Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

4.3. Полуканоническая нормальная связность

Дифференциальные уравнения (4.112) принимают вид:

Утверждение 4.2. В полуканоническом случае (4.13) тензор LI нормальной аффинной связности Столярова сужает-

ся до тензора L .

Подставим выражения (1.7, 2.153) форм IJK , I в дифференциальные сравнения (4.7)

Откуда с помощью уравнений (2.2) распределения Sn получим

Используя формулу (4.12), дифференциальные уравнения (2.4) и сравнения (4.112, 4.17), найдем:

При фиксации (4.13) эти дифференциальные сравнения принимают вид:

LiJ (LJ J L ) i 0.

Коэффициенты при i обращаются в нуль:

LJ J L IJ LI J L iJ Li 0.

Следовательно, LiJ 0, т. е. LiJ — тензор, поэтому его мож-

но обратить в нуль. Это нужно сделать в полуканоническом случае (4.13), поскольку пфаффовы производные нуля равны нулю. В силу обозначения (4.12) инвариантные равенства

LiJ 0 дают

51

Глава 4. Нормальная аффинная связность Столярова

Запишем выражения (4.6) компонент тензора кручения QIJ подробно:

В полуканоническом случае выполняются условия (4.13, 4.18), поэтому формулы (4.19) упрощаются

сти кручения полуканонической нормальной аффинной связно-

52

4.3. Полуканоническая нормальная связность

Сопоставляя дифференциальные уравнения (2.37) и (4.4), имеем

Подставляя выражения (4.25, 4.26) в формулу (4.6), получим QIJ 0. Эти равенства вытекают также из структурных урав-

нений (4.5) при подстановке в них нулевых форм (4.24).

Теорема 4.3. Нормальная аффинная связность Столярова с обобщенным символом Кронекера I в качестве тензора

связности вырождается в соответствующую линейную связность.

Вернемся к полуканонической связности. Если она без кручения, т. е. QIJ 0 , то из выражений (4.20) в соответствии

с дифференциальными сравнениями (4.101—3) последовательно получаем равенства

Определение 4.3. Распределение Sn назовем t-полуголо- номным, если обращаются в нуль линейные комбинации компонент тензора неголономности Nij , коэффициентами ко-

торых служат компоненты тензора t.

Теорема 4.4. Полуканоническая нормальная аффинная связностьСтоляровабезкручения, ассоциированнаясраспределением

Sn , характеризуетсяпоследовательностьюсвойств:

1)распределение Sn V — полуголономно;

2)плоскостные пфаффовы производные L i тензора связности L являются разностями линейных комбинаций компонент подобъекта i фундаментального квазитензора iJ и комбинаций подобъекта i объекта нормальной линейной связности I с коэффициентами — компонентами тензора невырожденности V ;

53

Глава 4. Нормальная аффинная связность Столярова

3) альтернированные нормальные пфаффовы производные L[ ] суть проальтернированные свертки компонент подобъ-

екта объекта нормальной линейной связности I и тен-

зора невырожденности V .

Замечание 4.2. Теорема 4.3 является следствием теоремы 4.4. Действительно, в вырожденном случае V 0, что экви-

валентно L , откуда следует L I 0, поэтому равенства (4.27) обращаются в тождества.

Замечание 4.3. В общем случае, когда det(V ) 0, равенства (4.271) дают Nij 0, поэтому первый пункт в теореме 4.4

заменяется следующим: 1 ) распределение Sn голономно. Равенства (4.27) инвариантны, так как получены прирав-

ниванием нулю компонент тензора кручения QIJ 0 . Прове-

рим их инвариантность непосредственно. Равенство (4.271) инвариантно, поскольку в его левой части стоит свертка двух тензоров.

С помощью дифференциальных уравнений (2.62) и сравнений (2.44, 4.22) найдем дифференциальные сравнения для правых частей формулы (4.272):

Запишем условие полуголономности (4.271) подробно:

V ij V ji .

Подставим правые части вместо левых в сравнения (4.28) и воспользуемся обозначением (4.21) тензора невырожденности:

Из дифференциальных сравнений (4.16) предварительно получим

54

4.3. Полуканоническая нормальная связность

затем с помощью уравнений (2.2) распределения Sn найдем

Из сравнений (4.30) также имеем:

В полуканоническом случае с помощью формул (4.13, 4.18) сравнения (4.31, 4.32) принимают вид:

Эти сравнения получаются также при продолжении дифференциальных уравнений (4.15). Дифференциальные сравнения (4.29) и (4.33) совпадают, поэтому формула (4.272) инвариантна.

Используя дифференциальные сравнения (2.45, 4.22), получим сравнения для правых частей формулы (4.273):

[ V ] V[ i i ] V[ i ] i V[ ] [ V ] 0.

Подставим выражения (4.21) тензора невырожденности V :

Возьмем слагаемые L i i из сравнений (4.34), используем формулу (4.272) и выражения (4.21):

Альтернируем эти слагаемые по индексам , и подставляем в сравнения (4.34), проальтернированные по тем же индексам:

Они совпадают со сравнениями (4.35), что завершает проверку инвариантности формул (4.27).

55

Глава 4. Нормальная аффинная связность Столярова

4.4. Каноническая нормальная связность

Рассмотрим канонический случай [Ш18,21] нормальной аффинной связности Столярова, когда тензор связности LI обра-

щается в нуль: LI 0, что включает условие (4.13). В этом случае ~ , т. е. преобразование базисно-слоевых формне производится, а объект связности Столярова упрощает-

ся: L {0, I}. Дифференциальные сравнения (4.16) принимают тензорный вид: LIJ 0, который допускает естественные в каноническом случае равенства LIJ 0 — нулевые пфаффовы производные от нуль-тензора LI 0.

Подставим значения LI LIJ 0 в выражения (4.6) компонент тензора кручения QIJ :

Полученный результат совпадает с формулой (3.29), поэтому справедлива

Теорема 4.5. Тензоры кручения нормальной аффинной связности Столярова с нулевым тензором связности и нор-

мальной линейной связности идентичны: QIJ SIJ.

Замечание 4.4. Понятие кручения нормальной аффинной связности Столярова обобщает понятие кручения нормальной

линейной связности, ассоциированной с распределением Sn . Формула (4.36) в подробной записи дает выражения

L I 0.

56

4.4. Каноническая нормальная связность

Утверждение 4.3. Компоненты тензора кручения QIJ канонической нормальной аффинной связности Столярова име-

ют следующий смысл: 1) Qij — тензор неголономности рас-

пределения Sn ; 2) Q i — полуразности компонент подобъекта i объекта нормальной линейной связности I и подобъ-

екта i фундаментального квазитензора ΛαiJ ; 3) Q — антисимметричная часть подобъекта объекта линейной

связности I .

Теорема 4.6 [Ш18,21]. Каноническая нормальная аффинная связность Столярова без кручения, ассоциированная с распределением Sn , характеризуется последовательностью

свойств: 1) распределение Sn голономно ( Nij 0 ); 2) нормальная линейная связность I полувнутренняя ( i i ); 3) линейная связность I симметрическая ( ).

Указанная в теореме 4.6 последовательность свойств обусловлена дифференциальными сравнениями (4.101—3), совпадающими со сравнениями (2.8, 2.50, 2.48), которым удовле-

творяют компоненты (4.37) тензора QIJ , антисимметричного по нижним индексам.

57

5.1. Объект плоскостной аффинной связности

Для задания аффинной связности Столярова [Ст; СГ] в обобщенном расслоении Am2 [m] (Pn ) распространим на него

прием Лумисте [Ш12] задания групповых связностей в главных расслоениях. Преобразуем базисно-слоевые формы i и слоевые формы ij с помощью линейных комбинаций базисных

форм I :

Поскольку преобразование (5.32) слоевых форм ij уже прово-

дилось в рамках более широкого преобразования (2.16), рас-

смотрим преобразованные базисно-слоевые формы ~i

. Возьмем внешние дифференциалы этих форм с помощью структурных уравнений (1.3, 5.1):

Внесем преобразованные формы (5.3) в первые слагаемые структурных уравнений (5.4):

j ij ~ j ~ij CJj J ~ij ~ j jKi K CJj J jKi K .

Здесь во вторых и третьих слагаемых вернемся к исходным формам и подставим результат в уравнения (5.4):

D~i ~ j ~ij J ( CiJ iJ ) ( Jj CJj ) J jKi K . (5.5)

Исходя из этих уравнений, применим теорему Картана — Лаптева [ЕЛОШ; ОРШ; Ст9] в обобщенном случае, а именно зададим поле объекта

Подставим эти дифференциальные уравнения в структурные уравнения (5.5)

59

Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова

где компоненты объекта кручения QiJK плоскостной аффинной связности Столярова выражаются по формуле

ты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (5.6, 2.19), причем формы связности (5.3) подчиняются структурным уравнениям (5.7, 2.24), в которые входят объ-

екты кручения QiJK и кривизны RijKL , имеющие выражения

(5.8, 2.29).

Итак, пространство плоскостной аффинной связности Столярова определяется структурными уравнениями (1.3, 5.7, 2.24). Дифференциальные уравнения (5.6, 2.19) с учетом обозначений (5.2, 2.151) и формулы (5.8, 2.29) дают очевидные свойства характеризующих ее объектов:

а) объект связности С состоит из двух подобъектов: квазитензора связности CiJ , задающего преобразование базисно-слое- вых форм i , и объекта плоскостной линейной связности jKi [Ом1; ОШ], образующего геометрический объект лишь вместе с фундаментальным квазитензором iJ и определяющего связность врасслоенииплоскостныхлинейныхреперов Lm2 (Pn );

б) объект кручения QiJK строится с помощью поля квазитензора связности CiJ и объекта линейной связности jKi ;

в) объект кривизны RijKL аффинной связности Столярова есть объект кривизны плоскостной линейной связности, который определяется объектом линейной связности jKi и его пфаффовыми производными.

60