , получающемся из пространства Pn при фиксации точки А. Из формулы (1.1) вытекает система уравнений ста-

ционарности точки А: I 0. Эта система вполне интегрируема в силу структурных уравнений (1.3) базы Pn.

Утверждение 1.1. Расслоение центропроективных реперов Cn(n 1) (Pn ) имеет главное факторрасслоение линейных ре-

перов Ln2 (Pn ) со структурными уравнениями (1.3, 1.6), базой Pn и типовым слоем — линейной факторгруппой Ln2 GL(n),

действующей в связке прямых, проходящих через фиксированную точку проективного пространства Pn.

1.2. Объект центропроективной связности

Зададим центропроективную связность в главном расслоении Cn(n 1) (Pn ) приемом Ю. Г. Лумисте [Ш12]. Рассмотрим пре-

образование слоевых форм IJ , I с помощью линейных комбинаций базисных форм I

ˆ IJ IJ IJK K , (1.8)

ˆ I I IJ J , (1.9)

где IJK , IJ — некоторые функции, дифференциальные урав-

нения которых найдем ниже.

Дифференцируем формы (1.8, 1.9) внешним образом:

В первые слагаемые подставим слоевые формы, выраженные из равенств (1.8, 1.9):

D ˆ IJ ˆ MJ ˆ IM ˆ MJ IML L MJK K ˆ MI JKM K MLI L ...,

D ˆ I ˆ LI ˆ L ˆ LI LK K LIJ J ˆ L LIJ J LK K ...,

17

Глава 1. Центропроективная связность в проективной группе

где многоточия обозначают соответствующие вторые слагаемые из формул (1.10). Во вторые и третьи слагаемые послед-

них формул подставим формы ˆ IJ , ˆ I согласно обозначениям

(1.8, 1.9):

D ˆ IJ ˆ KJ ˆ IK K ( IJK IJK ) JKM K MLI L , (1.11)

D ˆ I ˆ JI ˆ J J ( IJ KIJ K ) LIJ J LK K ,

причем дифференциальный оператор действует следующим образом:

IJK d IJK LJK LI ILK LJ JLI KL .

В соответствии с теоремой Картана — Лаптева [ЕЛОШ; ОРШ; Ст9] зададим поле объекта центропроективной связности

{ IJK , IJ }

откуда с учетом обозначения (1.7) вытекает

Утверждение 1.2. Объект центропроективной связности П является квазитензором [Ла1; Ст9], содержащим квази-

тензор IJK , задающий аффинную (иначе говоря, специальную линейную) связность в расслоении линейных реперов Ln2 (Pn ).

Подставим дифференциальные уравнения (1.12, 1.13) в структурные уравнения (1.11):

причем квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам в них.

18

1.3.Аффинное и центропроективное кручения

1.3.Аффинное и центропроективное кручения

Внесем формы аффинной подсвязности (1.8) в структурные уравнения (1.3) базы Pn :

— компоненты объекта аффинного кручения центропроективной связности. Из дифференциальных уравнений (1.12) с уче-

том симметричности форм IJK (1.7) по нижним индексам следуют дифференциальные сравнения

TJKI 0 (mod L ),

где символ означает сравнение помодулю базисныхформ L .

Утверждение 1.3. Задание связности в расслоении центропроективных реперов Cn(n 1) (Pn ) превращает его в про-

странство центропроективной связности Cn(n 1), n со структурными уравнениями (1.18, 1.14, 1.15), в которые входят тензор

Cn(n 1), n имеет факторпространство аффинной связности Ln2 , n

(1.18, 1.14) стензоромкручения TJKI иобъектомкривизны KIJKL .

Можно ввести [Ле] объект центропроективного кручения T {TJKI ,TIJ }, где TIJ [IJ]. Из дифференциальных уравнений (1.13) следуют сравнения

TIJ TIJK K 0,

которые вместе со сравнениями (1.20) дают

Утверждение 1.4. Объект центропроективного кручения T {TJKI ,TIJ } центропроективной связности, задаваемой по-

19

Глава 1. Центропроективная связность в проективной группе

лем объект { IJK , IJ }, образует тензор, содержащий подтензор аффинного кручения TJKI .

1.4. Аффинная и центропроективная кривизны

Для нахождения сравнений для компонент объекта центропроективной кривизны К продолжим дифференциальные уравнения (1.12, 1.13). Сначала продифференцируем их внешним образом:

( IJKL MJK IML IMK JLM JMI KLM ) L 0,

( IJK LJ LIK IL LJK LIJK L ) K 0.

Затем разрешим квадратичные уравнения по лемме Картана, используем обозначение (1.7) трехиндексных форм IJK и запишем результат в виде сравнений:

IJKL IL MJK M IJK L ILK J JLI K 0,IJK 2 IJ K KJ I IK J IJKL L 0.

В соответствии с формулами (1.16, 1.17) проальтернируем левые части этих сравнений по двум последним индексам:

Получим сравнения для входящих в формулы (1.16, 1.17) агрегатов:

MJ[K IML] [LI MJK] M [KL]I J 0,

LI[J LK] LI[J MLK] M I[K J] [JK] I 0.

Вычитаем левые части этих сравнений из соответствующих частей сравнения (1.21) и используем формулы (1.16, 1.17):

Утверждение 1.5. Объект центропроективной кривизны K {KIJKL ,KIJK } образует тензор, содержащий подтензор аф-

финной кривизны KIJKL .

20