Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие
.pdf
5.5. Вторая каноническая плоскостная связность
сверток компонент квазитензора Cj и подобъекта ji пло-
скостной линейной связности ji K .
Формулы (5.40) инвариантны, так как получены приравниванием нулю тензора кручения QiJK во втором каноническом
случае (5.34). Проверим их инвариантность непосредственно. Используя дифференциальные уравнения (5.35) и сравнения
(2.8) для компонент тензора неголономности N jk , получим дифференциальные сравнения правых частей формулы (5.401)
o i α α i
(Cα Njk ) Njkωα 0,
которые совпадают со сравнениями (2.46).
С помощью дифференциальных уравнений (2.62, 5.35) и сравнений (2.422, 5.391) найдем дифференциальные сравнения правых частей формулы (5.402)
o i |
o i |
β |
o |
k |
i |
o i |
β |
β |
k |
i |
β i |
i k |
0. |
|||
(C |
C Λ |
jα |
C Γkj ) Cβ(Λ |
jk |
Λ )ω |
δω |
Λ |
ω |
Γkj ω |
|||||||
αj |
β |
|
|
α |
|
|
|
kj |
α |
j α |
|
jα β |
α |
|
||
Воспользуемся обозначением (2.7) тензора неголономности:
o i |
o i |
β |
o k |
i |
|
|
(Cαj |
Cβ |
Λjα Cα |
Γkj ) |
|
(5.41) |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
)ωαk Λβjαωβi δijωα 0. |
||||
(2Cβi Nβjk |
Γkji |
|||||
Запишем формулу (5.401) подробнее |
|
|
||||
|
1 |
i |
i |
o i |
α |
, |
|
2 |
(Γjk Гkj ) Cα Njk |
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
Γi 2Ciα Nα Γi . |
|
||||
|
|
jk |
|
jk |
kj |
|
Подставляя эти выражения в дифференциальные сравнения (5.41), убеждаемся в их совпадении со сравнениями (2.43).
71
Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова
Используя дифференциальные сравнения (2.43) и уравнения (5.35), сначала получим сравнения для правых частей формулы (5.403) без учета альтернирования
o j |
o j |
Λγjβωiγ δijωβ ) 0. |
(CαΓijβ ) ωαj |
Γijβ Cα( Γijk ωβk |
Преобразуем эти сравнения с помощью формулы (5.402)
o |
Γi |
o |
ωj |
Λγ |
o |
|
|
o |
ωi |
) Γi |
o |
|
(Cj |
) Ci j |
(Ciγ ωj |
Cαj |
(Cβj ωk |
||||||||
α jβ |
β |
α |
jβ |
|
|
α |
|
γ |
jk |
α |
|
|
|
|
o |
|
o |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Cαj |
ωk ) Ciα ω |
β |
|
|
|
|
||||
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Альтернируем их по нижним индексам
o j |
Γi |
|
o |
j ωj |
|
|
|
|
(C |
] ) C[i |
|
|
|||||
[α |
jβ |
|
β |
α] |
|
|
|
(5.42) |
|
o |
|
o |
|
o |
|
||
Λγ |
|
|
|
0. |
||||
(Ciγ ωj |
Cαj ] ωi |
) C[iα ω |
β] |
|||||
j[β |
|
α] |
|
|
γ |
|
|
|
Сравнения (5.42) и альтернированные сравнения (5.392) совпадают, что завершает проверку инвариантности формул (5.40).
72
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе специальная групповая связность, ассоциированная с распределением плоскостей в проективном пространстве, задается полем многокомпонентного объекта связности способом Лаптева (точнее, приемом Лумисте). Введенный объект групповой связности содержит объекты плоскостной и нормальной линейных связностей, центропроективной и аффинно-групповой связностей. Наш объект: 1) не является объектом проективной связности Лаптева — Остиану; 2) содержит объект обобщенной центропроективной связности, задающей связность в главном расслоении центропроективных реперов; 3) может быть получен редукцией объекта центропроективной связности в проективной группе.
Вопрос о способе задания аффинных связностей Столярова, ассоциированных с распределением, решен путем расширения области применения приема Лумисте задания групповых связностей в главных расслоениях. Получены дифференциальные уравнения объектов, задающих плоскостную и нормальную аффинные связности Столярова. Если объекты связностей охватить фундаментальным объектом распределения и композиционно оснащающим объектом, то получим связности, индуцированные оснащением. Наконец, если оснащающий объект охватить фундаментальным объектом, то можно прийти к внутренним аффинным связностям, введенным А. В. Столяровым.
Таким образом, с одной стороны, исследуется один из классических объектов дифференциальной геометрии — распределение плоскостей в проективном пространстве, с другой
— получены новые результаты, поскольку рассматриваются связности в главном расслоении, ассоциированном с распределением и аффинные связности Столярова, в частности канонические связности без кручения.
73
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[АГ] Алесковский В. А., Гохман А. В.
О линейных связностях в неголономном многообразии // Мат-лы 4-й Прибалт. геом. конф. Тарту, 1973. С. 3—4.
[Б] Белова О. О.
Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей // Фунда-
мент. и приклад. матем. 2008. Т. 14, №2. С. 29—67 (КБ).
[Б-с] Близникас В. И.
1.Некоторые вопросы теории неголономных комплексов // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 5. С. 69—95 (КБ).
2.Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых //
Там же. Т. 6. С. 43—110 (КБ).
[БВЛШ] Близникас В. И., Вашкас П. И., Лупейкис З. Ю., Шинкунас Ю. И.
Обзор научных работ К. И. Гринцевичюса // Там же. Т. 5. С. 7— 53 (КБ).
[БГ] Близникас В. И., Гринцевичюс К. И.
О неголономной линейчатой геометрии // Третья Прибалт. геом. конф.: тез. докл. Паланга, 1968. С. 21—25.
[Б-е] Близникене И. В.
О геометрии полунеголономной конгруэнции первого рода // Тр.
геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 125—148.
[Ва] Вагнер В. В.
1. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VIII Междунар. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского
(1937): отчет. Казань, 1940. С. 195—262.
74
Список рекомендуемой литературы
2. Геометрия (n–1)-мерного неголономного многообразия в n- мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 5. М.; Л., 1941. С. 173—225.
[Г] Гохман А. В.
1.Дифференциально-геометрические основания классической динамики систем. Саратов, 1969. 94 с.
2.О работах В.В. Вагнера по дифференциальной геометрии неголономных многообразий и ее приложениям в механике // Современные проблемы диф. геом. и общей алгебры. Саратов, 2008. С. 5—7.
[Е] Евтушик Л. Е.
Уникальная школа Картана — Лаптева, ее сбережение // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 39. Калининград, 2008. С. 44—62 (НА).
[ЕЛОШ] Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П.
Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. 248 с.
[Ив] Ивлев Е. Т.
1.Структуры почти произведения на базах проективных расслоений / Деп. в ВИНИТИ. Томск, 1986. 165 с. №2248—В.
2.Об одном оснащении аффинного расслоения A m,n (m n) //
Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 18. Калининград, 1987. С. 35—38 (НА).
[ИБ] Ивлев Е. Т., Барышева В. К.
Об оснащении пространства аффинной связности / Деп. в
ВИНИТИ. Томск, 1984. 18 с. №142—85.
[ИП] Ивлев Е. Т., Пономарев В. П.
Об инвариантных нормализациях распределения m в Pn // Геом. многомер. пространств. Барнаул, 1991. С. 16—23.
[Иг] Игошин В. А.
Введение в геометрическую теорию квазигеодезических потоков. Н. Новгород, 2000. 120 с.
75
Список рекомендуемой литературы
[Ка] Картан Э.
1.Группы голономии обобщенных пространств // VIII Междун. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского (1937): отчет.
Казань, 1940. С. 61—110.
2.Теория групп и геометрия // Там же. С. 111—141.
3.Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань: Из-во Казан. ун-та, 1962. 210 с.
[Коб] Кобаяси Ш.
Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.:
Наука, 1986. 224 с. (ЧЗ).
[Ков] Кованцов Н. И.
1.Неголономные пространства с фундаментально-групповой связностью // Первая Белорус. матем. конф. Минск, 1964. С. 32—33.
2.Неголономные пространства со связностью // Тр. I Республ. конф. матем. Белоруссии. Минск, 1965. С. 196—218.
3.Геометрия неинтегрируемых систем // Тр. II Республ. конф. матем. Белоруссии. Минск, 1969. С. 79—86.
4.Обобщенные пространства как пространства с фундаментальной группой // Укр. геом. сб. Вып. 9. Харьков, 1970. С. 39—59.
5.Несколько аспектов в геометрии неголономных поверхностей
//Anal. Stünt. 1970. T. 16. C. 63—93.
[Кор] Корякина Е. Е.
1.Связности на неголономном многообразии // Геом. сб. №24.
Томск, 1984. С. 26—31.
2.Неголономная связность на распределении // Актуальные пробл. матем. и метод. ее препод. Пенза, 2001. С. 32— 36.
[Ла] Лаптев Г. Ф.
1.Дифференциальная геометрия погруженных многообразий //
Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382 (НА).
2.Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда (1961). Л.: Наука, 1964. Т. 2. С. 226—233.
3.Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966.
Т. 1. С. 139—189 (КБ).
76
Список рекомендуемой литературы
4.Распределения касательных элементов // Там же. 1971. Т. 3.
С. 29—48.
5.К инвариантной аналитической теории дифференцируемых отображений // Там же. 1974. Т. 6. С. 37—42 (КБ).
[ЛО] Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М.
1.Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Там же. 1971. Т. 3. С. 49—93.
2.О распределениях m-мерных линейных элементов в n-мерном
проективном пространстве / Деп. в ВИНИТИ. М., 1971. 16 с.
№3683—71.
3.(f , , , ) -структура на дифференцируемых многообразиях //
Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 5 —22 (КБ).
[Ле] Лемлейн В. Г.
Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литов. матем. сб. 1964. Т. 4, №1.
С. 41—132.
[Лу] Лумисте Ю. Г.
1.Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1965. Вып. 177.
С. 6—42.
2.Связности в однородных расслоениях // Матем. сб. 1966. Т. 69.
С. 434—469.
3.Теория связностей в расслоенных пространствах // Итоги науки. Алгебра, топология, геометрия (1969) / ВИНИТИ. М., 1971.
С. 123—168.
4.Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения p-кореперов
//Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 5. С. 239—257 (КБ).
5.Связности в расслоенных пространствах с однородными слоя-
ми. Тарту, 1977. 64 с.
6.Распределения на однородных пространствах // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1977. Т. 8. С. 5—24 (КБ).
7.Распределение на однородном пространстве как структура неголономного образа // V Прибалт. геом. конф. Друскининкай, 1978.
С. 49.
77
Список рекомендуемой литературы
[М] Малаховский В. С.
О голономности расслоения реперов на дифференцируемом многообразии // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 35. Калининград, 2004. С. 69—78 (НА).
[Н] Норден А. П.
1.Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
2.Теория композиций // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 117—145 (КБ).
[Ом] Омельян О. М.
1.Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 33. Ка-
лининград, 2002. С. 74—78 (НА).
2.Понятия распределенной и нераспределенной линейных связ-
ностей // Там же. 2003. №34. С. 103—110.
[ОШ] Омельян О. М., Шевченко Ю. И.
Редукции объекта центропроективной связности и тензора аффинного кручения на распределении плоскостей // Матем. заметки.
М., 2008. Т. 84, Вып. 1. С. 99—107 (ЧЗ).
[Ос] Остиану Н. М.
1.Распределение m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971.
Т. 3. С. 95—114.
2.Ступенчато-расслоенные пространства // Там же. 1974. Т. 5.
С. 259—309.
[ОБ] Остиану Н. М., Балазюк Т. Н.
Многообразия, погруженные в пространства проективной структуры // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 75—115 (КБ).
[ОРШ] Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И.
Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 7—70 (КБ).
78
Список рекомендуемой литературы
[П] Полякова К. В.
Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Фундам. и прикл. матем. 2008. Т. 14, №2. С. 129—177 (КБ).
[Ра] Рахула М. О.
1.Инфинитезимальная связность в расслоении // Проблемы гео-
метрии / ВИНИТИ. М., 1977. Т. 8. С. 163—182 (КБ).
2.Векторные поля и симметрии. Тарту, 2004. 236 с.
[Ру] Румянцев В. В.
Неголономные системы // Матем. энцикл. М., 1982. Т. 3.
С. 907—908 (ЧЗ).
[Ры] Рыбников А. К.
Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв.
вузов. Матем. 1983. №1. С. 73—80 (ЧЗ).
[Си] Синцов Д. М.
Работы по неголономной геометрии. Киев, 1972. 295 с.
[Сл] Слухаев В. В.
1.Неголономные многообразия Vnm нулевой внешней кривизны
//Укр. геом. сб. 1967. Вып. 4. С. 78—84.
2.Неголономная геометрия в работах томской геометрической школы // Сибирская геом. конф. Томск, 1995. С. 7—10.
[Ст] Столяров А. В.
1.Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Пробле-
мы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151 (КБ).
2.Аффинные связности на нормализованном распределении m- мерных линейных элементов // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 8.
Калининград, 1977. С. 82—96 (НА).
3.Аффинные связности на нормализованном распределении m- мерных линейных элементов проективного пространства / Деп. в
ВИНИТИ. Казань, 1977. 20 с. №15—77.
79
Список рекомендуемой литературы
4.Дифференциальная геометрия полос // Проблемы геометрии /
ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 25—54 (КБ).
5.Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. II //
Изв. вузов. Матем. 1980. №3. С. 84—87 (ЧЗ).
6.Двойственная геометрия оснащенного распределения гиперплоскостных элементов / Деп. в ВИНИТИ. Чебоксары, 1982. 38 с.
№6454—82.
7.Внутренняя геометрия оснащенных распределений m-мерных линейных элементов и m-мерных поверхностей / Деп. в ВИНИТИ.
Чебоксары, 1986. 93 с. №7795 — В.
8.Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994. 290 с.
9.Теоретико-групповой метод дифференциально-геомет- рических исследований и его приложения. Чебоксары, 2002. 204 с.
[СГ] Столяров А. В., Глухова Т. Н.
Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий. Чебоксары, 2007. 180 с.
[СС] Схоутен И. А., Стройк Д. Дж.
1.Введение в новые методы дифференциальной геометрии: алгебра и учение о перенесении. М.; Л., 1937. Т. 1. 182 с.
2.Введение в новые методы дифференциальной геометрии: гео-
метрия. М., 1948. Т. 2. 348 с.
[Ш] Шевченко Ю. И.
1.Об оснащениях многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 8. Калининград, 1977.
С. 135—150 (НА).
2.Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном про-
странстве // Там же. 1978. Вып. 9. С. 124—133 (НА).
3.Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI Прибалт. геом. конф. Таллин, 1984. С. 137—138.
4.Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 21. Калининград, 1990. С. 100—105 (НА).
5.Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий// Тр. геом. семинара. Вып. 23. Казань, 1997. С. 175—186.
80