Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

626 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

2.6. Тензор кривизны групповой связности и его подтензоры

jKL

iJK

(2.39)

iIJ

jJK

K i

iIJ

Проальтернируем эти сравнения по двум последним нижним индексам и воспользуемся обозначениями (2.152,4) в сравнени-

ях (2.391,3), а также симметрией форм IJK (1.7) и функцийiJK по индексам J, K:

j[KL]

j[K

kL]

k[K

jL]

i[JK]

j[J

jK]

iK]

i[JK]

i[J

[IJ]

0, (2.40)

[JK]

jK]

j[JK]

j[J

[JK]

[IJ]

i[IJ]

i[I

[IJ]

iJ]

[IJ]

Агрегаты, входящие в выражения (2.29—2.33) компонент объекта кривизны R, удовлетворяют дифференциальным сравнениям

j[K kL]

j[K

kL]

j[K

kL]

jK]

( k

jK]

) 0,

i[J

jK]

(Γj

Γi

Γβ

Γi

) (Ωj

Γj

ωk

)Γi

Γj

ωi

α[J

jK]

α[J βK]

α[J

k[J

jK]

α[J

jK]

ωβ

Γi

Γβ

(Γγ

ωi

Ωi

) 0,

α[J βK]

α[J

βK]

( i

)

( i

)

( k

iJ]

)

iJ]

j[I

iJ]

( i

) 0.

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

Вычтем эти сравнения из соответствующих сравнений (2.40) и воспользуемся формулами (2.29—2.33)


RijKL 0, RiJK RiJKj								j 0,		R IJ 0,
Ri		Ri		j	R		i 0,			(2.41)
	JK		jJK		JK

R	IJ	R	i Ri			R			0.
			iIJ		IJ	i		IJ

Теорема 2.4 (ср. [Ом1]). Объект групповой кривизны R является тензором, содержащим два простейших подтензора:

тензор плоскостной линейной кривизны R1 {RijKL }, тензор нормальной линейной кривизны R2 {R IJ }; и два простых

подтензора: тензор центропроективной (коаффинной) кривизны R3 {R1 ,RiJK }, тензор аффинно-групповой кривизны

R4 {R1 ,R2 ,Ri JK }.

2.7.Симметрические плоскостная

иполувнутренняя нормальная линейные связности

Запишем дифференциальные уравнения (2.19, 2.21) компонент объектов ijK , I плоскостной и нормальной линейных

связностей с учетом уравнений (2.2) распределения

ражений (2.151,3) форм i				, в следующем виде:
			jK	I
i		i	i i				0,
jk	jk		j	k	k	j
i	i	k		i	i 0,
j	jk		j			j
		j	0,
i	ji			i
		i	i					0.
	i		i

Sn и вы-

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

Утверждение 2.4. Объекты ijK , I плоскостной и нормальной линейных связностей содержат подобъекты ijk , i ,

образующие квазитензоры совместно с фундаментальным тензором ij .

2.7.Симметрические плоскостная и нормальная линейные связности

Вслучае голономности распределения Sn подобъекты

ijk , i имеют следующую интерпретацию. Вполне интегри-

руемая система уравнений 0 выделяет из голономного распределения Sn m-мерное подсемейство центрированных

плоскостей Pm0 , огибающих описанную точкой А m-поверх- ность Sm . Расслоения Lm2 (Pn ), L (n m)2 (Pn ) плоскостных и нор-

мальных

линейных

реперов сокращаются до

расслоений

2 (S

(n m)

(S )

над базой S

P . Подобъекты

поля которых сужены на базу Sm , задают [Ш1; П] аффинную и

нормальную линейную подсвязности в подрасслоениях

Lm2 (Sm ), L (n m)2 (Sm ) .

Альтернируем дифференциальные сравнения (2.42, 2.45) по нижним индексам

i	N	i	0,	(2.46)
[ jk]	jk

		i		i	0.	(2.47)
[ ]	[ i	]	i[	]
Утверждение 2.5. Альтернация i					подобъекта аффинной
			[ jk ]

связности ijk объекта плоскостной линейной связности ijK образуеттензорвсовокупностистензоромнеголономности Njk .

Представим дифференциальные сравнения (2.47) в другом

виде:
	M		i	M	i	0,	(2.48)
[ ]		i		i
M i		1	( i i ).				(2.49)
		2

С помощью уравнений (2.62) и сравнений (2.44) найдем диф-
ференциальные сравнения для полуразностей (2.49)
M	N j 0.	(2.50)
i	ij

Утверждение 2.6. Объект {Nij ,M i , [ ]}, где Nij — тензор неголономности распределения Sn , M i — полуразность

Глава 2. Групповая связность, ассоциированная с распределением

между подобъектом i объекта нормальной линейной связ-

ности I	и подобъектом i		фундаментального квазитен-
		— альтернация		объекта нор-
зора iJ ,	[ ]		подобъекта

мальной линейной связности I , является тензором, содержащим простой и простейший подтензоры {Nij ,M i }, Nij .

Рассмотрим [Ш18] два случая: 1) распределение Sn голономно, т. е. Nij 0; 2) инвариантна, натянутая на базисные

точки A,A (n–m)-мерная плоскость						Nn m [A,A ] — нор-
маль 1-го рода (см., напр., [ЛО1]) для плоскости P0								. Из дери-
вационных формул							m
вационных формул
dA	A	i	A	i	A		A,
				i

составляющих часть формул (1.2), следует условие инвариантности плоскости Nn m : i 0 (mod I ). В этих случаях

дифференциальные сравнения (2.46, 2.50) принимают тензорный вид:

[i jk] 0, M i 0,

поэтому становятся инвариантными равенства

[ijk] 0, M i 0,

раскрывая которые, имеем

i	i			(2.51)
jk kj ,		i i .

В каждом из двух случаев можно ввести два понятия:

Определение 2.1. Плоскостная линейная связность, задаваемая объектом ijK , называется симметрической [Ш23], ес-

ли симметричен (2.511) подобъект аффинной связности jki .

Определение 2.2. Нормальную линейную связность, задаваемую объектом I , назовем полувнутренней [Ш18], если

2.7. Симметрические плоскостная и нормальная линейные связности

подобъект i совпадает (2.512) с подобъектом i фундаментального квазитензора ij .

Если нормальная линейная связность I полувнутренняя или инвариантна нормаль 1-го рода Nn m , то сравнения (2.48)

принимают вид:			0, т. е.	альтернации	образуют
		[ ]		[ ]
тензор,	поэтому	становятся		инвариантными	равенства
	Значит, в каждом из двух последних случаев можно
[ ] 0.	Значит, в каждом из двух последних случаев можно

дать

Определение 2.3. Нормальная линейная связность, задаваемая объектом I , называется симметрической [Ш18], ес-

ли симметричен подобъект : .

Выводы

10. Плоскостная линейная связность jKi может быть симметрической, а нормальная линейная связность I — полув-

нутренней в двух случаях: 1) распределение		Sn голономно;
2) для каждой центрированной плоскости	P0	распределения
	m

Sn инвариантна нормаль 1-го рода Nn m , натянутая на центр A Pm0 и нормальные базисные точки A .

20. Нормальная линейная связность может быть симметрической, если она полувнутренняя или инвариантна нормаль 1- го рода Nn m .

30. В общем случае плоскостная линейная связность несимметрическая, а нормальная линейная связность не является ни полувнутренней, ни симметрической [Ш23].

Глава 3

РЕДУКЦИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ

3.1.Редукция объекта центропроективной связности

кобъекту групповой связности

Представим дифференциальные уравнения (1.12, 1.13) компонент объекта центропроективной связности П в подробном виде, соответствующем компонентам объекта групповой связности Г:

(3.1)

jKL

L ,

(3.2)

K i

L ,

(3.3)

iKL

(3.4)

iJK

K ,

(3.5)

K .

(3.6)

J i

Воспользуемся обозначениями (1.7) и уравнениями (2.2) распределения Sn в дифференциальных уравнениях (3.1—3.5)

i		i	i		i		i	L ,	(3.7)

jK	jK		j	K	K	j	jKL

L ,

(3.8)

L ,

(3.9)

iKL

(3.10)

K K jK

K ,

(3.11)

iJK

где преобразованные пфаффовы производные имеют вид:

3.1. Редукция объекта центропроективной связности

(3.12)

jKL jKL K jL ,

KL KL K iL ,

iKL iKL iK jL K iL , iJK iJK J iK .

Сопоставляя дифференциальные уравнения (2.4) и (3.9), положим

		(3.13)
iK iK ,

при этом тождества (2.5) дают условия i[KL] 0, которые запишем подробнее:

	j			(3.14)
i[KL] i[K jL] [K iL] 0.

Таким образом, часть компонент объекта центропроективной связности П охвачена в случае данного распределения Sn .

Значит, объект П сокращается до объекта

{ ijK , K , i K , iJ , J },

который можно отождествить с объектом групповой связности Г. Последнее следует из сопоставления дифференциальных уравнений (2.19—2.23) и (3.6—3.8, 3.10, 3.11) с учетом обо-

значений (2.15) и охвата (3.13).

Теорема 3.1 [Ш15; ОШ]. Если в проективном пространстве Pn дано распределение Sn , то объект центропроективной

связности П, задающий связность в проективной группе, представленной как расслоение центропроективных реперов

Cn(n 1) (Pn ), редуцируется к объекту групповой связности Г, задающему связность в главном расслоении Gr (Pn ), ассоциированном с распределением Sn .

3.2.Редукция тензора центропроективной кривизны

ктензору кривизны групповой связности

После установления редукции объекта центропроективной связности редукция тензора центропроективной кривизны

Глава 3. Редукция центропроективной связности

представляется естественной. Осуществим эту редукцию непосредственно. Запишем подробнее формулы (1.16, 1.17) для компонент объекта центропроективной кривизны К:

i	i	k	i	i	,	(3.15)
K jKL j[KL] j[K kL] j[K L]					,	(3.15)
		i				(3.16)
K KL [KL] [K iL] [K L] ,						(3.16)
		j				(3.17)
KiKL i[KL] i[K jL] i[K L] ,						(3.17)
i	i		j i	i		(3.18)
K KL [KL] [K jL] [K L] ,						(3.18)
		j				(3.19)
KiJK i[JK] i[J			jK] i[J K] ,			(3.19)
		i				(3.20)
K JK [JK] [J iK] [J K].						(3.20)

При редукции объекта центропроективной кривизны К к объекту кривизны R групповой связности, заданной полем объекта связности Г, предположим, что объект центропроективной связности П редуцирован к объекту Г, т. е. выполняются равенства (3.13, 3.14). В силу этих равенств компоненты

KiKL объекта К обращаются в нуль:

KiKL

(3.21)

Для проверки инвариантности равенств (3.21) найдем дифференциальные сравнения для рассматриваемых компонент. Из сравнений (1.221) имеем сравнения

K	K j	K	0,
iKL	iKL	j KL	i

которые в силу уравнений (2.2) распределения Sn принимают тензорный вид:

KiKL 0,

поэтому равенства (3.21) инвариантны. Эти равенства аннулируют те компоненты тензора К, которым нет аналога среди компонент тензора R, что открывает возможность для сопоставления остальных компонент К с соответствующими компонентами R.

3.2.Редукция тензора центропроективной кривизны

Спомощью значений (3.21) и обозначений (3.12) формулы (3.15, 3.16, 3.19) записываются короче:


i	i	k i

K jKL j[KL] j[K kL] ,				K KL	[KL] [K L] ,
		KiJK	i[JK] i[j		J jK].	(3.22)

При отождествлении сокращенного объекта проективной

связности и объекта групповой связности Г формулы (3.18, 3.20, 3.22) совпадают с формулами (2.29—2.33).

Теорема 3.2 [ср. Ш15]. Распределение Sn в проективном пространстве Pn позволяет редуцировать тензор центро-

проективной кривизны К центропроективной связности, задаваемой объектом П, к тензору кривизны R групповой связности, задаваемой объектом Г, если сокращенный объ-

ект центропроективной связности отождествлен с Г:

3.3. Редукция аффинного кручения центропроективной связности

к кручению аффинно-групповой связности

Введем понятие кручения аффинно-групповой связности. Запишем структурные уравнения (1.3) проективного пространства Pn в подробном виде:

D i	j		ij	i ,	(3.23)
D		i			(3.24)
			i	.

Подставим в структурные уравнения (3.24) уравнения (2.2) распределения Sn и преобразуем их с помощью обобщенного

символа Кронекера к другому по сравнению с (2.9) виду:

D					i	I	J	.	(3.25)
D					I iJ			.	(3.25)

Глава 3. Редукция центропроективной связности

Внесем формы ωi ,

ωi , ω

α аффинно-групповой связности в

структурные уравнения (3.23, 3.25):

~ i

(3.26)

SJK

(3.27)

SIJ

где компоненты объекта S {SiJK ,SIJ },

который назовем [Ш16,

ОШ] объектом кручения аффинно-групповой связности Г4, выражаются по формулам:

Si	j	i	i			,	(3.28)
JK	[J	jK]	[J K]
S			i		.		(3.29)
IJ	[I	J]	[I	iJ]

Уравнения (2.4, 2.19, 2.21, 2.22, 2.35, 2.37) позволяют найти сравнения для величин (3.28, 3.29)

( i

) 0,

jK]

i ) 0.

SIJ

[I J]

[I iJ]

( J]

Приведем подобные слагаемые и подставим из (1.7, 2.15) выражения трехиндексных форм:

Si	j	(	i	i	K]	i		)		i
JK	[J	jK]		j	K]	K]	j	[J	K]
			i							i
SIJ	[I	( iJ] J] J] ) [I iJ]

[J ( iK] ) 0,

i 0.

[I J] i

Раскроем скобки, произведем суммирование с обычным символом Кронекера и приведем подобные:

( j

) i

jK]

SIJ

( [I

[I i

) J]

Слагаемые в круглых скобках запишем с помощью обычного символа Кронекера, произведем с ним свертку, приведем подобные и воспользуемся формулой (3.29):

i	i		(3.30)
SJK SJK 0,		SIJ 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]