Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

Дифференцируем эти уравнения внешним образом

где J — обобщенный символ Кронекера,

Разрешим квадратичные уравнения (2.3) по лемме Картана

Учитывая уравнения (2.2), запишем дифференциальные уравнения (2.4) подробнее:

Утверждение 2.1. Фундаментальный объект 1-го порядка{ ij , i } распределения Sn является квазитензором [Ла1;

Ст9], содержащим тензор ij .

Замечание 2.2. Распределение Sn можно представить как расслоение Sn Pm0 (Pn ), базой которого является проективное пространствоPn, а типовымслоем — центрированная плоскость Pm0 .

2.2. Голономное и сверхголономное распределения

Фундаментальный тензор ij порождает тензор неголономности (см., напр., [ЛО1])

компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям

вытекающим из дифференциальных уравнений (2.61). Из структурных уравнений (1.3) с учетом уравнений (2.2) следует

22

2.2. Голономное и сверхголономное распределения

пределение Sn , которое интерпретируется следующим образом:

1) проективное пространство Pn расслаивается на (n–m)-мер- ное многообразие Kn m m-поверхностей Sm , рассматривае-

ная база, P0 — типовой слой над расширенной базой.

m

Уравнения (2.9) дают структурные уравнения многообразия Kn m

D ( i ).

i

Система уравнений 0 становится вполне интегрируемой. Она выделяет из голономного распределения Sn m-поверх-

ность Sm , рассматриваемую как семейство центрированных касательных плоскостей Pm0 . В этом случае из уравнений (2.2)

(ср. [ОШ; Сл1]). Многообразие Kn m становится конгруэнцией (см., напр., [Б-с2]) плоскостей Pm . При фиксации любой точки плоскости Pm имеем центрированную плоскость Pm0 . Такое голономное распределение Sn назовем [Ш22] сверхголономным

23

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

распределением Sn . В рассматриваемом случае проективное пространство Pn расслаивается на конгруэнцию Kn m плоскостей Pm , каждая из которых дает m-мерное семейство центрированных плоскостей Pm0 : Pm0 Pm .

тивным расслоением [Лу1, Ш13] над конгруэнцией Kn m , типовой слой которого есть плоскость Pm , и центрированной плоскостью Pm0 — типовым слоем над расширенной базой

Pm (Kn m ) .

2.3.Ассоциированное расслоение

иего факторрасслоения

Исследование распределения Sn в репере нулевого поряд-

Внешние дифференциалы вторичных форм имеют вид:

24

2.3. Ассоциированное расслоение и его факторрасслоения

где

причем последнее обозначение согласуется с обозначением (1.7). Получили структурные уравнения (1.3, 2.10—2.14) глав-

ного расслоения G r (Pn ) , базой которого является проективное пространство Pn, а типовым слоем — подгруппа Gr Cn(n 1)

стационарности центрированной плоскости Pm0 , причем r n(n m) m2 n.

Расслоение G r (Pn ) , ассоциированное с распределением Sn , имеет четыре главных факторрасслоения [Ом1; ОШ] над той же базой Pn со следующими структурными уравнениями:

1) (1.3, 2.10) — расслоение плоскостных линейных реперов Lm2 (Pn ) с типовым слоем Lm2 GL(m) — линейной фактор-

группой, действующей в связке прямых с центром А, принадлежащих плоскости Pm0 ;

2) (1.3, 2.12) — расслоение нормальных линейных реперов L (n m)2 (Pn ) с типовым слоем L (n m)2 GL(n m) — линейной факторгруппой, действующей в проективном факторпростран-

стве P n m 1 Pn / Pm0 ;

3) (1.3, 2.10, 2.11) — расслоение центропроективных реперов Cm(m 1) (Pn ) с типовым слоем Cm(m 1) GA* (m) — центропроективной (коаффинной) факторгруппой, действующей в центрированной плоскости Pm0 ;

4) (1.3, 2.10, 2.12, 2.13) — аффинное ассоциированное расслоение Hp (Pn ) с типовым слоем Hp (p n(n m) m2 ) — аф-

финной факторгруппой [Ш10] группы Gr GP(n), действующей в связке прямых пространства Pn с центром А, в которой

выделена связка прямых плоскости P0 с тем же центром.

m

25

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

Теорема 2.1 [Ш15; ОШ]. Распределение Sn в проективном пространстве Pn позволяет редуцировать расслоение центропроективных реперов Cn(n 1) (Pn ) до главного расслоения G r (Pn ) , которое имеет два простейших [Ш8] факторрасс-

Дифференцируем эти формы внешним образом с помощью структурных уравнений (1.3, 2.10—2.14):

Выразим слоевые формы из равенств (2.16) и подставим их в те слагаемые структурных уравнений (2.17), которые не содержат базисных форм:

26

2.4. Объект групповой связности и его подобъекты

В слагаемых, не являющихся внешними произведениями преобразованных слоевых форм и внешними произведениями базисных форм, вернемся к исходным слоевым формам и подставим результат в структурные уравнения (2.17)

D~ ij ~ kj ~ ik K ( jKi ijK ) jKk K kLi L ,

D~ i ~ ij ~ j J ( iJ iJj j iJ ) iJj J jK K ,

Согласно теореме Картана — Лаптева [ЕЛОШ; ОРШ; Ст9] формы (2.16) определяют групповую связность в главном расслоении G r (Pn ) лишь тогда, когда их внешние дифференциа-

лы выражаются через внешние произведения этих же форм и внешние произведения базисных форм. Из структурных уравнений (2.18) видно, что для задания связности нужно задать

поле объекта групповой связности { ijK , iJ , I , i J , I} со

следующими дифференциальными уравнениями его компонент:

27

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

задающий связность в ассоциированном с распределением Sn

и два простых подобъекта: объект центропроективной связ-

Объект связности образует геометрический объект (точнее, квазитензор) лишь в совокупности с фундаментальным квазитензором . Простой квазитензор { , } содержит

4 простых подквазитензора { 1, } , { 2 , } , { 3 , } , { 4 , } .

2.5.Ассоциированное пространство групповой связности

иего факторпространства

Подставим дифференциальные уравнения (2.19—2.23) компонент объекта групповой связности Г в структурные уравнения (2.18):

28

2.5. Ассоциированное пространство групповой связности

где компоненты объекта групповой кривизны

R {R ijKL , R iJK , R IJ , R i JK , R IJ }

выражаются по формулам

Теорема 2.3 [Ом1; ОШ]. Задание групповой связности в ассоциированном расслоении Gr (Pn ) превращает его в про-

странство групповой связности Gr,n со структурными урав-

нениями (1.3, 2.24—2.28), которое имеет два простейших факторпространства: пространство плоскостной линейной

связности Lm2 ,n (1.3, 2.24), пространство нормальной линейной связности L (n m)2 ,n (1.3, 2.26); и два простых факторпро-

странства: пространство центропроективной (коаффинной) связности Cm(m 1),n (1.3, 2.24, 2.25), пространство аффинно-

групповой связности Hp,n (1.3, 2.24, 2.26, 2.27).

2.6.Тензор кривизны групповой связности

иего подтензоры

Найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют компоненты объекта групповой кривизны R. По-

29

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

скольку в формулы его компонент (2.29—2.33) входят пфаффовы производные компонент объекта групповой связности Г, нужно продолжить дифференциальные уравнения (2.19— 2.23). В них входят формы (2.15), содержащие обобщенные

символы Кронекера iJ , J . Предварительно получим дифференциальные уравнения их компонент.

Компоненты обычного символа Кронекера IJ удовлетворяют дифференциальным уравнениям

которые проверяются непосредственно:

IJ d IJ KJ IK IK KJ 0 JI JI 0.

Из уравнений (2.34) имеем дифференциальные уравнения для обобщенных символов Кронекера iJ , J

Утверждение 2.3. Если дано распределение Sn , отнесенное к реперу нулевого порядка, то компоненты обобщенных символов Кронекера iJ , J удовлетворяют дифференциаль-

ным уравнениям (2.35) и (2.37) соответственно.

В дифференциальных уравнениях (2.19—2.23) раскроем операторы , подставим обозначения форм (2.15), продиффе-

ренцируем внешним образом с помощью структурных уравнений (1.3, 2.10—2.14) расслоения Gr (Pn ) и дифференциаль-

ных уравнений (2.4, 2.35, 2.37), разрешим по лемме Картана и запишем результат в виде сравнений

30